江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第22講 三角函數(shù)應(yīng)用題沖刺作業(yè).docx

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第22講　三角函數(shù)應(yīng)用題 1.(2018蘇州學(xué)業(yè)陽光指標(biāo)調(diào)研)如圖,B,C分別是海岸線上的兩個(gè)城市,兩城市間由筆直的海濱公路相連,B,C之間的距離為100km,海島A在城市B的正東方50km處.從海島A到城市C,先乘船按北偏西θ角α<θ≤π2,其中銳角α的正切值為12航行到海濱公路P處登陸,再換乘汽車到城市C.已知船速為25km/h,車速為75km/h. (1)試建立由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與θ的函數(shù)解析式; (2)試確定使所用時(shí)間最少的登陸點(diǎn)P的位置,并說明理由. 2.如圖,有一橢圓形花壇,O是其中心,AB是橢圓的長(zhǎng)軸,C是短軸的一個(gè)端點(diǎn).現(xiàn)欲鋪設(shè)灌溉管道,擬在AB上選兩點(diǎn)E,F,使OE=OF,沿CE、CF、FA鋪設(shè)管道,設(shè)∠BFC=θ,若OA=20m,OC=10m, (1)求管道長(zhǎng)度u關(guān)于角θ的函數(shù); (2)求管道長(zhǎng)度u的最大值. 3.(2018徐州銅山高三年級(jí)第三次模擬)某三甲醫(yī)院開展用直升飛機(jī)接送危重病人業(yè)務(wù),為了保證直升飛機(jī)降落準(zhǔn)確、安全地降落,在門診樓AB和綜合樓CD的樓上安裝導(dǎo)航標(biāo)志,已知兩樓的地面距離AC=50m,在A,C之間取一導(dǎo)航標(biāo)志觀測(cè)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在AC中點(diǎn)時(shí),測(cè)得兩樓頂導(dǎo)航標(biāo)志的張角∠BPD=45,若∠ACB=45. (1)求兩導(dǎo)航標(biāo)記距離地面的高度AB、CD; (2)要使在點(diǎn)P處看兩樓頂導(dǎo)航標(biāo)志的張角∠BPD最大,點(diǎn)P應(yīng)在何處? 答案精解精析 1.解析　(1)由題意,船航行的方位角為θ,所以∠BAP=90-θ,AB=50km,則AP=50cos(90-θ)=50sinθkm,BP=50tan(90-θ)=50sin(90-θ)cos(90-θ)=50cosθsinθkm, ∴PC=100-BP=100-50cosθsinθkm, 由A到P所用的時(shí)間為t1=AP25=2sinθ, 由P到C所用的時(shí)間為t2=100-50cosθsinθ75=43-2cosθ3sinθ,所以由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與θ的函數(shù)關(guān)系為 f(θ)=t1+t2=2sinθ+43-2cosθ3sinθ=6-2cosθ3sinθ+43,函數(shù)f(θ)的定義域?yàn)棣?π2,其中銳角α的正切值為12, (2)由(1),f(θ)=6-18cosθ9sin2θ,令f(θ)=0,解得cosθ=13, 設(shè)θ0∈0,π2,其中cosθ0=13,列表如下: θ (α,θ0) θ0 θ0,π2 f(θ) - 0 + f(θ) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以,當(dāng)θ=θ0時(shí),函數(shù)f(θ)取得最小值,此時(shí)BP=50cosθ0sinθ0=2522≈17.68km. 答:在BC上選擇距離B點(diǎn)17.68km處為登陸點(diǎn),所用時(shí)間最少. 2.解析　(1)因?yàn)镃F=10sinθ,OF=10tanθ,AF=20-10tanθ, 由OE=OF,知,CE=CF,所以u(píng)(θ)=CE+CF+AF=20sinθ+20-10tanθ=20+20-10cosθsinθ, 其中00,函數(shù)u(θ)為增函數(shù), 當(dāng)120恒成立,所以tan∠BPD=f(t)>0, 從而∠BPD∈0,π2,而正切函數(shù)在0,π2上為增函數(shù), 所以當(dāng)f(t)取最大值時(shí),∠BPD也最大.