高中數(shù)學立體幾何中的向量方法(Ⅱ)-求空間角與距離.doc
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8.7 立體幾何中的向量方法()-求空間角與距離一、填空題1正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點M在AC1上且,N為B1B的中點,則|為_解析以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),N.設(shè)M(x,y,z),點M在AC1上且,(xa,y,z)(x,ay,az)xa,y,z.得M,| a.答案a2在正方體ABCDA1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點,則sin,的值為_解析設(shè)正方體的棱長為2,以D為坐標原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系(如圖),可知(2,2,1),(2,2,1),cos,所以sin,.答案3兩平行平面,分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量n(1,0,1),則兩平面間的距離是_解析 兩平面的一個單位法向量n0,故兩平面間的距離d|n0|.答案4在長方體ABCD-A1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析建立坐標系如圖,則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2)(1,0,2),(1,2,1),cos,.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案5如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1上的動點,則直線NO、AM的位置關(guān)系是_ 解析建立坐標系如圖,設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,t,2),(1,1t,2),(2,0,1),0,則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直答案異面垂直6已知直二面角l,點A,ACl,C為垂足,點B,BDl,D為垂足,若AB2,ACBD1,則CD_.解析如圖,建立直角坐標系Dxyz,由已知條件B(0,0,1),A(1,t,0)(t0),由AB2解得t.答案7在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中點,G是DD1中點,F(xiàn)是BC上一點且FBBC,則GB與EF所成的角為_解析如圖建立直角坐標系Dxyz,設(shè)DA1,由已知條件G,B,E,F(xiàn),cos,0,則.答案908正四棱錐S ABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點,且SOOD,則直線BC與平面PAC的夾角的大小為_解析如圖所示,以O(shè)為原點建立空間直角坐標系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P.則(2a,0,0),(a,a,0)設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n(0,1,1),則cos,n.,n60,直線BC與平面PAC的夾角為906030.答案309已知點E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_解析如圖,建立直角坐標系Dxyz,設(shè)DA1由已知條件A(1,0,0),E,F(xiàn),設(shè)平面AEF的法向量為n(x,y,z),面AEF與面ABC所成的二面角為由令y1,z3,x1,則n(1,1,3)平面ABC的法向量為m(0,0,1)cos cosn,m,tan .答案10如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為正三角形,底面ABCD為正方形,側(cè)面PAD底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個動點,且滿足MPMC,則點M 在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為_ 解析以D為原點,DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖:設(shè)M(x,y,0),設(shè)正方形邊長為a,則P,C(0,a,0),則MC,MP.由MPMC得x2y,所以點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線yx的一部分答案11已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,點P在線段BD1上,當APC最大時,三棱錐PABC的體積為_解析以B為坐標原點,BA為x軸,BC為y軸,BB1為z軸建立空間直角坐標系(如圖所示)設(shè)B,可得:P(,)再由cos APC可求得當時,APC最大故VPABC11.答案12P是二面角AB棱上的一點,分別在、平面上引射線PM、PN,如果BPMBPN45,MPN60,那么二面角AB的大小為_解析不妨設(shè)PMa,PNb,如圖,作MEAB于E,NFAB于F,EPMFPN45,PEa,PFb,()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0,二面角AB的大小為90.答案9013若向量a(1,2),b(2,1,2)且a與b的夾角的余弦值為,則_.解析由已知得,8 3(6),解得2或.答案2或二、解答題14. 如圖,四棱錐PABCD中,PA底面ABCD.四邊形ABCD中,ABAD,ABAD4,CD,CDA45.(1)求證:平面PAB平面PAD;(2)設(shè)ABAP.若直線PB與平面PCD所成的角為30,求線段AB的長解析:(1)證明:因為PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAADA,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)以A為坐標原點,建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz(如圖)在平面ABCD內(nèi),作CEAB交AD于點E,則CEAD.在RtCDE中,DECDcos451,CECDsin451.設(shè)ABAPt,則B(t,0,0),P(0,0,t)由ABAD4得AD4t,所以E(0,3t,0),C(1,3t,0),D(0,4t,0),(1,1,0),(0,4t,t)設(shè)平面PCD的一個法向量為n(x,y,z),由n,n,得取xt,得平面PCD的一個法向量n(t,t,4t)又(t,0,t),故由直線PB與平面PCD所成的角為30得cos60|,即,解得t或t4(舍去,因為AD4t0),所以AB.15如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,BAC30,BC1,A1A,M是CC1的中點(1)求證:A1BAM;(2)求二面角B AMC的平面角的大小解析 (1)證明以點C為原點,CB、CA、CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系Cxyz,如圖所示,則B(1,0,0),A(0,0),A1(0,),M.所以(1,),.因為10()()()0,所以A1BAM.(2)因為ABC A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC,又BC平面ABC,所以CC1BC.因為ACB90,即BCAC,所以BC平面ACC1,即BC平面AMC.所以是平面AMC的一個法向量,(1,0,0)設(shè)n(x,y,z)是平面BAM的一個法向量,(1,0),.由得令x,得y,z2.所以n(,2)因為|1,|n|2,所以cos,n,因此二面角B AMC的大小為45.16如圖,正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1,E,F(xiàn)分別在棱AA1和CC1上(含線段端點)(1)如果AEC1F,試證明B,E,D1,F(xiàn)四點共面;(2)在(1)的條件下,是否存在一點E,使得直線A1B和平面BFE所成角等于?如果存在,確定點E的位置;如果不存在,試說明理由解析 (1)證明以點A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,設(shè)AEGFt. 則B(1,0,0),D1(0,1,1),E(0,0,t),F(xiàn)(1,1,1t),其中0t1.則(1,0,t),所以BEFD1.所以B,E,D1,F(xiàn)四點共面(2) (1,0,1),(1,0,t),(0,1,1t),可求平面BFE的法向量n(t,t1,1),若直線A1B與平面BFE所成的角等于,則有sin,即,解得t0,所以點E存在,且坐標為E(0,0,0),即E在頂點A處17如圖所示,在四棱錐ABCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC底面BCDE,BC2,CD,ABAC.(1)證明:ADCE;(2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形,求二面角CADE的大小解析 (1)證明取BC中點O,連接AO,則AOBC由已知條件AO平面BCDE,如圖,建立空間直角坐標系Oxyz,則A(0,0,t),D(1,0)C(1,0,0),E(1,0),(1,t)(2,0)則0,因此ADCE.(2)作CFAD垂足為F,連接EF,則AD平面CEF從而EFAD則CFE為二面角CADE的平面角在RtACD中,CF,在等腰ADE中,EF,cosCFE.二面角C-AD-E的余弦值為.18在正方體ABCD A1B1C1D1中,O是AC的中點,E是線段D1O上一點,且D1EEO.(1)若1,求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;(2)若平面CDE平面CD1O,求的值解析(1)不妨設(shè)正方體的棱長為1,以,為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系D xyz.則A(1,0,0),O,C(0,1,0),D1(0,0,1),(1)由題意知E.于是,(0,1,1)由cos,.所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面CD1O的法向量為m(x1,y1,z1),由m0,m0,得取x11,得y1z11,即m(1,1,1)由D1EEO,則E,.又設(shè)平面CDE的法向量為n(x2,y2,z2),由n0,n0,得取x22,得z2,即n(2,0,)因為平面CDE平面CD1O,所以mn0,得2.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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