(通用版)2020高考數(shù)學一輪復(fù)習 第四講 解題的化歸原則—清晰熟悉講義 理.doc
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第四講解題的化歸原則清晰熟悉一、清晰原則,淘盡泥沙見真金問題是呈現(xiàn)給解題者的感性材料,可能是一種粗糙的、模糊的信息材料,這些材料在表達上具有非直觀形象化、非數(shù)學語言化,在內(nèi)容上具有隱蔽性、復(fù)雜性的特點,容易給解題者感知和思維活動造成障礙解題者面對這些粗糙的、模糊的信息材料,需要利用自己的認知經(jīng)驗對信息的表現(xiàn)形式和內(nèi)容進行轉(zhuǎn)化,使信息呈現(xiàn)出清晰的感性材料,這種加工處理信息的原則我們稱為清晰原則信息材料通過清晰后,更適合解題者認知活動的心理需求,可以加速神經(jīng)系統(tǒng)的傳導(dǎo),有利于新信息與認知結(jié)構(gòu)的鏈接常見的清晰手段有:數(shù)學語言化:將問題信息用數(shù)學語言進行表達,便于運用數(shù)學方法來解決;數(shù)形結(jié)合:將問題的信息用數(shù)形結(jié)合的方法進行描述,使信息表述得更詳盡、更直觀;形變化歸:將復(fù)雜的信息進行形變化歸,使復(fù)雜信息的內(nèi)涵得到徹底挖掘和展示例1調(diào)查某個高中畢業(yè)班學生的升學報考志愿情況,得到如下結(jié)果:(1)報考A大學的學生不報考B大學;(2)報考B大學的學生也報考D大學;(3)報考C大學的學生不報考D大學;(4)不報考C大學的學生報考B大學根據(jù)上述結(jié)果,某人得出下述結(jié)論:報考D大學的學生也報考A大學沒有既報考B大學又報考C大學的學生有既報考C大學又報考D大學的學生報考B大學的學生數(shù)和報考D大學的學生數(shù)相同報考A大學的學生也報考C大學這些結(jié)論中正確的是()ABC D解析此題信息繁多,讓人感到有點云里霧里,雖然每項信息的含義簡單明白,毫不隱蔽,人人都會用邏輯推理的方法去探求解答方案,但推理過程容易混亂且不便于表述,對問題產(chǎn)生排斥心理對此,我們先將各項信息進行數(shù)學語言易化處理,使問題的信息清晰直白,以觀其變用x表示高中畢業(yè)班學生,“”表示報考,“”表示不報考此時調(diào)查結(jié)果可以改寫為:(1)xAxB,再由原命題與逆否命題等價可知xBxA.(2)xBxD等價轉(zhuǎn)化為xDxB.(3)xCxD等價轉(zhuǎn)化為xDxC.(4)xCxB等價轉(zhuǎn)化為xBxC.這樣處理后,問題的各項信息已經(jīng)簡潔明了我們對問題新信息感到親切、熟悉下面對5條結(jié)論信息也進行數(shù)學語言化處理,再結(jié)合條件信息進行推理:考查:xDxCxBxA,則不正確考查:xBxDxC,則正確考查:xCxD,則不正確考查:xBxD,xDxCxB,則正確考查:xAxBxC,則正確所以,答案B正確答案B反思領(lǐng)悟從此題的解答過程可以看出,對信息的數(shù)學語言化處理,使信息清晰明了,是成功解答此題的關(guān)鍵例2設(shè)0b1a,若關(guān)于x的不等式(xb)2(ax)2的解集中恰有3個整數(shù),求a的取值范圍解此題中的(xb)2(ax)2是一個熟悉的二次不等式,但這個不等式的解集中恰有3個整數(shù)的條件是什么含義?我們首先對這一信息進行清晰化形變化歸因為(xb)2(ax)2,所以(a1)xb0.當a1時,不等式的解集中有無窮多個整數(shù),不合題意當a1時,不等式的解為x.因為0b1a,所以01.要使解集中恰有3個整數(shù),則323(a1)b2(a1)通過信息清晰后,問題轉(zhuǎn)化為已知求a的取值范圍如圖,作出不等式組表示的可行域,容易得到1a3.綜上,a的取值范圍為(1,3)反思領(lǐng)悟此題本是一個二次不等式問題,很多學生都考慮用不等式放縮法進行解答,又擔心擴大了a的范圍,即使得到1a3,也不敢堅信一定正確我們對“(xb)2(ax)2的解集中恰有3個整數(shù)”這一信息進行清晰,得到新信息“a1且3(a1)b2(a1)”,不僅順利地將原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,而且還可以堅信答案是正確的二、熟悉原則,尋找曾經(jīng)走過的路在加工處理信息的過程中,利用我們的認知經(jīng)驗對問題信息的表述形式或內(nèi)容進行處理,轉(zhuǎn)化為我們認知結(jié)構(gòu)中熟悉的信息材料,這種處理信息的原則就是熟悉原則熟悉原則可分為兩種:第一種是熟悉知識原則,就是把不熟悉的知識和問題轉(zhuǎn)化為教材上或大家熟知的知識和問題第二種是熟悉經(jīng)驗原則,就是把不熟悉的知識和問題轉(zhuǎn)化為解題者曾經(jīng)解答過的問題例3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x0時,f(x)x2,若對任意xa,a2,不等式f(xa)f(x1)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解由于f(x)是定義在R上的函數(shù),現(xiàn)在只知道x0時的函數(shù)表達式首先對問題信息進行清晰,利用奇函數(shù)求出x0時的函數(shù)表達式,進一步得到f(x)在R上的函數(shù)表達式f(x)利用數(shù)形結(jié)合再對函數(shù)進行信息清晰,可以發(fā)現(xiàn)f(x)在R上單調(diào)遞增,如圖所示我們知道當f(x)在R上單調(diào)遞增,f(m)f(n)的充分必要條件是mn.現(xiàn)在問題信息f(xa)f(x1)與認知經(jīng)驗f(m)f(n)在形式上存在差異,如果能把去掉,將不等式f(xa)f(x1)化為f(m)f(n)的形式,問題有可能得到解決,這是熟悉經(jīng)驗原則觀察f(x)表達式的結(jié)構(gòu),容易發(fā)現(xiàn)f(x)f,于是原問題可以轉(zhuǎn)化為:已知f(x)在R上單調(diào)遞增,對任意xa,a2,不等式f(xa)f恒成立,求實數(shù)a的取值范圍于是可得對任意xa,a2,不等式xa恒成立即對xa,a2,不等式x12a恒成立所以a12a,所以a.即實數(shù)a的取值范圍為.反思領(lǐng)悟上述解答最關(guān)鍵的一步是熟悉經(jīng)驗的運用,將f(xa)f(x1)化為f(xa)f,進一步化為“對xa,a2,不等式x12a恒成立”,使問題化難為易,化陌生為熟悉,就可以順利地用熟悉性知識解答例4在平面直角坐標系中,點集M,點P是點集M內(nèi)的點,設(shè)A(2,1),B(8,9),則|PA|2|PB|2的最小值為_解析由于問題中點集M的元素是坐標形式,而結(jié)論信息不是坐標形式,我們將結(jié)論信息用坐標表示,這樣,條件和結(jié)論信息的表達形式保持一致,這就是熟悉知識原則的應(yīng)用令P(x,y),可得|PA|2|PB|22x22y216y12x150.式類似我們熟悉的圓方程的左邊,運用熟悉知識原則,可以將上述式子進行配方,可得|PA|2|PB|222100.觀察式的結(jié)構(gòu),用熟悉知識原則,表示點P到N(3,4)的距離所以,問題可以轉(zhuǎn)化為求|PN|的最小值再用熟悉經(jīng)驗原則,要求|PN|的最小值,只需求出點集M表示的幾何圖形,然后利用數(shù)形結(jié)合就可以順利解答又用熟悉經(jīng)驗原則,要求點集M表示的幾何圖形,只需消去參數(shù)即可于是:x2y2169120sin()49x2y2289.所以,點集M表示的幾何圖形是以O(shè)為圓心,半徑由7變到17的一個圓環(huán),如圖所示因為|PN|min72,所以|PA|2|PB|22|PN|2100108.所以|PA|2|PB|2的最小值為108.答案108- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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