2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 四 直角三角形的射影定理學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx
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四直角三角形的射影定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)踐,結(jié)合生活中的實(shí)例,理解點(diǎn)在直線上的正射影,線段在直線上的正射影的概念.2.理解射影定理,能應(yīng)用定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題.知識(shí)鏈接已知:如圖,ACB90,CDAB于D.(1)圖中有幾條線段?(2)圖中有幾對(duì)相似三角形?可寫出幾組比例式?(3)有幾個(gè)帶有比例中項(xiàng)的比例式?由上可得到哪些等積式?提示(1)6條,分別記為AB,AC,BC,CD,AD,BD.(2)由圖中ACDCBDABC,可分別寫出三組比例式:;.(3)只有三個(gè)比例中項(xiàng)的表達(dá)式:,.可得到等積式:CD2ADBD,BC2BDBA,AC2ADAB.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.射影從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足,叫作這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影.一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正射影之間的線段,叫作這條線段在這條直線上的正射影.點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱為射影.2.射影定理文字語(yǔ)言直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng);兩條直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)符號(hào)語(yǔ)言在RtABC中,ACCB,CDAB于D,則CD2BDAD;AC2ADAB;BC2BDBA圖形語(yǔ)言作用確定成比例的線段要點(diǎn)一射影的概念例1如圖所示,在梯形ABCD中,ADBC,ABC90,BCD60,AD1,AB2.求:(1)線段AD在直線BC上的射影長(zhǎng);(2)線段DC在直線BC上的射影長(zhǎng);(3)線段BC在直線DC上的射影長(zhǎng).解(1)過(guò)D作DD1BC于D1,則BD1就是線段AD在直線BC上的射影,如圖所示,四邊形ABD1D為矩形,BD1AD1,線段AD在直線BC上的射影長(zhǎng)為1.(2)由(1)的作圖知,D1C即為線段DC在直線BC上的射影.DD1AB2,DCB60,D1C.線段DC在直線BC上的射影長(zhǎng)為.(3)過(guò)B作BB1DC于B1,則B1C就是線段BC在直線DC上的射影,如圖所示.BCBD1D1C1,B1CBCcos 60.線段BC在直線DC上的射影長(zhǎng)為.規(guī)律方法(1)射影實(shí)質(zhì)上就是平行投影.(2)當(dāng)線段AB所在直線與直線l平行時(shí),設(shè)其在l上的射影為A1B1,則有ABA1B1,如圖(1)所示 ;當(dāng)線段AB所在直線與直線l不平行且不垂直時(shí),設(shè)其在l上的射影為A1B1,則有ABA1B1,如圖(2)所示;當(dāng)線段AB與直線l垂直時(shí),線段AB在l上的射影是一個(gè)點(diǎn)A1,如圖(3)所示.跟蹤演練1如圖所示,ADBC,EFBC,指出點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn),G和線段AB,AC,AF,F(xiàn)G在直線BC上的射影.解由ADBC,EFBC知:A在BC上的射影是D;B在BC上的射影是B;C在BC上的射影是C;E,F(xiàn),G在BC上的射影都是E;AB在BC上的射影是DB;AC在BC上的射影是DC;AF在BC上的射影是DE,F(xiàn)G在BC上的射影是點(diǎn)E.要點(diǎn)二與射影定理有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題例2如圖,D為ABC中BC邊上的一點(diǎn),CADB,若AD6,AB10,BD8,求CD的長(zhǎng).解在ABD中,AD6,AB10,BD8,滿足AB2AD2BD2,ADB90,即ADBC.又CADB,且CCAD90,CB90.BAC90.在RtBAC中,ADBC,由射影定理可知,AD2BDCD,628CD,CD.規(guī)律方法(1)已知三角形是直角三角形,或者有直角、垂線等,這是在直角三角形中應(yīng)用射影定理必需的條件.(2)運(yùn)用射影定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí),常常還要與直角三角形的其他性質(zhì)相結(jié)合,如三角函數(shù)、面積公式、勾股定理等.跟蹤演練2如圖所示,ABC中,ABm,ABACB123,CDAB于D.求BD,CD的長(zhǎng).解設(shè)Ax,B2x,ACB3x,由ABACB180,得x2x3x180,x30.A30,B60,ACB90.ABm,BCm.又CDAB,BC2BDAB,即BDm,BDm.ADABBDmmm.由CD2ADBDmmm2,得CDm.BDm,CDm.要點(diǎn)三與射影定理有關(guān)的證明問(wèn)題例3如圖,已知在矩形ABCD中,ABBC56,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在CD上,ECBC,F(xiàn)CCD,F(xiàn)GAE于點(diǎn)G.求證:AG4GE.證明ABBC56,設(shè)AB5k,BC6k(k0).在矩形ABCD中,有CDAB5k,BCAD6k,BCD90.ECBC,EC6kk.BE5k.FCCD,F(xiàn)C5k3k.DFCDFC2k.在RtADF中,由勾股定理得AF2AD2DF236k24k240k2,同理可得AE250k2,EF210k2.AF2EF240k210k250k2AE2.AEF是直角三角形.FGAE,由直角三角形的射影定理,得EF2GEAE.AE5k,GEk.4GE4k.又AGAEGE5kk4k,AG4GE.規(guī)律方法判斷兩線段的數(shù)量關(guān)系時(shí),可設(shè)變量使之能表示線段,在直角三角形中,一般考慮利用射影定理或勾股定理來(lái)做.跟蹤演練3如圖所示,BD,CE是ABC的兩條高,過(guò)點(diǎn)D的直線分別交BC和BA的延長(zhǎng)線于G,H兩點(diǎn),交CE于F,且HBCF.求證:GD2GFGH.證明HBCE,HBG是BCE與BHG的公共角,BCEBHG.又CEBH,BECBGH90,即HGBC.又BDAC,在RtBDC中,DG是斜邊BC上的高,由射影定理得GD2BGCG.又FGCBGH90,HFCG,F(xiàn)CGBHG,.即BGCGFGGH.由可得GD2GFGH.1.(1)點(diǎn)在直線上的射影就是由點(diǎn)向直線引垂線,垂足即為射影;(2)線段在直線上的射影就是由線段的兩端點(diǎn)向直線引垂線,兩垂足間的線段就是所求射影.2.應(yīng)用射影定理有兩個(gè)條件:一是直角三角形;二是斜邊上的高.應(yīng)用射影定理可求直角三角形的邊長(zhǎng)、面積等有關(guān)量,還可研究相似問(wèn)題、比例式等問(wèn)題.3.直角三角形射影定理的逆定理如果一個(gè)三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的比例中項(xiàng),那么這個(gè)三角形是直角三角形.1.在直角三角形ABC中,斜邊AB5 cm,BC2 cm,D為AC上一點(diǎn),DEAB于點(diǎn)E,且AD3.2 cm,則DE等于()A.1.24 cm B.1.26 cmC.1.28 cm D.1.3 cm解析由已知ADEABC,DE1.28.答案C2.如圖所示,在RtABC中,CD是斜邊AB上的高,在圖中的六條線段中,你認(rèn)為只要知道幾條線段的長(zhǎng),就可以求出其他線段的長(zhǎng)()A.1 B.2C.3 D.4解析圖中所有三角形都是直角三角形,由勾股定理,射影定理,可知只需知道兩條線段的長(zhǎng),就可以求出其他線段的長(zhǎng).答案B3.如圖所示,在矩形ABCD中,DEAC于E,ADECDE,則EDB_.解析由已知ADEDBA,ADEABDBDC,且ADECDE,EDBADC45.答案454.已知線段a,b(ab),求作:線段a,b的比例中項(xiàng)c.解如圖所示.(1)作ABb;(2)在AB上截取ADa;(3)過(guò)D作DHAB;(4)以AB為直徑畫半圓交DH于C,連接AC,BC.則AC即為a,b的比例中項(xiàng)c.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.如圖所示,在RtMNP中,MNMP,MQPN于點(diǎn)Q,NQ3,則MN等于()A.3PNB.PNC.D.9PN解析MNMP,MQPN,MN2NQPN,又NQ3,MN.答案C2.在RtABC中,BAC90,ADBC于點(diǎn)D,若,則()A.B.C.D.解析如圖,由射影定理得AC2CDBC,AB2BDBC,即,.答案C3.如圖所示,ACB90,CDAB于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E,則()A.CECBADDBB.CECBADABC.ADABCD2D.CEEBCD2解析在直角三角形ABC中,根據(jù)直角三角形射影定理可得CD2ADDB,再根據(jù)切割線定理可得CD2CECB,所以CECBADDB,故選A.答案A4.已知在RtABC中,CD是斜邊上的高,若ADp,BDq,則tan A的值是()A.pqB.qC.pD.解析由已知可利用射影定理得:CD,在RtACD中tan A.答案C5.如圖,在矩形ABCD中,AB,BC3,BEAC,垂足為E,則ED_.解析ABBC,BEAC,AC2,由射影定理得:BC2CEAC,CE.又在RtBEC中,cosBCE,BCE30,ECD60,由余弦定理可求DE2.DE.答案6.如圖,在RtABC中,CD是斜邊AB上的高,DE是RtBCD斜邊BC上的高,若BE6,CE2,求AD的長(zhǎng).解CDAB,即CDB90,DEBC.由射影定理可知:DE2CEBE12,DE2,CD2CEBC16,CD4,BD2BEBC48,BD4,在RtABC中,由射影定理可得:CD2ADBD,AD.二、能力提升7.如圖所示,在ABC中,CDAB,BDABAC,則BAC等于()A.60 B.30C.45 D.75解析BDABAC,ABBDACAD,又CDAB,CDA90,在RtADC中,由ADAC,則BAC60.答案A8.如圖,已知RtABC的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,則BD_.解析如圖,依題意有AB5(cm),連接CD,則CDAB,所以BC2BDAB,所以BD(cm).答案9.在ABC中,ACB90,CDAB于D,ADBD23,則ACD與CBD的面積比為_.解析由已知可設(shè)AD2x,則BD3x,ACB90,CDAB,由射影定理得:CD2ADBD6x2,CDx,SACDSCBD.答案10.如圖所示,在ABC中,BAC90,ADBC于D,DFAC于F,DEAB于E.求證:(1)ABACADBC;(2)AD3BCBECF;(3).證明(1)在RtABC中,ADBC,SABCABACBCAD,ABACBCAD.(2)在RtADB中,DEAB,由射影定理得BD2BEAB.同理,在RtADC中,DFAC,CD2CFAC,BD2CD2BEABCFAC.又在RtABC中,ADBC,AD2BDDC,AD4BD2DC2,即AD4BEABCFAC.由(1)知ABACBCAD,AD4BECFBCAD,AD3BECFBC.(3)由射影定理得BD2BEAB,BE.又CD2CFAC,CF,由得.又AB2BDBC,BD,同理,AC2CDBC,CD,.將代入得,即.11.如圖,在ABC中,D,F(xiàn)分別在AC,BC上,且ABAC,AFBC,BDDCFC1,求AC.解在ABC中,設(shè)AC為x,ABAC,AFBC.又FC1,根據(jù)射影定理,得AC2FCBC,即BCx2.再由射影定理,得AF2BFFC(BCFC)FC,即AF2x21,AF.在BDC中,過(guò)D作DEBC于E.BDDC1,BEECx2.又AFBC,DEAF,DE.在RtDEC中,DE2EC2DC2,即12,1.整理得x64,x,即AC.三、探究與創(chuàng)新12.在RtABC中,ACB90,CDAB于D,SSABCSADC.求證:BDAC.證明如圖,SSABCSADC,即,即,BD2ABAD.由射影定理,得AC2ADAB,AC2BD2,即ACBD.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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