(浙江專用)2020版高考數學新增分大一輪復習 第五章 三角函數、解三角形 5.3 三角函數的圖象與性質講義(含解析).docx
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5.3三角函數的圖象與性質最新考綱考情考向分析1.理解正弦函數、余弦函數、正切函數的定義及其圖象與性質2.了解三角函數的周期性.以考查三角函數的圖象和性質為主,題目涉及三角函數的圖象及應用、圖象的對稱性、單調性、周期性、最值、零點考查三角函數性質時,常與三角恒等變換結合,加強數形結合思想、函數與方程思想的應用意識題型既有選擇題和填空題,又有解答題,中檔難度.1用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)在正弦函數ysinx,x0,2的圖象中,五個關鍵點是:(0,0),(,0),(2,0)(2)在余弦函數ycosx,x0,2的圖象中,五個關鍵點是:(0,1),(,1),(2,1)2正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中kZ)函數ysinxycosxytanx圖象定義域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函數偶函數奇函數遞增區(qū)間2k,2k遞減區(qū)間2k,2k無對稱中心(k,0)對稱軸方程xkxk無概念方法微思考1正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是多少?相鄰兩個對稱中心的距離呢?提示正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是半個周期;相鄰兩個對稱中心的距離也為半個周期2思考函數f(x)Asin(x)(A0,0)是奇函數,偶函數的充要條件?提示(1)f(x)為偶函數的充要條件是k(kZ);(2)f(x)為奇函數的充要條件是k(kZ)題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)ysinx在第一、第四象限是增函數()(2)由sinsin知,是正弦函數ysinx(xR)的一個周期()(3)正切函數ytanx在定義域內是增函數()(4)已知yksinx1,xR,則y的最大值為k1.()(5)ysin|x|是偶函數()題組二教材改編2P35例2函數f(x)cos的最小正周期是_答案3P46A組T2y3sin在區(qū)間上的值域是_答案解析當x時,2x,sin,故3sin,即y3sin的值域為.4P47B組T2函數ytan的單調遞減區(qū)間為_答案(kZ)解析由k2xk(kZ),得xcos23cos97解析sin68cos22,又ycosx在0,180上是減函數,sin68cos23cos97.題型一三角函數的定義域1函數f(x)2tan的定義域是()A.B.C.D.答案D解析由正切函數的定義域,得2xk,kZ,即x(kZ),故選D.2函數y的定義域為_答案(kZ)解析方法一要使函數有意義,必須使sinxcosx0.利用圖象,在同一坐標系中畫出0,2上ysinx和ycosx的圖象,如圖所示在0,2內,滿足sinxcosx的x為,再結合正弦、余弦函數的周期是2,所以原函數的定義域為.方法二利用三角函數線,畫出滿足條件的終邊范圍(如圖中陰影部分所示)所以定義域為.3函數ylg(sinx)的定義域為_答案解析要使函數有意義,則即解得所以2kx2k(kZ),所以函數的定義域為.思維升華三角函數定義域的求法求三角函數的定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組),常借助三角函數線或三角函數圖象來求解題型二三角函數的值域(最值)例1(1)函數y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2B0C1D1答案A解析因為0x9,所以,所以sin1,則y2.所以ymaxymin2.(2)函數ycos2x2cosx的值域是()A1,3B.C.D.答案B解析ycos2x2cosx2cos2x2cosx122,因為cosx1,1,所以原式的值域為.(3)(2018全國)已知函數f(x)2sinxsin2x,則f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2(2cosx1)(cosx1)cosx10,當cosx時,f(x)時,f(x)0,f(x)單調遞增,當cosx時,f(x)有最小值又f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx),當sinx時,f(x)有最小值,即f(x)min2.思維升華求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型:(1)形如yasinxbcosxc的三角函數化為yAsin(x)c的形式,再求值域(最值);(2)形如yasin2xbsinxc的三角函數,可先設sinxt,化為關于t的二次函數求值域(最值);(3)形如yasinxcosxb(sinxcosx)c的三角函數,可先設tsinxcosx,化為關于t的二次函數求值域(最值)(4)一些復雜的三角函數,可考慮利用導數確定函數的單調性,然后求最值跟蹤訓練1(1)(2017臺州模擬)已知函數f(x)sin,其中x,若f(x)的值域是,則實數a的取值范圍是_答案解析x,x,當x時,f(x)的值域為,由函數的圖象(圖略)知,a,a.(2)函數ysinxcosxsinxcosx的值域為_答案解析設tsinxcosx,則t2sin2xcos2x2sinxcosx,sinxcosx,且t.yt(t1)21,t,當t1時,ymax1;當t時,ymin.函數的值域為.題型三三角函數的周期性、奇偶性、對稱性命題點1三角函數的周期性例2(1)(2016浙江)設函數f(x)sin2xbsinxc,則f(x)的最小正周期()A與b有關,且與c有關B與b有關,但與c無關C與b無關,且與c無關D與b無關,但與c有關答案B解析因為f(x)sin2xbsinxcbsinxc,其中當b0時,f(x)c,f(x)的周期為;b0時,f(x)的周期為2.即f(x)的周期與b有關但與c無關,故選B.(2)若函數f(x)2tan的最小正周期T滿足1T2,則自然數k的值為_答案2或3解析由題意得,12,k2k,即k,又k是自然數,k2或3.命題點2三角函數的奇偶性例3函數f(x)3sin,(0,)滿足f(|x|)f(x),則的值為_答案解析由題意知f(x)為偶函數,關于y軸對稱,f(0)3sin3,k,kZ,又00)圖象的兩條相鄰對稱軸,則的一個可能取值為()A.B.C.D.答案A解析由題意,函數的周期T22,1,ycos(x),當x時,函數取得最大值或最小值,即cos1,可得k,kZ,k,kZ.當k2時,可得.題型四三角函數的單調性命題點1求三角函數的單調區(qū)間例5(1)函數f(x)sin的單調遞減區(qū)間為_答案(kZ)解析f(x)sinsinsin,由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ.故所求函數的單調遞減區(qū)間為(kZ)(2)函數f(x)tan的單調遞增區(qū)間是_答案(kZ)解析由k2xk(kZ),得x0,函數f(x)sin在上單調遞減,則的取值范圍是_答案解析由x0,得x0,kZ,得k0,所以.引申探究本例中,若已知0,函數f(x)cos在上單調遞增,則的取值范圍是_答案解析函數ycosx的單調遞增區(qū)間為2k,2k,kZ,則kZ,解得4k2k,kZ,又由4k0,kZ且2k0,kZ,得k1,所以.思維升華 (1)已知三角函數解析式求單調區(qū)間求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的單調區(qū)間時,要視“x”為一個整體,通過解不等式求解但如果0,可借助誘導公式將化為正數,防止把單調性弄錯(2)已知三角函數的單調區(qū)間求參數先求出函數的單調區(qū)間,然后利用集合間的關系求解跟蹤訓練3(1)已知函數f(x)2sin,則函數f(x)的單調遞減區(qū)間為()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案D解析函數的解析式可化為f(x)2sin.由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ),即函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(kZ)(2)若函數g(x)sin在區(qū)間和上均單調遞增,則實數a的取值范圍是_答案解析由2k2x2k(kZ),可得kxk(kZ),g(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ)又函數g(x)在區(qū)間和上均單調遞增,解得a0)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調遞減區(qū)間為_答案,kZ解析由圖象知,周期T22,2,.由2k,kZ,不妨取,f(x)cos.由2kx2k,kZ,得2kx0,0)若f(x)在區(qū)間上具有單調性,且fff,則f(x)的最小正周期為_答案解析記f(x)的最小正周期為T.由題意知,又fff,且,可作出示意圖如圖所示(一種情況):x1,x2,x2x1,T.1(2018浙江六校協作體期末聯考)“k(kZ)”是“函數f(x)cos(x)是奇函數”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析若k(kZ),則f(x)cos(x)cossinx,函數f(x)為奇函數,所以充分性成立;反之,若函數f(x)cos(x)是奇函數,則0k(kZ),即k(kZ),因此必要性成立所以“k(kZ)”是“函數f(x)cos(x)是奇函數”的充要條件,故選C.2函數f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1BC.D0答案B解析由已知x,得2x,所以sin,故函數f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.故選B.3(2019舟山模擬)函數ysinx2的圖象是()答案D解析函數ysinx2為偶函數,排除A,C;又當x時函數取得最大值,排除B,故選D.4函數ycos2x2sinx的最大值與最小值分別為()A3,1B3,2C2,1D2,2答案D解析ycos2x2sinx1sin2x2sinxsin2x2sinx1,令tsinx,則t1,1,yt22t1(t1)22,所以ymax2,ymin2.5已知函數f(x)2sin(2x)的圖象過點(0,),則f(x)圖象的一個對稱中心是()A.B.C.D.答案B解析函數f(x)2sin(2x)的圖象過點(0,),則f(0)2sin,sin,又|0,則f(x)的單調遞減區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C解析由題意可得函數f(x)sin(2x)的圖象關于直線x對稱,故有2k,kZ,即k,kZ.又fsin0,所以2n,nZ,所以f(x)sin(2x2n)sin2x.令2k2x2k,kZ,求得kxk,kZ,故函數f(x)的單調遞減區(qū)間為,kZ.7函數y的定義域為_答案解析要使函數有意義必須有tan0,則所以x,kZ,所以x,kZ,所以原函數的定義域為.8設函數f(x)3sin,若存在這樣的實數x1,x2,對任意的xR,都有f(x1)f(x)f(x2)成立,則|x1x2|的最小值為_答案2解析|x1x2|的最小值為函數f(x)的半個周期,又T4,|x1x2|的最小值為2.9(2018浙江溫州中學模擬)函數f(x)2cos2xcos1,則函數的最小正周期為_,在0,內的對稱軸方程是_答案x和x解析因為f(x)1cos2xcos2xsin2x1sin2xcos2xsin,所以最小正周期T.解sin1,得f(x)的對稱軸方程為x(kZ)由于x0,所以在0,內的對稱軸方程是x和x.10已知函數f(x),則下列說法正確的是_(填序號)f(x)的周期是;f(x)的值域是y|yR,且y0;直線x是函數f(x)圖象的一條對稱軸;f(x)的單調遞減區(qū)間是,kZ.答案解析函數f(x)的周期為2,錯;f(x)的值域為0,),錯;當x時,x,kZ,x不是f(x)的對稱軸,錯;令kxk,kZ,可得2kx2k,kZ,f(x)的單調遞減區(qū)間是,kZ,正確11(2018溫州市適應性測試)已知f(x)sin2sin2,求:(1)f的值;(2)f(x)在上的取值范圍解(1)因為f(x)sin2sin2coscoscos2xsin2xsin2xcos2xsin2xsin,所以fsin.(2)當x時,2x,所以f(x),所以f(x)在上的取值范圍是.12已知函數f(x)2sina1.(1)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間;(2)當x時,f(x)的最大值為4,求a的值;(3)在(2)的條件下,求滿足f(x)1,且x的x的取值集合解(1)令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,所以f(x)的單調遞增區(qū)間為,kZ.(2)因為當x時,f(x)取得最大值,即f2sina1a34.解得a1.(3)由f(x)2sin21,可得sin,則2x2k,kZ或2x2k,kZ,即xk,kZ或xk,kZ,又x,可解得x,所以x的取值集合為.13定義運算:a*b例如例如1*2=1,則函數f(x)=sinx*cosx的值域為()A.B1,1C.D.答案D解析根據三角函數的周期性,我們只看兩函數在一個最小正周期內的情況即可,設x0,2,當x時,sinxcosx,此時f(x)cosx,f(x),當0x或sinx,此時f(x)sinx,f(x)1,0綜上知f(x)的值域為.14已知函數f(x)2cos(x)1,其圖象與直線y3相鄰兩個交點的距離為,若f(x)1對任意x恒成立,則的取值范圍是()A.B.C.D.答案B解析由題意可得函數f(x)2cos(x)1的最大值為3.f(x)的圖象與直線y3相鄰兩個交點的距離為,f(x)的周期T,解得3,f(x)2cos(3x)1.f(x)1對任意x恒成立,2cos(3x)11,即cos(3x)0對任意x恒成立,2k且2k,kZ,解得2k且2k,kZ,即2k2k,kZ.結合|可得,當k0時,的取值范圍為.15已知函數f(x)cos(2x)在上單調遞增,若fm恒成立,則實數m的取值范圍為_答案0,)解析f(x)cos(2x),當x時,2x,由函數f(x)在上是增函數得kZ,則2k2k(kZ)又0,0,fcos,又,fmax0,m0.16設函數f(x)2sinm的圖象關于直線x對稱,其中0.(1)求函數f(x)的最小正周期(2)若函數yf(x)的圖象過點(,0),求函數f(x)在上的值域解(1)由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸,可得sin1,2k(kZ),即(kZ)又0,函數f(x)的最小正周期為3.(2)由(1)知f(x)2sinm,f()0,2sinm0,m2,f(x)2sin2,當0x時,x,sin1.3f(x)0,故函數f(x)在上的值域為.- 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