2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案(含解析)新人教B版選修1 -1.docx
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23.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的定義及焦點、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義,能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題知識點一拋物線的定義平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線知識點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程xxyy1在平面內(nèi),點P到點F和到直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()2拋物線其實就是雙曲線的一支()3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程只需焦點到準(zhǔn)線的距離p就可以確定()題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過點(3,1);(2)焦點為直線3x4y120與坐標(biāo)軸的交點考點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點求拋物線的方程解(1)因為點(3,1)在第三象限,所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0),則由(1)22p(3),解得p;若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0),則由(3)22p(1),解得p.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x29y.(2)對于直線方程3x4y120,令x0,得y3;令y0,得x4,所以拋物線的焦點為(0,3)或(4,0)當(dāng)焦點為(0,3)時,3,所以p6,此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y;當(dāng)焦點為(4,0)時,4,所以p8,此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x.反思感悟求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p,最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,利用拋物線的定義列出動點滿足的條件,列出對應(yīng)方程,化簡方程注意當(dāng)拋物線的焦點位置不確定時,應(yīng)分類討論,也可以設(shè)y2ax或x2ay(a0)的形式,以簡化討論過程跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線方程為y;(2)焦點在y軸上,焦點到準(zhǔn)線的距離為5.考點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點求拋物線的方程解(1)易知拋物線的準(zhǔn)線交y軸于正半軸,且,則p,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.(2)已知拋物線的焦點在y軸上,可設(shè)方程為x22my(m0),由焦點到準(zhǔn)線的距離為5,知|m|5,m5,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x210y和x210y.題型二拋物線定義的應(yīng)用命題角度1利用拋物線定義求軌跡(方程)例2若位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點M的軌跡方程考點題點解由于位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大,所以動點M到F的距離與它到直線l:x的距離相等由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點,l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點),其方程應(yīng)為y22px(p0)的形式,而,所以p1,2p2,故點M的軌跡方程為y22x(x0)反思感悟解決軌跡為拋物線問題的方法拋物線的軌跡問題,既可以用軌跡法直接求解,也可以先將條件轉(zhuǎn)化,再利用拋物線的定義求解后者的關(guān)鍵是找到滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離且定點不在定直線上的條件,有時需要依據(jù)已知條件進行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件跟蹤訓(xùn)練2已知動圓M經(jīng)過點A(3,0),且與直線l:x3相切,求動圓圓心M的軌跡方程考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用解設(shè)動點M(x,y),M與直線l:x3的切點為N,則|MA|MN|,即動點M到定點A和定直線l:x3的距離相等,點M的軌跡是拋物線,且以A(3,0)為焦點,以直線l:x3為準(zhǔn)線,3,p6,故動圓圓心M的軌跡方程是y212x.命題角度2利用拋物線定義求最值或點的坐標(biāo)例3如圖,已知拋物線y22x的焦點是F,點P(x0,y0)是拋物線上一點(1)若|PF|x0,求x0;(2)已知點A(3,2),求|PA|PF|的最小值,并求此時P點坐標(biāo)考點求拋物線的最值問題題點根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值解(1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x,根據(jù)拋物線的定義可得,x0|PF|x0,解得x02.(2)如圖,作PQl于Q,由定義知,拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準(zhǔn)線l的距離d,由圖可知,求|PA|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|d的最小值的問題將x3代入拋物線方程y22x,得y.2,A在拋物線內(nèi)部由圖可知,當(dāng)PAl時,|PA|d最小,最小值為.即|PA|PF|的最小值為,此時P點縱坐標(biāo)為2,代入y22x,得x02.點P坐標(biāo)為(2,2)引申探究若將本例中的點A(3,2)改為點(0,2),求點P到點(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值解由拋物線的定義可知,拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離等于到焦點的距離由圖可知,P點,(0,2)點和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小,所以最小距離d.反思感悟拋物線的定義在解題中的作用,就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離進行轉(zhuǎn)化,另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用,如兩點之間線段最短,三角形中三邊間的不等關(guān)系,點與直線上點的連線垂線段最短等跟蹤訓(xùn)練3拋物線y22px(p0)上有一點M的橫坐標(biāo)為9,它到焦點的距離為10,求此拋物線方程和M點的坐標(biāo)考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用解設(shè)焦點為F,M點到準(zhǔn)線的距離為d,則d|MF|10,即910,p2,拋物線方程為y24x.將M(9,y)代入拋物線的方程,得y6.M點坐標(biāo)為(9,6)或(9,6)拋物線的實際應(yīng)用問題典例河上有一拋物線形拱橋,當(dāng)水面距拱橋頂5m時,水面寬為8m,一小船寬4m,高2m,載貨后船露出水面上的部分高0.75m,問:水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時,小船開始不能通航?考點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點拋物線方程的應(yīng)用解如圖,以拱橋的拱頂為原點,以過拱頂且平行于水面的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0),由題意可知,點B(4,5)在拋物線上,故p,得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時,船開始不能通航,設(shè)此時船面寬為AA,則A(2,yA),由22yA,得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75m,所以h|yA|0.752(m)所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時,小船開始不能通航素養(yǎng)評析首先確定與實際問題相匹配的數(shù)學(xué)模型此問題中拱橋是拋物線型,故利用拋物線的有關(guān)知識解決此問題,操作步驟為:(1)建系:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)假設(shè):設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(3)計算:通過計算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)求解:求出需要求出的量(5)還原:還原到實際問題中,從而解決實際問題.1拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2答案A解析由yx2,得x24y,則拋物線的焦點在y軸正半軸上,且2p4,即p2,因此準(zhǔn)線方程為y1.2已知拋物線的頂點在原點,對稱軸為x軸,焦點在雙曲線1上,則拋物線方程為()Ay28xBy24xCy22xDy28x答案D解析由題意知拋物線的焦點為雙曲線1的頂點,即為(2,0)或(2,0),所以拋物線的方程為y28x或y28x.3已知拋物線C:y2x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|x0,則x0等于()A4B2C1D8答案C解析如圖,F(xiàn),過A作AA準(zhǔn)線l,|AF|AA|,x0x0x0,x01.4若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x50的距離少1,則動點P的軌跡方程是_考點拋物線的定義題點由拋物線定義確定軌跡及軌跡方程答案y216x解析點P到點F(4,0)的距離比它到直線x50的距離少1,點P到直線x4的距離和它到點(4,0)的距離相等根據(jù)拋物線的定義可得點P的軌跡是以點(4,0)為焦點,以直線x4為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0),4,動點P的軌跡方程為y216x.5設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點,求點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值解如圖,易知拋物線的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線是x1,由拋物線的定義知點P到直線x1的距離等于點P到F的距離于是,問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P,使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小,顯然,連接AF與拋物線相交的點即為滿足題意的點,此時最小值為.1焦點在x軸上的拋物線,其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2mx(m0),此時焦點為F,準(zhǔn)線方程為x;焦點在y軸上的拋物線,其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2my(m0),此時焦點為F,準(zhǔn)線方程為y.2設(shè)M是拋物線上一點,焦點為F,則線段MF叫做拋物線的焦半徑若M(x0,y0)在拋物線y22px(p0)上,則根據(jù)拋物線的定義,拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化,所以焦半徑|MF|x0.3對于拋物線上的點,利用定義可以把其到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,也可以把其到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離,因此可以解決有關(guān)距離的最值問題一、選擇題1拋物線y28x的焦點坐標(biāo)是()A(2,0) B(2,0)C(4,0) D(4,0)答案B解析y28x,p4,焦點坐標(biāo)為(2,0)2已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(1,1),則該拋物線焦點坐標(biāo)為()A(1,0) B(1,0) C(0,1) D(0,1)答案B解析拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x.由題設(shè)知1,即p2,故焦點坐標(biāo)為.故選B.3已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與圓(x3)2y216相切,則p的值為()A.B1C2D4答案C解析拋物線y22px的準(zhǔn)線方程為x,它與圓相切,所以必有34,p2.4設(shè)拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()A4B6C8D12答案B解析由拋物線的定義可知,點P到拋物線焦點的距離是426.5過點F(0,3),且和直線y30相切的動圓圓心的軌跡方程為()Ay212xBy212xCx212yDx212y答案C解析由題意,知動圓圓心到點F(0,3)的距離等于到定直線y3的距離,故動圓圓心的軌跡是以F為焦點,直線y3為準(zhǔn)線的拋物線,軌跡方程為x212y.6已知點A(2,3)在拋物線C:y22px的準(zhǔn)線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為()AB1CD答案C解析因為拋物線C:y22px的準(zhǔn)線方程為x,且點A(2,3)在準(zhǔn)線上,故2,解得p4.所以拋物線方程為y28x,焦點F的坐標(biāo)為(2,0),這時直線AF的斜率kAF.7O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)為拋物線C:y24x的焦點,P為C上一點,若|PF|4,則POF的面積為()A2B2C2D4答案C解析拋物線C的準(zhǔn)線方程為x,焦點F(,0),由|PF|4及拋物線的定義知,P點的橫坐標(biāo)xP3,從而縱坐標(biāo)yP2.SPOF|OF|yP|22.二、填空題8若拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2,則a_.答案解析yax2可化為x2y.準(zhǔn)線方程為y2,a0)的左焦點在拋物線y22px的準(zhǔn)線上,則p為_答案解析由題意知,左焦點為,則c.a23,b2,3,得p.10拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標(biāo)是_答案解析拋物線方程化為x2y,準(zhǔn)線為y.由于點M到焦點的距離為1,所以點M到準(zhǔn)線的距離也為1,所以點M的縱坐標(biāo)等于1.11已知直線l1:4x3y60和直線l2:x1,拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_考點求拋物線的最值問題題點根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值答案2解析如圖所示,動點P到l2:x1的距離可轉(zhuǎn)化為到點F的距離,由圖可知,距離和的最小值,即F到直線l1的距離d2.三、解答題12已知拋物線的方程如下,求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(1)y26x;(2)3x25y0;(3)y2a2x(a0)考點拋物線的幾何性質(zhì)題點與準(zhǔn)線、焦點有關(guān)的簡單幾何性質(zhì)解(1)由方程y26x,知拋物線開口向左,2p6,p3,所以焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x.(2)將3x25y0變形為x2y,知拋物線開口向下,2p,p,所以焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為y.(3)由方程y2a2x(a0)知拋物線開口向右,2pa2,p,所以焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x.13已知拋物線的頂點在原點,它的準(zhǔn)線過1的一個焦點,且與x軸垂直又拋物線與此雙曲線交于點,求拋物線和雙曲線的方程考點拋物線的幾何性質(zhì)題點拋物線與其他曲線結(jié)合的有關(guān)問題解因為交點在第一象限,拋物線的頂點在原點,其準(zhǔn)線垂直于x軸,所以可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)將點代入方程,得p2,所以拋物線方程為y24x.準(zhǔn)線方程為x1.由此知雙曲線方程中c1,焦點為(1,0),(1,0),點到兩焦點距離之差2a1,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.14(2018濰坊聯(lián)考)已知P為拋物線y24x上一個動點,Q為圓x2(y4)21上一個動點,那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是_考點題點答案1解析拋物線y24x的焦點為F(1,0),圓x2(y4)21的圓心為C(0,4),半徑r1,根據(jù)拋物線的定義可知點P到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點F的距離,進而推斷出當(dāng)P,Q,F(xiàn)三點共線時,點P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點的距離之和最小,為|FC|r1.15已知曲線C上的任意一點到定點F(1,0)的距離與到定直線x1的距離相等(1)求曲線C的方程;(2)若曲線C上有兩個定點A,B分別在其對稱軸的上、下兩側(cè),且|FA|2,|FB|5,求原點O到直線AB的距離解(1)因為曲線C上任意一點到點F(1,0)的距離與到直線x1的距離相等,所以曲線C的軌跡是以F(1,0)為焦點的拋物線,且1,所以曲線C的方程為y24x.(2)由拋物線的定義結(jié)合|FA|2可得,A到準(zhǔn)線x1的距離為2,即A的橫坐標(biāo)為1,代入拋物線方程可得y2,即A(1,2),同理可得B(4,4),故直線AB的斜率k2,故AB的方程為y22(x1),即2xy40,由點到直線的距離公式,得原點O到直線AB的距離為.- 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