D71向量及運算點積叉積.ppt
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第七章 空間解析幾何 一 空間直角坐標系 二 向量及其應(yīng)用 數(shù)量積 向量積 一 空間直角坐標系 由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則 組成一個空間直角坐標系 坐標原點 坐標軸 x軸 橫軸 y軸 縱軸 z軸 豎軸 過空間一定點O 坐標面 卦限 八個 1 空間直角坐標系的基本概念 zOx面 在直角坐標系下 向徑 坐標軸上的點P Q R 坐標面上的點A B C 點M 特殊點的坐標 有序數(shù)組 稱為點M的坐標 原點O 0 0 0 坐標軸 坐標面 表示法 向量的模 向量的大小 二 向量及其應(yīng)用 向量 又稱矢量 既有大小 又有方向的量稱為向量 自由向量 與起點無關(guān)的向量 單位向量 模為1的向量 零向量 模為0的向量 有向線段M1M2 或a 或a 一 向量的概念 零向量的方向是任意的 規(guī)定 零向量與任何向量平行 記作 因平行向量可平移到同一直線上 故兩向量平行又稱 兩向量共線 若k 3 個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 則稱此k 個向量共面 二 向量的線性運算 1 向量的加法 三角形法則 平行四邊形法則 運算規(guī)律 交換律 結(jié)合律 三角形法則可推廣到多個向量相加 2 向量的減法 三角不等式 可見 3 向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù) 規(guī)定 總之 運算律 結(jié)合律 分配律 因此 設(shè) 為唯一實數(shù) 注 為非零向量 則 三 向量的坐標表示 在空間直角坐標系下 設(shè)點M 則 沿三個坐標軸方向的分向量 的坐標為 記 利用坐標作向量的線性運算 則 平行向量對應(yīng)坐標成比例 向量的模 方向角 投影 1 向量的模與兩點間的距離公式 則有 由勾股定理得 因 得兩點間的距離公式 對兩點 與 2 方向角與方向余弦 設(shè)有兩非零向量 任取空間一點O 稱 AOB 0 為向量 的夾角 類似可定義向量與軸 軸與軸的夾角 與三坐標軸的夾角 為其方向角 方向角的余弦稱為其方向余弦 方向余弦的性質(zhì) 3 向量在軸上的投影 例如 在坐標軸上的投影分別為 即 投影的性質(zhì) 為實數(shù) 定理1 的充要條件是 證 那么由 如果 設(shè)A x1 y1 z1 和B x2 y2 z3 為兩點 均非原點O 則 x1x2 y1y2 z1z2 0 為鄰邊所確定的 平行四邊形 所以對角向量 和 長度相同 即 而 于是有 x1x2 y1y2 z1z2 0 充分性倒推即可 為矩形 四 兩向量的數(shù)量積 1 定義 設(shè)向量 的夾角為 稱 數(shù)量積 點積 故 2 性質(zhì) 為兩個非零向量 則有 3 運算律 1 交換律 2 結(jié)合律 3 分配律 事實上 當 時 顯然成立 4 數(shù)量積的坐標表示 設(shè) 則 當 為非零向量時 由于 兩向量的夾角公式 得 于是方向余弦為 設(shè) 顯然 x y z 五 兩向量的向量積 二 三階行列式 1 定義 定義 向量 方向 叉積 記作 且符合右手規(guī)則 模 向量積 思考 右圖三角形面積 S 兩個向量的向量積 2 性質(zhì) 為非零向量 則 4 分配律 5 結(jié)合律 6 3 向量積的坐標表示式 設(shè) 則 向量積的行列式計算法 例 設(shè)A 1 1 3 B 3 1 5 C 2 1 7 求 ABC的面積 S ABC 解 六 向量的混合積 1 定義 已知三向量 稱數(shù)量 混合積 幾何意義 為棱作平行六面體 底面積 高 故平行六面體體積為 則其 2 混合積的坐標表示 設(shè) 3 性質(zhì) 1 三個非零向量 共面的充要條件是 2 輪換對稱性 可用三階行列式推出 作業(yè)P2663 11 14 17 21- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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