山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 圓錐曲線中的綜合問題練習(xí)(含解析).doc
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圓錐曲線中的綜合問題一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1. 已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OAOB=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則ABO與AFO面積之和的最小值是( )A. 2 B. 3 C. 1728 D. 10(正確答案)B解:設(shè)直線AB的方程為:x=ty+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB與x軸的交點(diǎn)為M(m,0),由y2=xx=ty+my2-ty-m=0,根據(jù)韋達(dá)定理有y1y2=-m,OAOB=2,x1x2+y1y2=2,結(jié)合y12=x1及y22=x2,得(y1y2)2+y1y2-2=0,點(diǎn)A,B位于x軸的兩側(cè),y1y2=-2,故m=2不妨令點(diǎn)A在x軸上方,則y10,又F(14,0),SABO+SAFO122(y1-y2)+1214y1,=98y1+2y1298y12y1=3當(dāng)且僅當(dāng)98y1=2y1,即y1=43時(shí),取“=”號(hào),ABO與AFO面積之和的最小值是3,故選B可先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程,再利用韋達(dá)定理及OAOB=2消元,最后將面積之和表示出來,探求最值問題求解本題時(shí),應(yīng)考慮以下幾個(gè)要點(diǎn):1、聯(lián)立直線與拋物線的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韋達(dá)定理與已知條件消元,這是處理此類問題的常見模式2、求三角形面積時(shí),為使面積的表達(dá)式簡單,常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高3、利用基本不等式時(shí),應(yīng)注意“一正,二定,三相等”2. 已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是( )A. (0,32 B. (0,34 C. 32,1) D. 34,1)(正確答案)A解:如圖所示,設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn),連接AF,BF,則四邊形AFBF是平行四邊形,4=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a,a=2取M(0,b),點(diǎn)M到直線l的距離不小于45,|4b|32+4245,解得b1e=ca=1-b2a21-122=32橢圓E的離心率的取值范圍是(0,32故選:A如圖所示,設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn),連接AF,BF,則四邊形AFBF是平行四邊形,可得4=|AF|+|BF|=|AF|+|BF|=2a.取M(0,b),由點(diǎn)M到直線l的距離不小于45,可得|4b|32+4245,解得b1.再利用離心率計(jì)算公式e=ca=1-b2a2即可得出本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題3. 已知點(diǎn)P(-22,0)是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左頂點(diǎn),過點(diǎn)P作圓O:x2+y2=4的切線,切點(diǎn)為A,B,若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F,則a2+b2的值是( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 15(正確答案)C解:由題意,a=22過點(diǎn)P作圓O:x2+y2=4的切線,切點(diǎn)為A,B,若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F,APO=45,F(xiàn)(-2,0),c=2,b2=8-2=6,a2+b2=8+6=14,故選C由題意,a=22.過點(diǎn)P作圓O:x2+y2=4的切線,切點(diǎn)為A,B,若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F,可得F(-2,0),即可求出a2+b2的值本題考查橢圓的方程與性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題4. 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上方的部分交于A點(diǎn),AKl,垂足為K,則AKF的面積為( )A. 4 B. 3 C. 43 D. 8(正確答案)C解:由拋物線的定義可得AF=AK,則AF的斜率等于3,AF的傾斜角等于60,AKl,F(xiàn)AK=60,故AKF為等邊三角形又焦點(diǎn)F(1,0),AF的方程為y-0=3(x-1),設(shè)A(m,3m-3),m1,由AF=AK得(m-1)2+(3m-3)2=m+1,m=3,故等邊三角形AKF的邊長AK=m+1=4,AKF的面積是1244sin60=43,故選:C先判斷AKF為等邊三角形,求出A的坐標(biāo),可求出等邊AKF的邊長AK=m+1的值,AKF的面積可求本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,判斷AKF為等邊三角形是解題的關(guān)鍵5. 已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線y23-x2=1相交于M,N兩點(diǎn),若MNF為直角三角形,其中F為直角頂點(diǎn),則p=( )A. 23 B. 3 C. 33 D. 6(正確答案)A【分析】本題考查拋物線的定義及拋物線的幾何性質(zhì),雙曲線方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力【解答】解:由題設(shè)知拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-p2,代入雙曲線方程y23-x2=1解得 y=3+3p24,由雙曲線的對稱性知MNF為等腰直角三角形,F(xiàn)MN=4,tanFMN=p3+3p24=1,p2=3+3p24,即p=23,故選A6. 若拋物線y2=2px上恒有關(guān)于直線x+y-1=0對稱的兩點(diǎn)A,B,則p的取值范圍是( )A. (-23,0) B. (0,32)C. (0,23) D. (-,0)(23,+)(正確答案)C解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線上,所以有y12=2px1 y22=2px2 -得,y12-y22=2p(x1-x2)整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2,因?yàn)锳,B關(guān)于直線x+y-1=0對稱,所以kAB=1,即2py1+y2=1所以y1+y2=2p設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則y0=y1+y22=2p2=p又M在直線x+y-1=0上,所以x0=1-y0=1-p則M(1-p,p)因?yàn)镸在拋物線內(nèi)部,所以y02-2px00即p2-2p(1-p)0,解得0p0,b0)的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、C.若AB=12BC,則雙曲線的離心率是( )A. 2 B. 3 C. 5 D. 10(正確答案)C解:直線l:y=-x+a與漸近線l1:bx-ay=0交于B(a2a+b,aba+b),l與漸近線l2:bx+ay=0交于C(a2a-b,-aba-b),A(a,0),AB=(-aba+b,aba+b),BC=(2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2),AB=12BC,-aba+b=a2ba2-b2,b=2a,c2-a2=4a2,e2=c2a2=5,e=5,故選C分別表示出直線l和兩個(gè)漸近線的交點(diǎn),進(jìn)而表示出AB和BC,進(jìn)而根據(jù)AB=12BC求得a和b的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)c2-a2=b2,求得a和c的關(guān)系,則離心率可得本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.要求學(xué)生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力,能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用9. 如圖F1,F(xiàn)2是雙曲線C1:x2-y28=1與橢圓C2的公共焦點(diǎn),點(diǎn)A是C1,C2在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn),若|F1F2|=|F1A|,則C2的離心率是( )A. 23 B. 45 C. 35 D. 25(正確答案)C解:由題意F1,F(xiàn)2是雙曲線C1:x2-y28=1與橢圓C2的公共焦點(diǎn)可知,|F1F2|=|F1A|=6,|F1A|-|F2A|=2,|F2A|=4,|F1A|+|F2A|=10,2a=10,C2的離心率是610=35故選:C利用橢圓以及雙曲線的定義,轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力10. 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)與拋物線y2=43x的準(zhǔn)線相交于A、B兩點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),且FAB是正三角形,則雙曲線C的方程為( )A. x22-y2=1 B. x2-y22=1 C. x24-y22=1 D. x22-y24=1(正確答案)B解:拋物線y2=43x的焦點(diǎn)為F(3,0),其準(zhǔn)線方程為x=-3,F(xiàn)AB為正三角形,|AB|=4,將(-3,2)代入雙曲線x2a2-y2b2=1可得3a2-4b2=1,雙曲線的一條漸近線方程是y=2x,ba=2,a=1,b=2,雙曲線C2的方程為x2-y22=1故選:B拋物線y2=43x的焦點(diǎn)為F(3,0),其準(zhǔn)線方程為x=-3,利用FAB為正三角形,可得A的坐標(biāo),代入雙曲線的方程,可得a,b的方程,利用雙曲線的一條漸近線方程是y=2x,可得a,b的方程,從而可得a,b的值,即可求出雙曲線的方程本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,正確運(yùn)用拋物線、雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵11. 拋物線C1:y2=4x的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P為曲線C1,C2的公共點(diǎn),點(diǎn)M在拋物線C1的準(zhǔn)線上,F(xiàn)PM為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則雙曲線C2的離心率為( )A. 3+22 B. 210-3 C. 2+1 D. 210+3(正確答案)C解:拋物線C1:y2=4x的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn),F(xiàn)(1,0),|PF|=2=|PM|,則P(1,2),P在雙曲線上,滿足:1a2-4b2=1a2+b2=c2=1,解得a2=3-22,b2=22-2,所求雙曲線的離心率為:e=13-22=2+1故選:C求出拋物線以及雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),利用已知條件推出P的坐標(biāo),代入雙曲線方程,然后求解a、c,即可求解雙曲線的離心率即可本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力12. 已知P是雙曲線x23-y2=1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作曲線的兩條漸近線的垂線,垂足分別為A、B,則PAPB的值是( )A. -38 B. 316 C. -38 D. 不能確定(正確答案)A解:設(shè)P(m,n),則m23-n2=1,即m2-3n2=3,由雙曲線x23-y2=1的漸近線方程為y=33x,則由y=33xy-n=-3(x-m)解得交點(diǎn)A(3m+3n4,3m+n4);由y=-33xy-n=3(x-m)解得交點(diǎn)B(3m-3n4,n-3m4).PA=(3n-m4,3m-3n4),PB=(-m-3n4,-3n-3m4),則PAPB=3n-m4-m-3n4+3m-3n4-3n-3m4=-2m2-6n216=-616=-38故選:A設(shè)P(m,n),則m23-n2=1,即m2-3n2=3,求出漸近線方程,求得交點(diǎn)A,B,再求向量PA,PB的坐標(biāo),由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,計(jì)算即可得到本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的運(yùn)用,考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的方法,考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題二、填空題(本大題共4小題,共20分)13. 設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)與雙曲線x2-y2b2=1(b0)的右焦點(diǎn)重合,則b= _ (正確答案)3解:拋物線y2=8x的焦點(diǎn)(2,0)與雙曲線x2-y2b2=1(b0)的右焦點(diǎn)重合,可得c=2,1+b2=2,解得b=3故答案為:3求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),利用已知條件求出b即可本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力14. 若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線x24-y25=1的右焦點(diǎn)重合,則實(shí)數(shù)p的值為_(正確答案)6解:雙曲線的方程x24-y25=1,a2=4,b2=5,可得c=a2+b2=3,因此雙曲線x24-y25=1的右焦點(diǎn)為F(3,0),拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,p2=3,解之得p=6故答案為:6根據(jù)雙曲線的方程,可得c=3,從而得到雙曲線的右焦點(diǎn)為F(3,0),再根據(jù)拋物線的簡單幾何性質(zhì),可得p2=3,解之即可得到實(shí)數(shù)p的值本題給出拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn),雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn),求拋物線方程,著重考查了雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題15. 已知拋物線C:y2=2px (p0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F傾斜角為60的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn),則|AF|BF|的值等于_(正確答案)3解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2,|AB|=x1+x2+p=2psin2=83p,即有x1+x2=53p,由直線l傾斜角為60,則直線l的方程為:y-0=3(x-p2),即y=3x-32p,聯(lián)立拋物線方程,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,則x1x2=p24,可得x1=32p,x2=16p,則|AF|BF|=32p+12p12p+16p=3,故答案為:3設(shè)出A、B坐標(biāo),利用焦半徑公式求出|AB|,結(jié)合x1x2=p24,求出A、B的坐標(biāo),然后求其比值本題考查直線的傾斜角,拋物線的簡單性質(zhì),考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,屬于中檔題16. 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線,與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍為_(正確答案)(1,5)解:由題意過雙曲線x2a2-y2b2=1 (a0,b0 )右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線,與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn),可得雙曲線的漸近線斜率ba1e=ca=a2+b2a21+4,1e0)的直線交E與A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA(I)當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求AMN的面積(II) 當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),證明:3k0,|AN|=121+(1k)23+4(1k)2=12k1+k23k2+4,又2|AM|=|AN|,23+4k2=k3k2+4,整理得:4k3-6k2+3k-8=0,設(shè)f(k)=4k3-6k2+3k-8,則f(k)=12k2-12k+3=3(2k-1)20,f(k)=4k3-6k2+3k-8為(0,+)的增函數(shù),又f(3)=433-63+33-8=153-26=675-6760,3k2(I)依題意知橢圓E的左頂點(diǎn)A(-2,0),由|AM|=|AN|,且MANA,可知AMN為等腰直角三角形,設(shè)M(a-2,a),利用點(diǎn)M在E上,可得3(a-2)2+4a2=12,解得:a=127,從而可求AMN的面積;(II)設(shè)直線lAM的方程為:y=k(x+2),直線lAN的方程為:y=-1k(x+2),聯(lián)立y=k(x+2)3x2+4y2=12消去y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,利用韋達(dá)定理及弦長公式可分別求得|AM|=1+k2|xM-(-2)|=121+k23+4k2,|AN|=121+(1k)23+4(1k)2=12k1+k23k2+4,結(jié)合2|AM|=|AN|,可得23+4k2=k3k2+4,整理后,構(gòu)造函數(shù)f(k)=4k3-6k2+3k-8,利用導(dǎo)數(shù)法可判斷其單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可證得結(jié)論成立本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系,通過這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解,考查構(gòu)造函數(shù)思想與導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍,是難題19. 如圖,已知四邊形ABCD是橢圓3x2+4y2=12的內(nèi)接平行四邊形,且BC,AD分別經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2()若直線AC的方程為x-2y=0,求AC的長;()求平行四邊形ABCD面積的最大值(正確答案)(本小題滿分14分)()解:由3x2+4y2=12x-2y=0,消去y可得:4x2=12,解得x=3,(2分)所以A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,32)和(-3,-32),(4分)所以 |AC|=(23)2+(3)2=15.(5分)()解:當(dāng)直線AD的斜率不存在時(shí),此時(shí)易得A(1,32),B(-1,32),C(-1,-32),D(1,-32),所以平行四邊形ABCD的面積為|AB|AD|=6.(6分)當(dāng)直線AD的斜率存在時(shí),設(shè)直線AD的方程為y=k(x-1),將其代入橢圓方程,整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.(8分)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).則 x1+x4=8k23+4k2,x1x4=4k2-123+4k2.(10分)連結(jié)AF1,DF1,則平行四邊形ABCD的面積S=2SAF1D=|F1F2|y1-y4|=2|y1-y4|.(11分)又 (y1-y4)2=k2(x1-x4)2=k2(x1+x4)2-4x1x4=916k2(k2+1)(3+4k2)2.(13分)又(3+4k2)2-16k2(k2+1)=9+8k2,所以 S=616k2(k2+1)(3+4k2)2=61-9+8k2(3+4k2)26綜上,平行四邊形ABCD面積的最大值是6.(14分)()通過3x2+4y2=12x-2y=0,求出x,得到A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用距離公式求解即可()當(dāng)直線AD的斜率不存在時(shí),求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),然后求解平行四邊形的面積當(dāng)直線AD的斜率存在時(shí),設(shè)直線AD的方程為y=k(x-1),與橢圓方程聯(lián)立,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).利用韋達(dá)定理,連結(jié)AF1,DF1,表示出面積表達(dá)式,然后求解最值本題考查橢圓的方程的求法,直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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