楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)(經(jīng)典).ppt

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二項展開式中的二項式系數(shù)指的是哪些 共有多少個 下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì) 我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時 二項式系數(shù)有什么特點 45 每行兩端都是1Cn0 Cnn 1 從第二行起 每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和 展開式的二項式系數(shù)依次是 從函數(shù)角度看 可看成是以r為自變量的函數(shù) 其定義域是 當時 其圖象是右圖中的7個孤立點 1 對稱性 與首末兩端 等距離 的兩個二項式系數(shù)相等 這一性質(zhì)可直接由公式得到 圖象的對稱軸 2 增減性與最大值 由于 所以相對于的增減情況由決定 由 可知 當時 二項式系數(shù)是逐漸增大的 由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的 且中間項取得最大值 2 增減性與最大值 3 各二項式系數(shù)的和 在二項式定理中 令 則 這就是說 的展開式的各二項式系數(shù)的和等于 1 一般地 展開式的二項式系數(shù)有如下基本性質(zhì) 2 4 對稱性 第0行1 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行1461 第5行151 第6行161561 第n 1行1 1 第n行1 1 第7行17212171 10 35 35 5 15 20 10 4 斜線和 1 2 5 第5行15101051 第6行1615201561 第7行172135352171 第1行11 第0行1 第2行121 第3行1331 第4行14641 1 3 8 13 21 34 如圖 寫出斜線上各行數(shù)字的和 有什么規(guī)律 第8行18285670562881 從第三個數(shù)起 任一數(shù)都等于前兩個數(shù)的和 這就是著名的斐波那契數(shù)列 也稱為兔子數(shù)列 斐波那契數(shù)列 斐波那契 1170 1250 意大利商人兼數(shù)學家 他的著作 算盤書 中 首先引入阿拉伯數(shù)字 將 十進制 介紹給歐洲人認識 對歐洲的數(shù)學發(fā)展有深遠的影響 例1證明 在 a b n展開式中 奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和 在二項式定理中 令 則 已知求 1 2 3 4 解 題型 求展開式中的特定項 例2 試判斷在的展開式中有無常數(shù)項 如果有 求出此常數(shù)項 如果沒有 說明理由 解 設展開式中的第r 1項為常數(shù)項 則 由題意可知 故存在常數(shù)項且為第7項 常數(shù)項 常數(shù)項即x0項 練習 0 k 12 k Z 當k 0 6時 x的冪為正整數(shù) 含x的正整數(shù)次冪的項共有2項 例4 求 x 2 10 x2 1 展開式中含x10項的系數(shù)為 179 變式 求 1 x x2 1 x 10展開式中含x項的系數(shù) 求兩個 多個 二項式乘積的展開式的特定項方法 1 先化簡 化成一個二項式的展開式 2 分析兩個 多個 二項式的通項的字母的指數(shù) 利用找伙伴的方式解決 例3 求展開式中的常數(shù)項 類型 求展開式中系數(shù)最大的項 方法 利用通項公式建立不等式組 變式練習 在 3x 2y 20的展開式中 求 1 二項式系數(shù)最大的項 2 系數(shù)絕對值最大的項 解 2 設系數(shù)絕對值最大的項是第r 1項 則 1 二項式系數(shù)的三個性質(zhì) 2 數(shù)學思想 函數(shù)思想 a單調(diào)性 b圖象 c最值 小結(jié)