(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖講義(含解析).docx
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8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖最新考綱考情考向分析1.了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念,理解柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征2.了解簡(jiǎn)單組合體,了解中心投影、平行投影的含義3.了解三視圖和直觀圖間的關(guān)系,掌握三視圖所表示的空間幾何體會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖在高考中幾乎年年考查主要考查根據(jù)幾何體的三視圖求其體積與表面積對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖的考查,以選擇題和填空題為主.1多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形結(jié)構(gòu)特征有兩個(gè)面互相平行且全等,其余各面都是平行四邊形每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等,垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則:長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)畫法:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中x軸、y軸的夾角為45或135,z軸與x軸和y軸所在平面垂直(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸,平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.概念方法微思考1底面是正多邊形的棱柱是正棱柱嗎,為什么?提示不一定因?yàn)榈酌媸钦噙呅蔚闹崩庵攀钦庵?什么是三視圖?怎樣畫三視圖?提示光線自物體的正前方投射所得的正投影稱為正視圖,自左向右的正投影稱為側(cè)視圖,自上向下的正投影稱為俯視圖,幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為三視圖畫幾何體的三視圖的要求是正視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正;正視圖與側(cè)視圖高平齊;側(cè)視圖與俯視圖寬相等題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中,三視圖均相同()(5)用兩平行平面截圓柱,夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱()(6)菱形的直觀圖仍是菱形()題組二教材改編2P19T2下列說法正確的是()A相等的角在直觀圖中仍然相等B相等的線段在直觀圖中仍然相等C正方形的直觀圖是正方形D若兩條線段平行,則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行答案D解析由直觀圖的畫法規(guī)則知,角度、長(zhǎng)度都有可能改變,而線段的平行關(guān)系不變3P8T1在如圖所示的幾何體中,是棱柱的為_(填寫所有正確的序號(hào))答案題組三易錯(cuò)自糾4某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是()A圓柱B圓錐C四面體D三棱柱答案A解析由三視圖知識(shí)知,圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形,而圓柱的正視圖不可能為三角形5如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體,則該幾何體的側(cè)視圖是()答案C解析此幾何體側(cè)視圖是從左邊向右邊看故選C.6(2018浙江諸暨中學(xué)期中)邊長(zhǎng)為2的正方形,其水平放置的直觀圖的面積為()A.B1C2D8答案C解析正方形的邊長(zhǎng)為2,故面積為8,而原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系為,故直觀圖的面積為82.7(2018全國(guó))某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如下圖圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為()A2B2C3D2答案B解析先畫出圓柱的直觀圖,根據(jù)題中的三視圖可知,點(diǎn)M,N的位置如圖所示圓柱的側(cè)面展開圖及M,N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖所示,連接MN,則圖中MN即為M到N的最短路徑|ON|164,|OM|2,|MN|2.故選B.題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1以下命題:以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái);圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面;一個(gè)平面截圓錐,得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3答案B解析由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知錯(cuò)誤,正確對(duì)于命題,只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái),不正確2給出下列四個(gè)命題:有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱;側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐;側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體;底面為正多邊形,且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正確的命題為_(填序號(hào))答案解析對(duì)于,平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形,故錯(cuò);對(duì)于,對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖),故錯(cuò);對(duì)于,若底面不是矩形,則錯(cuò);由線面垂直的判定,可知側(cè)棱垂直于底面,故正確綜上,命題不正確思維升華空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法:緊扣定義,由已知構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,根據(jù)定義進(jìn)行判定(2)反例法:通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析題型二簡(jiǎn)單幾何體的三視圖命題點(diǎn)1已知幾何體識(shí)別三視圖例1(2018全國(guó))中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示,由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.命題點(diǎn)2已知三視圖,判斷簡(jiǎn)單幾何體的形狀例2如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是()A三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱答案B解析由題意知,該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形、兩個(gè)四邊形,經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱命題點(diǎn)3已知三視圖中的兩個(gè)視圖,判斷第三個(gè)視圖例3一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,下列選項(xiàng)中,不可能是該錐體的俯視圖的是()答案C解析A,B,D選項(xiàng)滿足三視圖作法規(guī)則,C不滿足三視圖作法規(guī)則中的寬相等,故C不可能是該錐體的俯視圖思維升華三視圖問題的常見類型及解題策略(1)注意觀察方向,看到的部分用實(shí)線表示,不能看到的部分用虛線(2)還原幾何體要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖,結(jié)合空間想象還原(3)由部分視圖畫出剩余的部分視圖先猜測(cè),還原,再判斷當(dāng)然作為選擇題,也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018杭州模擬)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,P為BD1的中點(diǎn),則PAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是()ABCD答案B解析P點(diǎn)在上下底面投影落在AC或A1C1上,所以PAC在上底面或下底面的投影為,在前、后面以及左、右面的投影為.(2)(2018寧波模擬)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖,且該幾何體的體積為,則該幾何體的俯視圖可以是()答案C解析該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐PABCD,如圖所示,該幾何體的俯視圖為C.題型三空間幾何體的直觀圖例4已知等腰梯形ABCD,上底CD1,腰ADCB,下底AB3,以下底所在直線為x軸,則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖ABCD的面積為_答案解析如圖所示,作出等腰梯形ABCD的直觀圖因?yàn)镺E1,所以O(shè)E,EF,則直觀圖ABCD的面積S.思維升華用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與軸平行的線段在直觀圖中與軸平行,不平行的線段先畫線段的端點(diǎn)再連線跟蹤訓(xùn)練2如圖,一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測(cè)畫法)是一個(gè)底角為45、腰和上底長(zhǎng)均為2的等腰梯形,則這個(gè)平面圖形的面積是()A2B1C42D84答案D解析由已知直觀圖根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則畫出原平面圖形,如圖所示,所以這個(gè)平面圖形的面積為84,故選D.1在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水,將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時(shí),指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是()A圓面B矩形面C梯形面D橢圓面或部分橢圓面答案C解析將圓柱桶豎放,水面為圓面;將圓柱桶斜放,水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱桶水平放置,水面為矩形面,所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面,故選C.2.如圖所示,四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形,起輔助作用),則四面體ABCD的三視圖是(用代表圖形)()ABCD答案B解析正視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和4的矩形,其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線,左上到右下是虛線,因此正視圖是,側(cè)視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為5和4的矩形,其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線,左下到右上是虛線,因此側(cè)視圖是;俯視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和5的矩形,其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線,左下到右上是虛線,因此俯視圖是.3用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓面,則這個(gè)幾何體一定是()A圓柱B圓錐C球體D圓柱、圓錐、球體的組合體答案C解析截面是任意的且都是圓面,則該幾何體為球體4某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示,則它的俯視圖不可能是()答案C解析若幾何體為兩個(gè)圓錐體的組合體,則俯視圖為A;若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體,則俯視圖為B;若幾何體為兩個(gè)四棱錐的組合體,則俯視圖為D;不可能為C,故選C.5(2018麗水、衢州、湖州三地市質(zhì)檢)若將正方體(如圖1)截去兩個(gè)三棱錐,得到如圖2所示的幾何體,則該幾何體的側(cè)視圖是()答案B解析從左向右看,該幾何體的側(cè)視圖的外輪廓是一個(gè)正方形,且AD1對(duì)應(yīng)的是實(shí)線,B1C對(duì)應(yīng)的是虛線故選B.6(2011浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()答案D解析A,B的正視圖不符合要求,C的俯視圖顯然不符合要求,故選D.7(2019臺(tái)州模擬)已知底面是直角三角形的直棱柱的正視圖、俯視圖如下圖所示,則該棱柱的側(cè)視圖的面積為()A18B18C18D.答案C解析設(shè)側(cè)視圖的長(zhǎng)為x,則x26318,x3.所以側(cè)視圖的面積為S3618.故選C.8用一個(gè)平面去截正方體,則截面不可能是()A直角三角形B等邊三角形C正方形D正六邊形答案A解析用一個(gè)平面去截正方體,則截面的情況為:截面為三角形時(shí),可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形,但不可能是鈍角三角形、直角三角形;截面為四邊形時(shí),可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形、正方形,但不可能是直角梯形;截面為五邊形時(shí),不可能是正五邊形;截面為六邊形時(shí),可以是正六邊形9(2018湖州模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為()A.B2C3D2答案C解析在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為AD,BC的中點(diǎn),該幾何體的直觀圖如圖中三棱錐D1MNB1,故通過計(jì)算可得D1B12,D1MB1N,MN2,MB1ND13,故該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為3.10.一水平放置的平面四邊形OABC,用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖OABC如圖所示,此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,則原平面四邊形OABC的面積為_答案2解析因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的倍,且直觀圖的面積為1,所以原圖形的面積為2.11.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),則三棱錐PABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為_答案1解析如題圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則三棱錐PABC的正視圖與側(cè)視圖都是三角形,且面積都是a2,故面積的比值為1.12給出下列命題:棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形;若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直;在四棱柱中,若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體其中正確命題的序號(hào)是_答案解析不正確,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等;正確,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則三個(gè)側(cè)面所在的三個(gè)平面的二面角都是直二面角;正確,因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面;正確,如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC,四個(gè)面都是直角三角形13.如圖,在一個(gè)正方體內(nèi)放入兩個(gè)半徑不相等的球O1,O2,這兩個(gè)球外切,且球O1與正方體共頂點(diǎn)A的三個(gè)面相切,球O2與正方體共頂點(diǎn)B1的三個(gè)面相切,則兩球在正方體的面AA1C1C上的正投影是()答案B解析由題意可以判斷出兩球在正方體的面上的正投影與正方形相切由于兩球球心連線AB1與面ACC1A1不平行,故兩球球心射影所連線段的長(zhǎng)度小于兩球半徑的和,即兩個(gè)投影圓相交,即為圖B.14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在學(xué)術(shù)研究中,不迷信古人,堅(jiān)持實(shí)事求是他對(duì)九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”給出的公式產(chǎn)生質(zhì)疑,為了證實(shí)自己的猜測(cè),他引入了一種新的幾何體“牟合方蓋”:以正方體相鄰的兩個(gè)側(cè)面為底做兩次內(nèi)切圓柱切割,然后剔除外部,剩下的內(nèi)核部分如果“牟合方蓋”的正視圖和側(cè)視圖都是圓,則其俯視圖的形狀為()答案B解析由題意得在正方體內(nèi)做兩次內(nèi)切圓柱切割,得到的幾何體的直觀圖如圖所示,由圖易得其俯視圖為B,故選B.15(2018嘉興模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是()A圓弧B拋物線的一部分C橢圓的一部分D雙曲線的一部分答案D解析根據(jù)幾何體的三視圖,可得側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得,故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分,故選D.16(2018臺(tái)州模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)是_答案解析由三視圖可知,該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中三棱錐MA1B1N,如圖所示,M是棱AB上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn),N是棱C1D1的中點(diǎn),所以A1B12,A1NB1N,A1M,B1M,MN,所以該幾何體中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)是.- 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