2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文.doc

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課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(三十一) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1．(2018湖南衡陽二十六中期中)在等差數(shù)列{an}中，a3＝1，公差d＝2，則a8的值為(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 [解析]　a8＝a3＋5d＝1＋52＝11，故選C. [答案]　C 2．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，則a5＝(　　) A．11 B．10 C．7 D．3 [解析]　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則有解得所以a5＝－2＋43＝10.故選B. [答案]　B 3．(2018湖北武漢調(diào)研)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S5＝3(a2＋a8)，則的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　因?yàn)镾5＝3(a2＋a8)，所以5a1＋10d＝3(2a1＋8d)，即a1＝－14d，所以＝＝＝. [答案]　D 4．(2017安徽合肥二模)已知是等差數(shù)列，且a1＝1，a4＝4，則a10＝(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　由題意，得＝1，＝，所以等差數(shù)列的公差為d＝＝－，由此可得＝1＋(n－1)＝－＋，因此＝－，所以a10＝－.故選A. [答案]　A 5．(2017山西太原一模)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，則a6＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．3 [解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝23a3＋32a9＝62a6＝36，得a6＝3，故選D. [答案]　D 6．(2018遼寧鞍山一中期末)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若m>1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m等于(　　) A．38 B．20 C．10 D．9 [解析]　因?yàn)閍m－1＋am＋1－a＝0，所以am－1＋am＋1＝a.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得2am＝a，顯然am≠0，所以am＝2.又因?yàn)镾2m－1＝38，所以S2m－1＝＝(2m－1)am.將am＝2代入可得(2m－1)2＝38，解得m＝10.故選C. [答案]　C 二、填空題 7．(2016江蘇卷)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________． [解析]　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋a＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10.解得a1＝－4，d＝3，則a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20. [答案]　20 8．(2018廣東深圳中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn為其前n項(xiàng)和，則使Sn取到最大值的n等于________． [解析]　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an>0，得n<6.5，所以在等差數(shù)列{an}中，其前6項(xiàng)均為正，其他各項(xiàng)均為負(fù)，于是使Sn取到最大值的n的值為6. [答案]　6 9．(2017遼寧師大附中期末)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且＝，則＝________. [解析]　在等差數(shù)列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此＝＝＝. [答案]　 三、解答題 10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝，證明：是等差數(shù)列． [證明]　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又an＝－2SnSn－1， ∴Sn－1－Sn＝2SnSn－1，Sn≠0. ∴－＝2(n≥2)． 由等差數(shù)列的定義知是以＝＝2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列． [能力提升] 11．(2017河南百校聯(lián)盟質(zhì)監(jiān))等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2016＝2016，且－＝2000，則a1等于(　　) A．－2016 B．－2015 C．－2014 D．－2013 [解析]　解法一：因?yàn)镾n＝，所以＝.因?yàn)椋?000，所以＝＝2000，所以d＝2.又因?yàn)閍2016＝2016，所以a1＋(2016－1)2＝2016，解得a1＝－2014，故選C. 解法二：因?yàn)镾n＝na1＋d，所以＝n＋a1－，故是以a1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列．所以－＝2000＝2000，所以d＝2.所以a2016＝a1＋(2016－1)2＝2016，所以a1＝－2014.故選C. 解法三：由題意得 解得故選C. [答案]　C 12．(2018黑龍江齊齊哈爾月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 [解析]　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.∵a6＋a7＝a3＋a10>0，即2a1＋11d>0，且a6a7<0，a1>0，∴a6>0，a7<0.∴d＝a7－a6<0.又∵a7＝a1＋6d<0，∴2a1＋12d<0.當(dāng)Sn＝＝>0時(shí)，2a1＋(n－1)d>0.由2a1＋11d>0,2a1＋12d<0知n－1最大為11，即n最大為12.故選C. [答案]　C 13．(2016長安一中月考)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大． [解析]　∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴數(shù)列的前8項(xiàng)和最大，即n＝8. [答案]　8 14．(2017安徽合肥一中第三次段考)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)為正且首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則的最小值是________． [解析]　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)， 即有an＝1＋(n－1)d，Sn＝n＋n(n－1)d， ＝ ，由于數(shù)列{}也為等差數(shù)列， 可得1－d＝0，即d＝2， 即有an＝2n－1，Sn＝n2， 則＝＝≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2取得等號(hào)， 由于n為正整數(shù)，即有n＝2或3取得最小值．當(dāng)n＝2時(shí)，取得3；n＝3時(shí)，取得.故最小值為. [答案]　 15．(2017河南南陽期終質(zhì)量評(píng)估)設(shè)f(x)＝(a>0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝anan＋1，n∈N*. (1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． [解]　(1)證明：an＋1＝f(an)＝，所以＝＝＋， 即－＝，又a1＝1，所以＝1. 所以是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列． 所以＝1＋(n－1)＝. 所以an＝. (2)bn＝anan＋1＝ ＝a2， 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則 Tn＝ a2 ＝a2＝a2＝， 即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為. 16．已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝an－30，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的最小值． [解]　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1， 故數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72得， 解得a1＝2，d＝4. ∴an＝4n－2，則bn＝an－30＝2n－31， 令即解得≤n≤， ∵n∈N*，∴n＝15， 即數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)均為負(fù)值，∴T15最?。邤?shù)列{bn}的首項(xiàng)是－29，公差為2， ∴T15＝＝－225， ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值為－225. [延伸拓展] 　已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． [解]　(1)∵a1＝5， ∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33. (2)解法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列． 設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列， 則有2b2＝b1＋b3. ∴2＝＋. ∴＝＋.解得λ＝－1. 事實(shí)上，bn＋1－bn＝－ ＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1. 綜上可知，存在實(shí)數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列． 解法二：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列． 設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列， 則有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)． ∴2＝＋. ∴λ＝4an＋1－4an－an＋2 ＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1) ＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1. 綜上可知，當(dāng)λ＝－1時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是2、公差是1的等差數(shù)列．