江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 中檔題專練三.docx

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中檔題專練(三) 1.正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD,且AE⊥平面CDE. (1)求證:AB∥平面CDE; (2)求證:平面ABCD⊥平面ADE. 2.(2018蘇北四市高三第一次調研測試)某藝術品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內接圓錐組成,圓錐的側面用于藝術裝飾,如圖1.為了便于設計,可將該禮品看成是由圓O及其內接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉180而成,如圖2.已知圓O的半徑為10cm,設∠BAO=θ,0<θ<π2,圓錐的側面積為Scm2. (1)求S關于θ的函數(shù)關系式; (2)為了達到最佳觀賞效果,要求圓錐的側面積S最大,求S取得最大值時腰AB的長度. 3.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-3,4),B(9,0),C,D分別為線段OA,OB上的動點,且滿足AC=BD. (1)若AC=4,求直線CD的方程; (2)證明:△OCD的外接圓恒過定點(異于原點O). 答案精解精析 1.證明　(1)正方形ABCD中,AB∥CD,又AB?平面CDE,CD?平面CDE, 所以AB∥平面CDE. (2)因為AE⊥平面CDE,且CD?平面CDE,所以AE⊥CD,又正方形ABCD中,CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE、AD?平面ADE,所以CD⊥平面ADE,又CD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面ADE. 2.解析　(1)設AO交BC于點D,過O作OE⊥AB,垂足為E,在△AOE中,AE=10cosθ,AB=2AE=20cosθ,在△ABD中,BD=ABsinθ=20cosθsinθ,所以S=122π20sinθcosθ20cosθ =400πsinθcos2θ0<θ<π2. (2)要使側面積最大,由(1)得: S=400πsinθcos2θ=400π(sinθ-sin3θ), 設f(x)=x-x3(00,當x∈33,1時,f(x)<0, 所以f(x)在區(qū)間0,33上單調遞增,在區(qū)間33,1上單調遞減, 所以f(x)在x=33時取得極大值,也是最大值. 所以當sinθ=33時,側面積S取得最大值, 此時等腰三角形的腰長AB=20cosθ=201-sin2θ=201-332=2063. 答:側面積S取得最大值時,等腰三角形的腰AB的長度為2063cm. 3.解析　(1)因為A(-3,4),所以OA=(-3)2+42=5,又因為AC=4,所以OC=1,所以C-35,45,由AC=BD=4,得D(5,0),所以直線CD的斜率為0-455--35=-17,所以直線CD的方程為y=-17(x-5),即x+7y-5=0. (2)證明:設C(-3m,4m)(00), 則有F=0,9m2+16m2-3mD+4mE+F=0,(5m+4)2+(5m+4)D+F=0, 解得D=-(5m+4),F=0,E=-10m-3, 所以△OCD的外接圓的方程為x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0, 整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0, 令x2+y2-4x-3y=0,x+2y=0,所以x=0,y=0(舍去)或x=2,y=-1. 所以△OCD的外接圓恒過異于O的定點(2,-1).