2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題15 隨機(jī)變量及其應(yīng)用練習(xí) 理.docx
《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題15 隨機(jī)變量及其應(yīng)用練習(xí) 理.docx》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題15 隨機(jī)變量及其應(yīng)用練習(xí) 理.docx(20頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
15隨機(jī)變量及其應(yīng)用1.一個(gè)盒子中裝有12個(gè)乒乓球,其中9個(gè)沒有使用過的、3個(gè)已經(jīng)使用過的,從盒中任取3個(gè)球來用,用完后裝回盒中,此時(shí)盒中已經(jīng)使用過的球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(X=4)的值為().A.1220B.2755C.27220D.2155解析“X=4”表示從盒中取了2個(gè)已經(jīng)使用過的球,1個(gè)沒有使用過的球,故P(X=4)=C32C91C123=27220.答案C2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P35310110則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=().A.32B.2C.52D.3解析由數(shù)學(xué)期望公式可得E(X)=135+2310+3110=32.答案A3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,82),若P(X2)=0.023,則P(-2X2)=.解析因?yàn)?0,所以P(X2)=P(X-2)=0.023,所以P(-2X2)=1-20.023=0.954.答案0.9544.若隨機(jī)變量XB(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,則p=.解析因?yàn)殡S機(jī)變量XB(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以np=7,np(1-p)=6,解得p=17.答案17能力1求離散型隨機(jī)變量的分布列【例1】私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活,少開私家車,盡量選擇綠色出行方式,為預(yù)防霧霾出一份力.為此,很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車尾號限行,我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查了50人,將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制成下表:年齡/歲15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634(1)若從年齡在15,25)和25,35)這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求恰有2人不贊成的概率;(2)在(1)的條件下,令選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列.解析(1)由表知,年齡在15,25)內(nèi)的有5人,不贊成的有1人,年齡在25,35)內(nèi)的有10人,不贊成的有4人,則恰有2人不贊成的概率為P=C41C52C41C61C102+C42C52C42C102=4102445+610645=2275.(2)的所有可能取值為0,1,2,3.P(=0)=C42C52C62C102=6101545=15,P(=1)=C41C52C62C102+C42C52C41C61C102=4101545+6102445=3475,P(=2)=2275,P(=3)=C41C52C42C102=410645=475,的分布列是0123P1534752275475離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明取值:明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些,且每一個(gè)取值所表示的意義.(2)求概率:要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型,利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率.(3)畫表格:按規(guī)范要求寫出分布列.(4)做檢驗(yàn):利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確.已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求X的分布列.解析(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,則P(A)=A21A31A52=310.(2)X的可能取值為200,300,400.P(X=200)=A22A52=110,P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=35.故X的分布列為X200300400P11031035能力2相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【例2】某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率.(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列.解析記E=甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功,F=乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功,由題設(shè)知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E與F,E與F,E與F,E與F都相互獨(dú)立.(1)記H=至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功,則H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=1325=215,故所求的概率P(H)=1-P(H)=1-215=1315.(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元),則X的可能取值為0,100,120,220,因?yàn)镻(X=0)=P(EF)=1325=215,P(X=100)=P(EF)=1335=15,P(X=120)=P(EF)=2325=415,P(X=220)=P(EF)=2335=25.故所求的分布列為X0100120220P2151541525(1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構(gòu)成,將其轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的積,然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.正面計(jì)算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí),可從其對立事件入手計(jì)算.某中學(xué)籃球體育測試要求學(xué)生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項(xiàng)測試,“立定投籃”與“三步上籃”各有2次投籃機(jī)會(huì),先進(jìn)行“立定投籃”測試,如果合格才有機(jī)會(huì)進(jìn)行“三步上籃”測試,為了節(jié)約時(shí)間,每項(xiàng)只需且必須投中一次即為合格.小明同學(xué)“立定投籃”的命中率為12,“三步上籃”的命中率為34,假設(shè)小明不放棄任何一次投籃機(jī)會(huì)且每次投籃是否命中互不影響.(1)求小明同學(xué)兩項(xiàng)測試合格的概率;(2)設(shè)測試過程中小明投籃的次數(shù)為,求的分布列.解析設(shè)小明第i次“立定投籃”命中為事件Ai(i=1,2),第j次“三步上籃”命中為事件Bj(j=1,2),依題意有P(Ai)=12(i=1,2),P(Bj)=34(j=1,2),“小明同學(xué)兩項(xiàng)測試合格”為事件C.(1)P(C)=P(A1A2)+P(A1A2B1B2)+P(A1B1B2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)+P(A1)P(B1)P(B2)=1-122+1-12121-342+121-342=1964.P(C)=1-1964=4564.(2)依題意知=2,3,4,P(=2)=P(A1B1)+P(A1A2)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(A2)=58,P(=3)=P(A1B1B2)+P(A1A2B1)+P(A1B1B2)=P(A1)P(B1)P(B2)+P(A1)P(A2)P(B1)+P(A1)P(B1)P(B2)=516,P(=4)=P(A1A2B1)=P(A1)P(A2)P(B1)=116.故投籃的次數(shù)的分布列為234P58516116能力3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例3】某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本,然后稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495,(495,500,(510,515.由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列;(3)用樣本估計(jì)總體,從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列.解析(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為50.05+50.01=0.3,故質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為400.3=12(件).(2)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件,則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件.由題意知X的取值為0,1,2,X服從超幾何分布.P(X=0)=C282C402=63130,P(X=1)=C121C281C402=2865,P(X=2)=C122C402=11130,X的分布列為X012P63130286511130(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,取一件產(chǎn)品,該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為1240=310.從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響,該問題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2,且YB2,310,P(Y=k)=C2k1-3102-k310k,P(Y=0)=C207102=49100,P(Y=1)=C21310710=2150,P(Y=2)=C223102=9100.Y的分布列為Y012P4910021509100利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k的三個(gè)條件:(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p;(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.為了解一種植物果實(shí)的情況,隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測量重量(單位:克),按照27.5,32.5),32.5,37.5),37.5,42.5),42.5,47.5),47.5,52.5分為5組,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中a的值.(2)估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)x和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(3)已知這種植物果實(shí)重量不低于32.5克的為優(yōu)質(zhì)果實(shí),用樣本估計(jì)總體.若從這種植物果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè),其中優(yōu)質(zhì)果實(shí)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解析(1)組距d=5,由5(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05.(2)各組中點(diǎn)值和相應(yīng)的頻率依次為中點(diǎn)值3035404550頻率0.10.20.3750.250.075x=300.1+350.2+400.375+450.25+500.075=40,s2=(-10)20.1+(-5)20.2+020.375+520.25+1020.075=28.75.(3)由已知,這種植物果實(shí)的優(yōu)質(zhì)率p=0.9,且XB(3,0.9),故P(X=k)=C3k0.9k(1-0.9)3-k(k=0,1,2,3),X的分布列為X0123P0.0010.0270.2430.729E(X)=np=2.7.能力4正態(tài)分布【例4】(1)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,2),且P(4)=0.8,則P(04)=().A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2(2)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線的一部分)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為().附:若XN(,2),則P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544.A.1193B.1359C.2718D.3413解析(1)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,2),=2,對稱軸為x=2,P(4)=0.8,P(4)=P(0)=0.2,P(04)=0.6.(2)對于正態(tài)分布N(-1,1),=-1,=1,正態(tài)曲線關(guān)于直線x=-1對稱,故題圖中陰影部分的面積為12P(-3X1)-P(-2X0)=12P(-2X+2)-P(-X+)=12(0.9544-0.6826)=0.1359,點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P=0.13591=0.1359,故投入10000個(gè)點(diǎn),落入陰影部分的個(gè)數(shù)約為100000.1359=1359.答案(1)A(2)B(1)利用3原則求概率問題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的,進(jìn)行對比聯(lián)系,確定它們屬于(-,+),(-2,+2),(-3,+3)中的哪一個(gè).(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=對稱,及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個(gè)結(jié)論的活用:P(Xa)=1-P(Xa);P(X-)=P(X+).已知某批零件的長度誤差X(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為().(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2),則P(-+)=0.6826,P(-2+2)=0.9544)A.0.0456B.0.1359C.0.2718D.0.3174解析依題意知,XN(0,32),其中=0,=3.P(-3X3)=0.6826,P(-6X6)=0.9544.因此P(3X6)=12P(-6X6)-P(-3X3)=12(0.9544-0.6826)=0.1359.答案B能力5離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例5】為迎接2022年北京冬奧會(huì),推廣滑雪運(yùn)動(dòng),某滑雪場開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi),超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場滑雪,設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為14,16;1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為12,23;兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量(單位:元),求的分布列與數(shù)學(xué)期望E(),方差D().解析(1)兩人所付費(fèi)用相同,相同的費(fèi)用可能為0元,40元,80元,兩人都付0元的概率為P1=1416=124,兩人都付40元的概率為P2=1223=13,兩人都付80元的概率為P3=1-14-121-16-23=1416=124,則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P=P1+P2+P3=124+13+124=512.(2)由題設(shè)知可能取值為0,40,80,120,160,則P(=0)=1416=124;P(=40)=1423+1216=14;P(=80)=1416+1223+1416=512;P(=120)=1216+1423=14;P(=160)=1416=124.故的分布列為04080120160P1241451214124E()=0124+4014+80512+12014+160124=80.D()=(0-80)2124+(40-80)214+(80-80)2512+(120-80)214+(160-80)2124=40003.(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值,寫出隨機(jī)變量的分布列,正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算.(2)注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的應(yīng)用.某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇.項(xiàng)目一:新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和29.項(xiàng)目二:通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35,13和115.針對以上兩個(gè)投資項(xiàng)目,請你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說明理由.解析若按“項(xiàng)目一”投資,設(shè)獲利為X1萬元,則X1的分布列為X1300-150P7929E(X1)=30079+(-150)29=200(萬元).若按“項(xiàng)目二”投資,設(shè)獲利為X2萬元,則X2的分布列為X2500-3000P3513115E(X2)=50035+(-300)13+0115=200(萬元).D(X1)=(300-200)279+(-150-200)229=35000,D(X2)=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140000.E(X1)=E(X2),D(X1)D(X2),這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等,但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述,建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.一、選擇題1.打靶時(shí),甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若兩人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo),則他們同時(shí)中靶的概率是().A.1425B.1225C.34D.35解析因?yàn)榧酌看?0次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P(甲)=45,P(乙)=710,所以他們都中靶的概率是45710=1425.答案A2.若隨機(jī)變量X的分布列為X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(Xa)=0.8時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.(-,2B.1,2C.(1,2D.(1,2)解析由隨機(jī)變量X的分布列知P(X-1)=0.1,P(X0)=0.3,P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,則當(dāng)P(Xa)=0.8時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2.答案C3.從裝有3個(gè)白球、4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率是().A.435B.635C.1235D.36343解析如果將白球視為合格品,紅球視為不合格品,那么這是一個(gè)超幾何分布問題,故所求概率為P=C32C41C73=1235.答案C4.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X135P0.5m0.2則其方差D(X)=().A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+m+0.2=1得m=0.3,E(X)=10.5+30.3+50.2=2.4,D(X)=(1-2.4)20.5+(3-2.4)20.3+(5-2.4)20.2=2.44.答案C5.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是().A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,則P(A)=0.75,P(AB)=0.6.由條件概率,得P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.75=0.8.答案A6.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),且E(X)=2.4,D(X)=1.44,則n,p的值為().A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1解析由XB(n,p)及E(X)=np,D(X)=np(1-p)得2.4=np,且1.44=np(1-p),解得n=6,p=0.4.故選B.答案B7.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,2),則函數(shù)f(x)=x2+2x+X不存在零點(diǎn)的概率為().A.14B.13C.12D.23解析函數(shù)f(x)=x2+2x+X不存在零點(diǎn),=4-4X1.XN(1,2),P(X1)=12,故選C.答案C8.某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為18和p,若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為940,則p=().A.110B.215C.16D.15解析由題意得18(1-p)+1-18p=940,p=215,故選B.答案B9.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為23,乙在每局中獲勝的概率為13,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立,則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望E(X)為().A.24181B.26681C.27481D.670243解析依題意,知X的所有可能值為2,4,6,設(shè)每兩局比賽為一輪,則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為232+132=59.若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時(shí),該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P(X=2)=59,P(X=4)=4959=2081,P(X=6)=492=1681,故E(X)=259+42081+61681=26681.答案B二、填空題10.若隨機(jī)變量XN(,2),且P(X5)=P(X-1)=0.2,則P(2X5)=P(X-1),=5-12=2,P(2X5)=12P(-1X5)=12(1-0.2-0.2)=0.3.答案0.311.已知隨機(jī)變量的分布列為123P12xy若E()=158,則D()=.解析由分布列性質(zhì),得x+y=12.又E()=158,得2x+3y=118,可得x=18,y=38.D()=1-158212+2-158218+3-158238=5564.答案556412.一個(gè)質(zhì)地均勻小正方體的六個(gè)面中,三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字0、兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1、一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字2.將這個(gè)小正方體拋擲2次,則向上的數(shù)之積X的數(shù)學(xué)期望是.解析隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,4,則P(X=0)=34,P(X=1)=19,P(X=2)=19,P(X=4)=136,因此E(X)=49.答案4913.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層???若該電梯在底層有5個(gè)乘客,且每位乘客在這三層中任一層下電梯的概率均為13,用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),則P(X=4)=.解析考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn),這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故XB5,13,即P(X=k)=C5k13k235-k,k=0,1,2,3,4,5.故P(X=4)=C54134231=10243.答案10243三、解答題14.霧霾天氣對人體健康有傷害,應(yīng)對霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM2.5.我們要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強(qiáng)化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措,聚焦重點(diǎn)領(lǐng)域,嚴(yán)格指標(biāo)考核.某省環(huán)保部門為加強(qiáng)環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管,派遣四個(gè)不同的專家組對A,B,C三個(gè)城市進(jìn)行治霾落實(shí)情況抽查.(1)若每個(gè)專家組隨機(jī)選取一個(gè)城市,四個(gè)專家組選取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一個(gè)城市沒有專家組選取的概率.(2)若每一個(gè)城市都要由四個(gè)專家組分別對抽查情況進(jìn)行評價(jià),每個(gè)專家組給每一個(gè)城市評價(jià)為優(yōu)的概率均為12,若四個(gè)專家組均評價(jià)為優(yōu)則檢查通過不用復(fù)檢,否則需進(jìn)行復(fù)檢.設(shè)需進(jìn)行復(fù)檢的城市的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望.解析(1)隨機(jī)選取,共有34=81種不同方法,恰有一個(gè)城市沒有專家組選取的有C32CA(4122C+42)=42種不同方法,故恰有一個(gè)城市沒有專家組選取的概率為4281=1427.(2)設(shè)事件A為“城市需復(fù)檢”,則P(A)=1-124=1516,由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C301163=14096,P(X=1)=C3111621516=454096,P(X=2)=C3211615162=6754096,P(X=3)=C3315163=33754096.所以X的分布列為X0123P14096454096675409633754096因?yàn)閄B3,1516,所以E(X)=31516=4516.15.某手機(jī)賣場對市民進(jìn)行國產(chǎn)手機(jī)認(rèn)可度調(diào)查,隨機(jī)抽取100名市民,按年齡(單位:歲)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下:分組/歲頻數(shù)25,30)x30,35)y35,40)3540,45)3045,5010合計(jì)100(1)求頻率分布表中x,y的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖;(2)在抽取的這100名市民中,按年齡進(jìn)行分層抽樣,抽取20人參加國產(chǎn)手機(jī)用戶體驗(yàn)問卷調(diào)查,現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送精美禮品一份,設(shè)這2名市民中年齡在35,40)內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列.解析(1)由題意知,年齡在25,30)內(nèi)的頻率為0.015=0.05,故x=1000.05=5.因?yàn)槟挲g在30,35)內(nèi)的頻率為1-(0.01+0.07+0.06+0.02)5=1-0.8=0.2,所以y=1000.2=20,且30,35)這組對應(yīng)的頻率組距=0.25=0.04.補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示.(2)因?yàn)槟挲g按從小到大的各層人數(shù)之間的比為520353010=14762,且共抽取20人,所以抽取的20人中,年齡在35,40)內(nèi)的人數(shù)為7.由題意知,X可取0,1,2,則P(X=0)=C132C202=78190,P(X=1)=C131C71C202=91190,P(X=2)=C72C202=21190.故X的分布列為X012P78190911902119016.某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,按規(guī)定該產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在45,75)的為優(yōu)質(zhì)品.從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取500件,測量這些產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,結(jié)果如下表:指標(biāo)值分組25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85)85,95甲廠頻數(shù)1040115165120455乙廠頻數(shù)56011016090705(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面22列聯(lián)表,并回答是否有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量有差異.甲廠乙廠合計(jì)優(yōu)質(zhì)品760非優(yōu)質(zhì)品240合計(jì)5005001000(2)求優(yōu)質(zhì)品率較高的分廠的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(3)經(jīng)計(jì)算,甲分廠的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差s12=142,乙分廠的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差s22=162,可認(rèn)為優(yōu)質(zhì)品率較高的分廠的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù)x,2近似為樣本方差s2.由優(yōu)質(zhì)品率較高的分廠的抽樣數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中,質(zhì)量指標(biāo)值不低于71.92的產(chǎn)品至少占全部產(chǎn)品的18%?附注:P(K2k0)0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考數(shù)據(jù):14211.92,16212.73.參考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.若XN(,2),則P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544,P(-3X6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異.(2)甲分廠優(yōu)質(zhì)品率=400500=0.8,乙分廠優(yōu)質(zhì)品率=360500=0.72,所以甲分廠優(yōu)質(zhì)品率高.甲分廠的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x=1500(3010+4040+50115+60165+70120+8045+905)=60.(3)由(2)知=60,2=142,甲分廠的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布XN(60,142),又=14211.92,則P(60-11.92X60+11.92)=P(48.08X71.92)=0.6826,P(X71.92)=1-P(48.08X71.92)2=1-0.68262=0.15870.18,故不能認(rèn)為甲分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中,質(zhì)量指標(biāo)值不低于71.92的產(chǎn)品至少占全部產(chǎn)品的18%.- 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