2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 課堂達(dá)標(biāo)27 等差數(shù)列及其前n項和 文 新人教版.doc

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課堂達(dá)標(biāo)(二十七) 等差數(shù)列及其前n項和 [A基礎(chǔ)鞏固練] 1．等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 [解析]　法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由題意得解得∴d＝2. 法二：∵在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10， ∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2. [答案]　B 2．(2018寧夏銀川市二模試卷)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中項，則數(shù)列{an}的前5項的和為(　　) A．15 B．20 C．25 D．15或25 [解析]　∵在等差數(shù)列{an}中，a4＝5，a3是a2和a6的等比中項，∴， 解得a1＝－1，d＝2， ∴數(shù)列{an}的前5項的和為： S5＝5a1＋d＝5(－1)＋54＝15.故選：A. [答案]　A 3．(2018山師大附中高三三模)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2a5＝2a3，且a4與2a7的等差中項為，則S5等于(　　) A．29 B．31 C．33 D．36 [解析]　法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q， 由題意知，解得， 所以S5＝＝31，故選B. 法二：由a2a5＝2a3，得a4＝2. 又a4＋2a7＝，所以a7＝， 所以q＝，所以a1＝16， 所以S5＝＝31，故選B. [答案]　B 4．(2016浙江卷)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則(　　) A．a(chǎn)1d>0，dS4>0 B．a(chǎn)1d<0，dS4<0 C．a(chǎn)1d>0，dS4<0 D．a(chǎn)1d<0，dS4>0 [解析]　∵a3，a4，a8成等比數(shù)列，∴a＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展開整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0. [答案]　B 5．(2018山東省棗莊十六中4月模擬試卷)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若公差d＞0，(S8－S5)(S9－S5)＜0，則(　　) A．|a7|＞|a8| B．|a7|＜|a8| C．|a7|＝|a8| D．|a7|＝0 [解析]　根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中， 有(S8－S5)(S9－S5)＜0， 即(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)＜0， 又由{an}為等差數(shù)列， 則有(a6＋a7＋a8)＝3a7，(a6＋a7＋a8＋a9)＝2(a7＋a8)，(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)＜0?a7(a7＋a8)＜0，a7與(a7＋a8)異號， 又由公差d＞0，必有a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|； 故選：B. [答案]　B 6．(2018湖南省常德市一模)《張邱建算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題：“南山一棵竹，竹尾風(fēng)割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個圈．頭節(jié)高五寸①，頭圈一尺三②.逐節(jié)多三分③，逐圈少分三④.一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是多遠(yuǎn)？”(注釋：①第一節(jié)的高度為0.5尺；②第一圈的周長為1.3尺；③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；④每圈周長比其下面的一圈少0.013尺) 問：此民謠提出的問題的答案是(　　) A．72.705尺 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺 [解析]　∵每竹節(jié)間的長相差0.03尺， 設(shè)從地面往上，每節(jié)竹長為a1，a2，a3，…，a30， ∴{an}是以a1＝0.5為首項，以d′＝0.03為公差的等差數(shù)列，由題意知竹節(jié)圈長，后一圏比前一圏細(xì)1分3厘，即0.013尺，設(shè)從地面往上，每節(jié)節(jié)圈長為b1，b2，b3，…，b30， 由{bn}是以b1＝1.3為首項，d＝－0.013為公差的等差數(shù)列，∴一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是： S30＝＋[301.3＋(－0.013)]＝61.395.故選：B. [答案]　B 7．(2018湖南省永州市三模)數(shù)列{an}的通項公式為an＝nsin＋(－1)n，其前n項和為Sn，則S2 017＝______. [解析]　∵n＝2k(k∈N*)時， an＝a2k＝2ksin kπ＋1＝1. n＝2k－1(k∈N*)時， an＝a2k－1＝(2k－1)sinπ－1 ＝(－1)k－1(2k－1)－1. ∴S2 017＝(a2＋a4＋…＋a2 016)＋(a1＋a3＋…＋a2 017) ＝1 008＋(1－3＋5－7＋…－2 017－1 009) ＝1 008＋(－1 008－2 017－1 009)＝－3 026. [答案]　－3 026 8．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數(shù)m的值為______． [解析]　因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數(shù)列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝5，所以a1＝3－m. 由Sm＝(3－m)m＋1＝0，解得正整數(shù)m的值為5. [答案]　5 9．在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝__________. [解析]　法一：設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 則解得 所以S110＝110a1＋d＝－110. 法二：因為S100－S10＝＝－90， 所以a11＋a100＝－2， 所以S110＝ ＝＝－110. [答案]　－110 10．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　(1)證明：當(dāng)n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， 所以－＝2， 又＝＝2， 故是首項為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝－＝＝－. 當(dāng)n＝1時，a1＝不適合卡式． 故an＝ [B能力提升練] 1．(2018南昌一模)在等差數(shù)列{an}中，a1>0，a10a11<0，若此數(shù)列的前10項和S10＝36，前18項和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項和T18的值是(　　) A．24　　　 B．48　　　 C．60　　　 D．84 [解析]　由題意a1>0，a10a11<0，得d<0，a10>0，a11<0，所以a1>a2>…>a10>0>a11>a12>…>a18>…， 所以T18＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＋|a11|＋|a12|＋…＋|a18|＝a1＋a2＋…＋a10－(a11＋a12＋…＋a18)＝2S10－S18＝236－12＝60. [答案]　C 2．(2016浙江卷)如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*，(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(　　) A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{S}是等差數(shù)列 C．{dn}是等差數(shù)列 D．jnd3srt是等差數(shù)列 [解析]　Sn表示點An到對面直線的距離(設(shè)為hn)乘以|BnBn＋1|長度一半，即Sn＝ hn|BnBn＋1|， 由題目中條件可知|BnBn＋1|的長度為定值，那么我們需要知道hn的關(guān)系式，過A1作垂直得到初始距離h1，那么A1，An和兩個垂足構(gòu)成了直角梯形， 那么hn＝h1＋|A1An|sin θ，其中θ為兩條線的夾角， 即為定值， 那么Sn＝(h1＋|A1An|sin θ)|BnBn＋1|，Sn＋1 ＝(|h1＋A1An＋1|sin θ)|BnBn＋1|， 作差后：Sn＋1－Sn＝ (|AnAn＋1|sinθ)|BnBn＋1|， 都為定值，所以Sn＋1－Sn為定值．故選A. [答案]　A 3．設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若對任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為__________． [解析]　∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴＋＝＋＝＝. ∵＝＝＝＝，∴＝. [答案]　 4．(2018湖南省常德市一模)已知數(shù)列{an}中，a1＜0，an＋1＝(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足：bn＝nan(n∈N*)，設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，當(dāng)n＝7時Sn有最小值，則a1的取值范圍是______． [解析]　數(shù)列{an}中，a1＜0，an＋1＝(n∈N*)， ∴－＝3，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為3. ∴＝＋3(n－1)．解得an＝. ∴bn＝nan＝， 設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和， 當(dāng)n＝7時Sn有最小值， ∴b7＞0，b8＜0.∴＞0，＜0， 解得－k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”． (1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”； (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列． [證明]　(1)因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，從而，當(dāng)n≥4時，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d ＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”． (2)數(shù)列{an}即是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此， 當(dāng)n≥3時，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，?、? 當(dāng)n≥4時，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，　③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)，　④ 將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′. 在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a2－2d′，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列． [C尖子生專練] (2017北京)設(shè){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，記cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1,2,3，…)，其中max{x1，x2，…，xS}表示x1，x2，…，xS這S個數(shù)中最大的數(shù)． (1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列； (2)證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時，>M；或者存在正整數(shù)m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差數(shù)列． [解析]　(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0. c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－21,3－22}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－31,3－32,5－33}＝－2. 當(dāng)n≥3時，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n<0，所以bk－nak關(guān)于k∈N*單調(diào)遞減． 所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n. 所以對任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1， 所以{cn}是等差數(shù)列． (2)設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1，d2，則 bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)． 所以cn＝ ①當(dāng)d1>0時，取正整數(shù)m>，則當(dāng)n≥m時，nd1>d2，因此cn＝b1－a1n. 此時，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差數(shù)列． ②當(dāng)a1＝0時，對任意n≥1， cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2,0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2,0}－a1)． 此時，c1，c2，c3，…，cn，…是等差數(shù)列． ③當(dāng)d1<0時，當(dāng)n>時，有nd1max， 故當(dāng)時，>M.