(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第19練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題 理.docx
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第19練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用明晰考情1.命題角度:函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點,常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.2.題目難度:偏難題.考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)方法技巧求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題的基本思路:(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì),進而畫出其圖象;(3)結(jié)合圖象求解.1.設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程;(2)設(shè)ab4,若函數(shù)f(x)有三個不同零點,求c的取值范圍.解(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb.f(0)c,f(0)b,曲線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當ab4時,f(x)x34x24xc,f(x)3x28x4.令f(x)0,得3x28x40,解得x2或x.當x變化時,f(x)與f(x)在區(qū)間(,)上的變化情況如下:x(,2)2f(x)00f(x)cc當c0且c0時,f(4)c160,存在x1(4,2),x2,x3,使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知,當且僅當c時,函數(shù)f(x)x34x24xc有三個不同零點.2.已知函數(shù)f(x)2lnx(aR,a0).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)有最小值,記為g(a),關(guān)于a的方程g(a)a1m有三個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.解(1)f(x)(x0),當a0時,f(x)0時,f(x),則f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,)上單調(diào)遞增.(2)由(1)知,a0,f(x)minf()1ln a,即g(a)1ln a,方程g(a)a1m,即maln a(a0),令F(a)aln a(a0),則F(a)1,知F(a)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,F(xiàn)(a)極大值Fln 3,F(xiàn)(a)極小值Fln 2ln 3.依題意得實數(shù)m的取值范圍是.3.已知函數(shù)f(x)(x1)exax2,aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.解(1)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a).若a0,則當x0時,f(x)0;當x0時,f(x)0.故函數(shù)f(x)在(,0)上單調(diào)遞減,在(0,)上單調(diào)遞增.當a0時,由f(x)0,解得x0或xln(2a).()若ln(2a)0,即a,則xR,f(x)x(ex1)0,故f(x)在(,)上單調(diào)遞增;()若ln(2a)0,即a0;當x(ln(2a),0)時,f(x)0,即a0;當x(0,ln(2a)時,f(x)0時,由(1)知,函數(shù)f(x)在(,0)上單調(diào)遞減,在(0,)上單調(diào)遞增.因為f(0)10,取實數(shù)b滿足b2且ba(b1)ab2a(b2b1)a(421)0,所以f(x)有兩個零點;若a0,則f(x)(x1)ex,故f(x)只有一個零點.若a0,由(1)知,當a時,則f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,又當x0時,f(x)0,故f(x)不存在兩個零點;當ag(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點是解題的突破口.4.設(shè)函數(shù)f(x)lnxx1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當x(1,)時,10),得f(x)1.令f(x)0,解得x1.當0x0,f(x)單調(diào)遞增;當x1時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減.因此,f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,)上為減函數(shù).(2)證明當x(1,)時,1x,即為ln xx11時,f(x)0恒成立,即f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,可得f(x)f(1)0,即有l(wèi)n x1,則F(x)1ln x1ln x,當x1時,F(xiàn)(x)0,可得F(x)在(1,)上單調(diào)遞增,即有F(x)F(1)0,即有xln xx1.綜上,原不等式得證.5.設(shè)函數(shù)f(x)e2xalnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點的個數(shù);(2)證明:當a0時,f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域為(0,),f(x)2e2x(x0).當a0時,f(x)0,f(x)沒有零點;當a0時,設(shè)u(x)e2x,v(x),因為u(x)e2x在(0,)上單調(diào)遞增,v(x)在(0,)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞增.又f(a)0,當b滿足0b且b時,f(b)0時,f(x)存在唯一零點.(2)證明由(1),可設(shè)f(x)在(0,)上的唯一零點為x0,當x(0,x0)時,f(x)0.故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,)上單調(diào)遞增,所以當xx0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).由于20,所以f(x0)aln x02ax02ax0aln x02ax0aln2aaln.當且僅當x0時,取等號.故當a0時,f(x)2aaln.6.設(shè)函數(shù)f(x)ax21lnx,其中aR.(1)若a0,求過點(0,1)且與曲線yf(x)相切的直線方程;(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2.求實數(shù)a的取值范圍;求證:f(x1)f(x2)0.(i)若a0,則f(x)0,由f(x)0,解得x.當0x時,f(x)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)minfln1ln.要使函數(shù)f(x)有兩個零點,首先ln0,解得0ae.當0a.因為f0,所以ff0.又函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,且其圖象在上不間斷,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上恰有1個零點.考查函數(shù)g(x)x1ln x,則g(x)1.當x(0,1)時,g(x)0,函數(shù)g(x)在(1,)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(1)0,所以f1ln0.因為0,所以.因為ff0,且f(x)在上單調(diào)遞增,其圖象在上不間斷,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上恰有1個零點,即在上恰有1個零點.綜上所述,a的取值范圍是(0,e).證明由x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點(不妨設(shè)0x1x2),得兩式相減,得a(xx)ln 0,即a(x1x2)(x1x2)ln 0,所以a(x1x2).f(x1)f(x2)0等價于ax1ax20,即a(x1x2)0,即0.設(shè)h(x)2ln xx,x(0,1).則h(x)1h(1)0.因為(0,1),所以2ln0,即f(x1)f(x2)f(x)max或af(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,在參數(shù)難于分離的情況下,直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題,注意對參數(shù)的分類討論.(3)數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解,一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.7.已知函數(shù)f(x)exex2ax(aR).(1)若f(x)在(0,1)上單調(diào),求a的取值范圍;(2)若函數(shù)yf(x)exlnx的圖象恒在x軸上方,求a的最小整數(shù)解.解(1)由題意知,f(x)ex2exa,令h(x)ex2exa,則h(x)ex2e,當x(0,1)時,h(x)0恒成立,令g(x)xlnx(x0),則g(x),令t(x)ex1x,t(x)ex11,當x1時,t(x)0,t(x)單調(diào)遞增,當0x1時,t(x)0,t(x)單調(diào)遞減,t(x)t(1)0,ex1x0.當x1時,g(x)單調(diào)遞增,當0x0,故a的最小整數(shù)解為1.8.已知函數(shù)f(x)lnx.(1)若函數(shù)g(x)f(x)axx2有兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若關(guān)于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有實數(shù)解,求整數(shù)m的最大值.解(1)g(x)ln xaxx2(x0),則g(x),由題意得方程x2ax10有兩個不等的正實數(shù)根,設(shè)兩根為x1,x2,x1,2,則a2,即a的取值范圍為(2,).(2)方程ln xm(x1),即m,設(shè)h(x)(x0),則h(x),令(x)ln x(x0),則(x)0,h(e2)0,h(x)單調(diào)遞增;當x(x0,)時,h(x)0時,h(t)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(,)上單調(diào)遞增.從而,所以0k2.例(16分)已知函數(shù)f(x)lnxmxm,mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)0在x(0,)上恒成立,求實數(shù)m的值;(3)在(2)的條件下,對任意的0ab,求證:.審題路線圖(1)(2)(3)規(guī)范解答評分標準(1)解f(x)m(x(0,).當m0時,f(x)0恒成立,則函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當m0時,由f(x)m0,可得x,則f(x)在上單調(diào)遞增,由f(x)m0,可得x,則f(x)在上單調(diào)遞減.5分(2)解由(1)知,當m0時顯然不成立;當m0時,f(x)maxfln1mmlnm1,只需mlnm10即可,令g(x)xlnx1,則g(x)1,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增,所以g(x)ming(1)0.故f(x)0在x(0,)上恒成立時,m1.11分(3)證明11,由0ab,得1,由(2)得0ln1,則11,則原不等式成立.16分構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)數(shù).第二步看性質(zhì):根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì).第三步用性質(zhì):將題中條件或要證結(jié)論轉(zhuǎn)化,如果成立或有解問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,證明不等式可利用函數(shù)單調(diào)性和放縮法.第四步得結(jié)論:審視轉(zhuǎn)化過程的合理性.第五步再反思:回顧反思,檢查易錯點和步驟規(guī)范性.1.設(shè)函數(shù)f(x)x2mlnx,g(x)x2(m1)x,m0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當m1時,討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,),f(x).當0x時,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當x時,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,.(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmlnx,x0,問題等價于求函數(shù)F(x)的零點個數(shù).F(x),當m1時,F(xiàn)(x)0,函數(shù)F(x)在(0,)上為減函數(shù),注意到F(1)0,F(xiàn)(4)ln40,所以F(x)有唯一零點.當m1時,若0x1或xm,則F(x)0;若1xm,則F(x)0,所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m,)上單調(diào)遞減,在(1,m)上單調(diào)遞增,注意到F(1)m0,F(xiàn)(2m2)mln(2m2)0,所以F(x)有唯一零點.綜上,函數(shù)F(x)有唯一零點,即兩函數(shù)圖象總有一個交點.2.(2017全國)已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當a0,故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增.若a0;當x時,f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上,當a0,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當a0時,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知,當a0),則g(x)1.當x(0,1)時,g(x)0;當x(1,)時,g(x)0時,g(x)0.從而當a0,得0x1,由f(x)1,f(x)1ln x在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,).(2)解由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增,在(1,e上單調(diào)遞減,f(x)在上的最大值為f(1)1ln 10.又f1eln2e,f(e)1ln e,且f0在x(1,)上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,說明理由.解(1)當k1時,f(x)xln xx1,f(x)ln x.令f(x)0,解得x1,令f(x)0,解得0x1,知f(x)0,f(x)在(1,)上是單調(diào)增函數(shù),且圖象不間斷,又f(1)0,當x1時,f(x)f(1)0,函數(shù)yf(x)在區(qū)間(1,)上沒有零點,不合題意.當k1時,由f(x)0,解得xek11,若1xek1,則f(x)ek1,則f(x)0,故f(x)在(ek1,)上是增函數(shù),當1xek1時,f(x)0,f(x)在(1,)上的圖象不間斷,函數(shù)yf(x)在區(qū)間(1,)上有1個零點,符合題意.綜上所述,k的取值范圍為(1,).(3)假設(shè)存在正整數(shù)k,使得f(x)x0在(1,)上恒成立,則由x1知x10,從而k0,h(x)在(1,)上是增函數(shù),又h(3)1ln 30,h(x)在3,4上的圖象不間斷,存在唯一的實數(shù)x0(3,4),使得h(x0)0,當1xx0時,h(x)0,g(x)x0時,h(x)0,g(x)0,g(x)在(x0,)上單調(diào)遞增,當xx0時,g(x)有極小值,即為最小值,g(x0),又h(x0)x02ln x00,ln x0x02,g(x0)x0,由(*)知,k0在x(1,)上恒成立.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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