（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.7 拋物線講義（含解析）.docx
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9.7 拋物線 最新考綱 考情考向分析 1.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單幾何性質(zhì). 2.會解決直線與拋物線的位置關(guān)系的問題. 拋物線的方程、幾何性質(zhì)或與拋物線相關(guān)的綜合問題是命題的熱點.題型既有小巧靈活的選擇、填空題，又有綜合性較強(qiáng)的解答題. 1.拋物線的概念 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線. 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點坐標(biāo) O(0，0) 對稱軸 x軸 y軸 焦點坐標(biāo) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開口方向 向右 向左 向上 向下 概念方法微思考 1.若拋物線定義中定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？ 提示 過點F且與l垂直的直線. 2.直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的什么條件？ 提示 直線與拋物線的對稱軸平行時，只有一個交點，但不是相切，所以直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件. 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.( ) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.( ) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.( ) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.( √ ) (5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.( √ ) 題組二 教材改編 2.[P69例4]過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B 解析 拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3.[P73A組T3]若拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線為l，P是拋物線上任意一點，則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是( ) A.2B.C.D.3 答案 A 解析 由拋物線定義可知點P到準(zhǔn)線l的距離等于點P到焦點F的距離，由拋物線y2＝4x及直線方程3x＋4y＋7＝0可得直線與拋物線相離.∴點P到準(zhǔn)線l的距離與點P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值為點F(1，0)到直線3x＋4y＋7＝0的距離，即＝2.故選A. 4.[P72T1]已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________. 答案 y2＝－8x或x2＝－y 解析 設(shè)拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0). 將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y. 題組三 易錯自糾 5.設(shè)拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是( ) A.4B.6C.8D.12 答案 B 解析 如圖所示， 拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x＝－2，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點P作PA⊥y軸，垂足是A，延長PA交直線l于點B，則|AB|＝2.由于點P到y(tǒng)軸的距離為4，則點P到準(zhǔn)線l的距離|PB|＝4＋2＝6，所以點P到焦點的距離|PF|＝|PB|＝6.故選B. 6.已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是( ) A.y2＝2x B.y2＝2x C.y2＝4x D.y2＝4x 答案 D 解析 由已知可知雙曲線的焦點為(－，0)，(，0). 設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則＝， 所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.故選D. 7.設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是__________. 答案 [－1，1] 解析 Q(－2，0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，不滿足題意，故設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 當(dāng)k＝0時，符合題意，當(dāng)k≠0時， 由Δ＝(4k2－8)2－4k24k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1且k≠0， 綜上，k的取值范圍是[－1，1]. 題型一 拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 命題點1 定義及應(yīng)用 例1 設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3，2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________. 答案 4 解析 如圖，過點B作BQ垂直準(zhǔn)線于點Q，交拋物線于點P1， 則|P1Q|＝|P1F|. 則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值為4. 引申探究 1.若將本例中的B點坐標(biāo)改為(3，4)，試求|PB|＋|PF|的最小值. 解 由題意可知點B(3，4)在拋物線的外部. ∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離，F(xiàn)(1，0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值為2. 2.若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值. 解 由題意知，拋物線的焦點為F(1，0). 點P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離， 故d2＋|PF|的最小值為＝3， 所以d1＋d2的最小值為3－1. 命題點2 求標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x 答案 C 解析 由題意知，F(xiàn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，則由拋物線的定義知，xM＝5－，設(shè)以MF為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為2＋2＝，又因為圓過點(0，2)，所以yM＝4，又因為點M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C. 思維升華 (1)與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點的弦有關(guān)問題的重要途徑. (2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1，1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________. 答案 解析 如圖，易知拋物線的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線是x＝－1， 由拋物線的定義知，點P到直線x＝－1的距離等于點P到F的距離. 于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P，使點P到點A(－1，1)的距離與點P到F(1，0)的距離之和最小， 顯然，連接AF與拋物線相交的點即為滿足題意的點， 此時最小值為＝. (2)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.y2＝x B.y2＝9x C.y2＝x D.y2＝3x 答案 D 解析 分別過點A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|， 所以∠BCB1＝30. 又|AA1|＝|AF|＝3， 所以|AC|＝2|AA1|＝6， 所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3， 所以F為線段AC的中點. 故點F到準(zhǔn)線的距離為p＝|AA1|＝， 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝3x. 題型二 拋物線的幾何性質(zhì) 例3 (1)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過焦點F且斜率為的直線與C相交于P，Q兩點，且P，Q兩點在準(zhǔn)線上的射影分別為M，N兩點，則S△MFN等于( ) A.p2 B.p2 C.p2 D.p2 答案 B 解析 不妨設(shè)P在第一象限，過Q作QR⊥PM，垂足為R， 設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為E，∵直線PQ的斜率為，∴直線PQ的傾斜角為60.由拋物線焦點弦的性質(zhì)可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝＋＝＝p. 在Rt△PRQ中，sin∠RPQ＝， ∴|QR|＝|PQ|sin∠RPQ＝p＝p，由題意可知|MN|＝|QR|＝p，∴S△MNF＝|MN||FE|＝pp＝p2.故選B. (2)過點P(－2，0)的直線與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點，且|PA|＝|AB|，則點A到拋物線C的焦點的距離為( ) A.B.C.D.2 答案 A 解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過點A，B作直線x＝－2的垂線，垂足分別為點D，E.∵|PA|＝|AB|， ∴又得x1＝， 則點A到拋物線C的焦點的距離為1＋＝. 思維升華在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題更是如此. 跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點，則△ABP的面積為( ) A.18B.24C.36D.48 答案 C 解析 以拋物線的頂點為原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則焦點坐標(biāo)為，將x＝代入y2＝2px，可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，所以p＝6.因為點P在準(zhǔn)線上，所以點P到AB的距離為p＝6，所以△PAB的面積為612＝36. (2)(2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由圖形可知，△BCF與△ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線， 則△BCF與△ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x＝－1. ∵點A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN， ∴＝＝. 題型三 直線與拋物線 例4 設(shè)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到x軸的距離是3. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點.連接QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程. 解 (1)設(shè)拋物線的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由拋物線定義可知y1＋y2＋p＝8， 又AB的中點到x軸的距離為3， ∴y1＋y2＝6， ∴p＝2， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝4y. (2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 由消去y得x2－4kx－24＝0， ∴(*) 易知拋物線在點P處的切線方程為y－＝(x－x3)， 令y＝－1，得x＝，∴R， 又Q，F(xiàn)，R三點共線， ∴kQF＝kFR，又F(0，1)， ∴＝， 即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0， 整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0， 將(*)式代入上式得k2＝，∴k＝， ∴直線m的方程為y＝x＋6. 思維升華 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點(設(shè)焦點在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式. (3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法. 提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解. (4)設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ①x1x2＝，y1y2＝－p2. ②弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角). ③以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. ④通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦. 跟蹤訓(xùn)練3已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點M(0，1)，設(shè)過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線交點為N. (1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值； (2)若△ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程. 解 (1)可設(shè)AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將AB的方程代入拋物線C，得 x2－2pkx－2p＝0，Δ＝4p2k2＋8p>0，顯然方程有兩不等實根， 則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.① 由x2＝2py得y′＝， 則A，B處的切線斜率乘積為＝－＝－1， 則有p＝2. (2)設(shè)切線AN為y＝x＋b， 又切點A在拋物線y＝上， ∴y1＝，∴b＝－＝－， ∴yAN＝x－. 同理yBN＝x－. 又∵N在yAN和yBN上， ∴解得N. ∴N(pk，－1). |AB|＝|x2－x1|＝， 點N到直線AB的距離d＝＝， S△ABN＝|AB|d＝≥2， ∴2＝4，∴p＝2， 故拋物線C的方程為x2＝4y. 直線與圓錐曲線問題的求解策略 例 (15分)已知拋物線C：y＝mx2(m>0)，焦點為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q. (1)求拋物線C的焦點坐標(biāo)； (2)若拋物線C上有一點R(xR，2)到焦點F的距離為3，求此時m的值； (3)是否存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由. 規(guī)范解答 解 (1)∵拋物線C：x2＝y(tǒng)， ∴它的焦點為F.[2分] (2)∵|RF|＝y(tǒng)R＋， ∴2＋＝3，得m＝.[4分] (3)存在，聯(lián)立方程 消去y得mx2－2x－2＝0(m>0)， 依題意，有Δ＝(－2)2－4m(－2)＝8m＋4>0恒成立， 方程必有兩個不等實根.[7分] 設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*) ∵P是線段AB的中點， ∴P， 即P，∴Q，[10分] 得＝，＝. 若存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則＝0， 即＋＝0，[13分] 結(jié)合(*)式化簡得－－＋4＝0， 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－， ∵m>0，∴m＝2. ∴存在實數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形.[15分] 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟 第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程； 第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ>0時參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點)； 第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果； 第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況. 1.(2018浙江省名校聯(lián)考)拋物線y＝x2的焦點坐標(biāo)為( ) A.(2，0) B.(0，2) C. D. 答案 B 解析 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y，則其焦點坐標(biāo)為(0，2)，故選B. 2.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A∈l，線段AF交拋物線C于點B，若＝3，則||等于( ) A.3B.4C.6D.7 答案 B 解析 由已知B為AF的三等分點，作BH⊥l于H，如圖， 則|BH|＝|FK|＝， ∴||＝||＝， ∴||＝3||＝4，故選B. 3.拋物線x2＝4y的焦點為F，過點F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點A，過點A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是( ) A.4B.3C.4D.8 答案 C 解析 由拋物線的定義可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率為，∴AF的傾斜角為30，∵AH垂直于準(zhǔn)線， ∴∠FAH＝60，故△AHF為等邊三角形.設(shè)A，m>0，過F作FM⊥AH于M，則在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等邊三角形AHF的邊長|AH|＝4，∴△AHF的面積是44sin60＝4.故選C. 4.拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則p等于( ) A.2B.4C.6D.8 答案 D 解析 ∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切， ∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑. ∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6. 又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝， ∴＋＝6，∴p＝8.故選D. 5.過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為120的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A，B兩點，則的值等于( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 記拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為l′， 如圖，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分別是A1，B1，C， 則cos∠ABB1＝＝＝， 即cos60＝＝，由此得＝. 6.(2018浙江省杭州市四校聯(lián)考)直線l交拋物線y2＝4x于A，B兩點，C(－1，2)，若拋物線的焦點F恰好為△ABC的重心，則直線AB的方程是( ) A.2x－y－3＝0 B.2x－y－5＝0 C.2x－y－5＝0或2x＋y－3＝0 D.2x＋y－3＝0 答案 D 解析 方法一 由題意知，拋物線的焦點F(1，0). 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， 線段AB的中點坐標(biāo)為(2，－1). 設(shè)直線AB的方程為t(y＋1)＝x－2，與拋物線方程聯(lián)立，消去x并整理得y2－4ty－4(t＋2)＝0，所以y1＋y2＝4t＝－2，t＝－，則直線AB的方程為－(y＋1)＝x－2，即2x＋y－3＝0，故選D. 方法二 由題意知，拋物線的焦點F(1，0). 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， 線段AB的中點坐標(biāo)為(2，－1)，所以x1≠x2. 又A，B在拋物線上， 所以y＝4x1，y＝4x2，kAB＝＝＝－2， 則直線AB的方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故選D. 7.動點P到點A(0，2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，則動點P的軌跡方程為____________. 答案 x2＝8y 解析 ∵動點P到點A(0，2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，∴動點P到點A(0，2)的距離與它到直線y＝－2的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可得點P的軌跡為以A(0，2)為焦點，以直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y. 8.(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，M是拋物線C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若＝，則|FN|＝________. 答案 5 解析 如圖，過點M，N分別向拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線x＝－1作垂線段MA，NB， 其中MA交y軸于點C，因為拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，所以|OF|＝1， 因為＝，所以|MC|＝|OF|＝，所以|MA|＝，由拋物線的定義可得|MF|＝， 所以|MN|＝，所以|FN|＝5. 9.(2018湖州模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，|AF||FB|＝8，則p＝______. 答案 2 解析 方法一 由題意知，直線方程為y＝x－，得x＝y(tǒng)＋代入拋物線方程，得y2＝2p，即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－p2，|AF||FB|＝|y1||y2|＝2|y1y2|＝2p2＝8，得p＝2. 方法二 由題意可知，＋＝，得|FA|＋|FB|＝|FA||FB|＝，即|AB|＝＝，得p＝2. 10.如圖，已知拋物線C：x2＝2y，F(xiàn)是其焦點，AB是拋物線C上的一條弦.若點A的坐標(biāo)為(－2，2)，點B在第一象限上，且|BF|＝2|AF|，則直線AB的斜率為________，△ABF的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________. 答案 2＋2＝ 解析 因為|BF|＝2|AF|，所以yB＋＝2＝2，解得yB＝，代入拋物線的方程得點B的坐標(biāo)為，則直線AB的斜率kAB＝＝，直線AF的斜率kAF＝＝－，直線BF的斜率kBF＝＝，則kAFkBF＝－1，直線AF與直線BF相互垂直，即△ABF為直角三角形，則△ABF的外接圓的圓心為，即，半徑為＝，所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋2＝. 11.(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)已知F是拋物線C：x2＝4y的焦點，點P是不在拋物線上的一個動點，過點P向拋物線C作兩條切線l1，l2，切點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)如果點P在直線y＝－1上，求＋的值； (2)若點P在以F為圓心，半徑為4的圓上，求|AF||BF|的值. 解 (1)因為拋物線C的方程為y＝， 所以y′＝， 所以切線PA的方程為y－y1＝(x－x1)， 即x－y－y1＝0，① 同理切線PB的方程為x－y－y2＝0，② 設(shè)P(x0，y0)，則由①②得x1x0－2y1－2y0＝0及x2x0－2y2－2y0＝0， 所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0. 由于點P是直線y＝－1上的一個動點， 所以y0＝－1， 即直線AB的方程為x0x－2y＋2＝0， 因此它過拋物線的焦點F(0，1). 當(dāng)x0＝0時，AB的方程為y＝1，此時|AF|＝|BF|＝2， 所以＋＝1； 當(dāng)x0≠0時，把直線AB的方程代入拋物線C的方程， 得y2－(x＋2)y＋1＝0， 從而有y1y2＝1，y1＋y2＝x＋2， 所以＋＝＋＝＝1. 綜上可知，＋＝1. (2)由(1)知，切線PA的方程為y＝x－， 切線PB的方程為y＝x－， 聯(lián)立得點P. 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，代入拋物線C：x2＝4y，得x2－4kx－4m＝0，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以點P的坐標(biāo)為(2k，－m)，所以|PF|＝＝4，即(m＋1)2＝16－4k2，從而|AF||BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1)＝k2x1x2＋k(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝－4mk2＋4k2(m＋1)＋16－4k2＝16. 12.如圖，過拋物線M：y＝x2上一點A(點A不與原點O重合)作拋物線M的切線AB交y軸于點B，點C是拋物線M上異于點A的點，設(shè)G為△ABC的重心(三條中線的交點)，直線CG交y軸于點D. (1)設(shè)A(x0，x)(x0≠0)，求直線AB的方程； (2)求的值. 解 (1)因為y′＝2x，所以直線AB的斜率k＝＝2x0， 所以直線AB的方程為y－x＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x. (2)由題意及(1)得，點B的縱坐標(biāo)yB＝－x， 所以AB的中點坐標(biāo)為. 設(shè)C(x1，y1)，G(x2，y2)， 直線CG的方程為x＝my＋x0. 由 得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0. 因為G為△ABC的重心， 所以y1＝3y2. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3y＝. 所以＝， 解得mx0＝－32. 所以點D的縱坐標(biāo)yD＝－＝， 故＝＝46. 13.如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為( ) A.5 B.6 C. D. 答案 C 解析 方法一 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點M，過點A作AD⊥l，交l于點D， 由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4， 所以x1＝3，解得y1＝2， 所以A(3，2)， 又F(1，0)，所以直線AF的斜率k＝＝， 所以直線AF的方程為y＝(x－1)， 代入拋物線方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0， 所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故選C. 方法二 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點M，過點A作AD⊥l，交l于點D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故選C. 方法三 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點M，過點A作AD⊥l，交l于點D， 由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4， 由F是AC的中點，知|AF|＝2|MF|＝2p， 所以2p＝4，解得p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x. 因為＋＝，|AF|＝4， 所以|BF|＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.故選C. 14.如圖所示，拋物線y＝x2，AB為過焦點F的弦，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點M，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，則①若AB的斜率為1，則|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率為1，則xM＝1；⑤xAxB＝－4.以上結(jié)論正確的個數(shù)是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 由題意得，焦點F(0，1)，對于①，lAB的方程為y＝x＋1，與拋物線的方程聯(lián)立， 得消去x，得y2－6y＋1＝0， 所以yA＋yB＝6，則|AB|＝y(tǒng)A＋yB＋p＝8，則①錯誤； 對于②，|AB|min＝2p＝4，則②錯誤； 因為y′＝，則lAM：y－yA＝(x－xA)， 即y＝xAx－，lBM：y－yB＝(x－xB)， 即y＝xBx－， 聯(lián)立lAM與lBM的方程得 解得M. 設(shè)lAB的方程為y＝kx＋1，與拋物線的方程聯(lián)立， 得消去y，得x2－4kx－4＝0， 所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4， 所以yM＝－1，③和⑤均正確； 對于④，當(dāng)AB的斜率為1時，xM＝2，則④錯誤，故選B. 15.(2019浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知拋物線y2＝4x，焦點記為F，過點F作直線l交拋物線于A，B兩點，則|AF|－的最小值為________. 答案 2－2 解析 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1. 由拋物線的定義可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， 所以|AF|－＝x1＋1－＝＝＝＝. 令x2－1＝t(t>0)，則x2＝t＋1， 所以|AF|－＝＝ ≥＝＝＝2－2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝時等號成立)； 當(dāng)直線l的斜率不存在時，易得|AF|－＝1. 綜上，|AF|－的最小值為2－2. 16.設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，求r的取值范圍. 解 如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則 兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2). 當(dāng)l的斜率k不存在時，符合條件的直線l必有兩條. 當(dāng)k存在時，x1≠x2， 則有＝2， 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k＝－1， 即y0k＝5－x0， 因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直線x＝3上. 將x＝3代入y2＝4x， 得y2＝12，則有－2下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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