2018-2019高中數學 第四講 數學歸納法證明不等式 4.2 用數學歸納法證明不等式舉例導學案 新人教A版選修4-5.doc

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4.2 用數學歸納法證明不等式舉例 學習目標 1.理解數學歸納法證明不等式的基本思路． 2．會用數學歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n為大于1的自然數)． 3．了解n為實數時貝努利不等式也成立. 一、自學釋疑 根據線上提交的自學檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。 二、合作探究 思考探究　 在應用貝努利不等式時應注意什么？ 名師點撥： 1.對貝努利(Bernoulli)不等式的理解 當指數n推廣到任意實數α時，x>－1時， ①若0<α<1，則(1＋x)α≤1＋αx. ②若α<0或α>1，則(1＋x)α≥1＋αx. 當且僅當x＝0時等號成立． 2．貝努利不等式的應用 貝努利不等式：如果x是實數，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數，那么有(1＋x)n>1＋nx. 推論：當x是實數，且x>－1，x≠0，n為不小于2的正整數時，有n>1－. 3．數學歸納法與其他方法的聯(lián)系 數學歸納法證明不等式有它的局限性，它只能用來證明與正整數有關的不等式，其他證明不等式的方法運用比較廣泛，但在具體應用時，各自又有具體的要求，如反證法，必須有嚴格的格式(以否定結論入手，推出矛盾)，分析法也有獨特的表達格式，而數學歸納法必須分兩步且在第二步中，要從假設出發(fā)推證n＝k＋1命題正確時，也經常用到綜合法、分析法、比較法、放縮法等． 4．用數學歸納法證明不等式時常用技巧 用數學歸納法證明與自然數有關的命題時，要注意初始值n0的定位，要弄清楚n＝k和 n＝k＋1時的結論是什么，要有目標意識，緊盯n＝k＋1時的目標，對n＝k＋1時的結論進行一系列的變化，變化的目標就是n＝k＋1時的結論形式，這種變化就是“湊假設，奔結論”．常用放縮法做輔助手段． 【例1】　求證：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N)． 【變式訓練1】　用數學歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N)． 【例2】　求證：當n≥1(n∈N)時，(1＋2＋…＋n)≥n2. 【變式訓練2】　求證：1＋＋＋…＋≥(n∈N＋) 【例3】　已知數列{bn}是等差數列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145. (1)求數列{bn}的通項公式bn； (2)設數列{an}的通項an＝loga，(其中a>0，且a≠1)，記Sn為數列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn＋1的大小，并證明你的結論． 【變式訓練3】　在數列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數列，bn，an＋1，bn＋1成等比數列(n∈N＋) (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論； (2)證明：＋＋…＋<.  參考答案 提示　在應用貝努利不等式時要注意應用條件x>－1，且x≠0. 【例1】　【分析】　本題由n＝k到n＝k＋1時的推證過程中，n＝k時，首項是，尾項是，分母是從k＋1開始的連續(xù)正整數，因而當n＝k＋1時，首項應為，尾項是，與n＝k時比較，后面增加，，共三項，而不只是增加一項，且還減少了一項. 【證明】　(1)當n＝2時，左邊＝＋＋＋＝>，不等式成立． 　 (2)假設n＝k(k≥2，n∈N)時，不等式成立， 即＋＋…＋>， 則當n＝k＋1時，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋　 >＋ >＋ ＝＋＝. ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)，知原不等式對一切n≥2的自然數都成立． 【變式訓練1】證明　(1)當n＝2時，1＋＝<2－＝， ∴不等式成立． (2)假設n＝k(k≥2，k∈N)時命題成立，即 1＋＋＋…＋<2－， 則n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋ ＝2－＋ ＝2－，不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n≥2(n∈N)時均成立． 【例2】【分析】　本例中不等式左邊是兩項的積，而且含有等號，第一步需驗證n＝1和n＝2時不等式成立，第二步推n＝k＋1時，為了湊出(k＋1)2，要恰當的放縮． 【證明】　(1)當n＝1時，左邊＝11＝1＝右邊，不等式成立． 當n＝2時，左邊＝(1＋2)＝>22，不等式也成立． (2)假設n＝k(k≥2)時，不等式成立，即(1＋2＋…＋k)≥k2. 則當n＝k＋1時，有 左邊＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]　 ＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)＋1 ≥k2＋＋1＋(k＋1). ∵當k≥2時， 1＋＋…＋≥1＋＝，(*) ∴左邊≥k2＋＋1＋(k＋1) ＝k2＋2k＋1＋>(k＋1)2. 這就是說當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)知，當n≥1時，原不等式成立． 【變式訓練2】證明　(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝＝1， 左邊＝右邊． 當n＝2時，左邊＝，右邊＝，∵>， ∴左邊>右邊，∴當n＝1或n＝2時，不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥1)時，不等式成立，即 1＋＋＋…＋≥. 當n＝k＋1時， 左邊＝1＋＋＋…＋＋≥＋＝. ∵－＝>0， ∴>＝右邊， 由不等式的傳遞性知，左邊>右邊． ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)，可得對一切n∈N＋不等式都成立． 【例3】【解】　(1)設數列{bn}的公差為d，由題意得 ? ∴bn＝3n－2. (2)由bn＝3n－2知 Sn＝loga(1＋1)＋loga(1＋)＋…＋loga ＝loga， 而logabn＋1＝loga. 于是，比較Sn與logabn＋1的大小即比較(1＋1)…與的大小． 取n＝1，有(1＋1)＝>＝. 取n＝2，有(1＋1)>> ＝. 由此猜想： (1＋1)…>.(*) 下面用數學歸納法證明： ①當n＝1時，已驗證(*)成立． ②假設n＝k(k≥1)時，(*)成立，即 (1＋1)…>， 則當n＝k＋1時， (1＋1)… >＝. ∵3－3 ＝＝>0， ∴(3k＋2)>＝. 從而(1＋1)…>，即當n＝k＋1時(*)也成立． 由①與②知，(*)對任意正整數n都成立． 所以，當a>1時，Sn>logabn＋1， 當02(n＋1)n. 故＋＋…＋<＋ ＝＋ ＝＋<＋＝. 綜上，原不等式成立．