2020年高考數(shù)學(xué)（理）大題專題解析與訓(xùn)練《解析幾何》

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解析幾何 一、直線與拋物線 （2019年全國(guó)卷I）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為． （1）若，求的方程； （2）若，求． 【肢解1】若，求的方程； 【肢解2】若，求． 試題解析 【肢解1】若，求的方程； 【解析】設(shè)直線方程為，，， 由拋物線焦半徑公式可知，所以， 聯(lián)立得， 由得， 所以，解得， 所以直線的方程為，即. 【肢解2】若，求． 【解析】設(shè)直線方程為， 聯(lián)立得，由得， 由韋達(dá)定理知， 因?yàn)?，所以，所以，，所以? 則. 應(yīng)對(duì)策略 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的而直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p. 弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：求弦長(zhǎng)時(shí)可利用弦長(zhǎng)公式，根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后進(jìn)行整體代入弦長(zhǎng)公式求解． 溫馨提示：注意兩種特殊情況：(1)直線與圓錐曲線的對(duì)稱軸平行或垂直；(2)直線過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)． 拓展延伸 【拓展1】已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為．若，求在軸上的截距. 【解析】設(shè)直線方程為，，， 由拋物線焦半徑公式可知，所以， 聯(lián)立得， 由得， 所以，解得， 所以直線的方程為，令得， 所以直線在軸上的截距為. 【拓展2】已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為．若，，求的面積． 【解析】設(shè)直線方程為， 聯(lián)立得，由得， 由韋達(dá)定理知，， 因?yàn)?，所以，所以，，所?， 所以， 直線方程為，即，所以點(diǎn)到的距離， 所以的面積為． 變式訓(xùn)練一 1.（2019年山西太原一模)已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求. 【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為， 易知當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，的面積為2，不滿足題意， 所以可設(shè)直線的方程為， 與聯(lián)立，消去得， 設(shè)，，由韋達(dá)定理知，， 所以， 所以的面積為，解得， 所以. 2.（2019年湖北荊州模擬)已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn). （1）若，求直線的斜率； （2）設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值. 【解析】（1）依題意可設(shè)直線， 將直線與拋物線聯(lián)立， 設(shè)，，由韋達(dá)定理得， 因?yàn)?，所以，即? 所以直線的斜率為或． （2）， 當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為4． （2020屆廣東省珠海市高三上學(xué)期期末）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過(guò)、兩點(diǎn)， （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求當(dāng)所取何值時(shí)，的面積最大. 【肢解1】求橢圓的方程； 【肢解2】設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求當(dāng)所取何值時(shí)，的面積最大. 試題解析 【肢解1】求橢圓的方程； 【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為， 代入、兩點(diǎn)得 解得，， 所以橢圓. 【肢解2】設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求當(dāng)所取何值時(shí)，的面積最大. 【解析】將直線代入得：. 整理得. 得. 由韋達(dá)定理得，. . 由二次函數(shù)可知當(dāng)即時(shí)，的面積的最大． 應(yīng)對(duì)策略 直線與圓錐曲線的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題：設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝|y1－y2| ＝. 變式訓(xùn)練二 【變式1】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過(guò)、兩點(diǎn)， （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求的值. 【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為， 代入、兩點(diǎn)得 解得，. 所以橢圓. （2）將直線代入得. 整理得. 得. 設(shè)，，韋達(dá)定理得，. 所以， 由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)到直線的距離. 所以的面積為， 因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得或（舍去）. 所以． 【變式2】已知橢圓的離心率為，其中左焦點(diǎn)為． （1）求橢圓的方程； （2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，的面積為，求直線的方程． 【解析】(1)由題意，得解得， 所以橢圓的方程為. （2）設(shè)點(diǎn)，， 由消去得， 由得， 由韋達(dá)定理知，， 所以， 由點(diǎn)到直線的距離公式得到直線的距離， 所以的面積為，解得，滿足， 所以所求直線方程為或. 模擬訓(xùn)練 1.（2019年山東高考模擬）已知圓，拋物線． （1）若拋物線的焦點(diǎn)在圓上，且為拋物線和圓的一個(gè)交點(diǎn)，求； （2）若直線與拋物線和圓分別相切于兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的最大值． 【解析】（1）由題意知，所以. 所以拋物線的方程為. 將與聯(lián)立得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 結(jié)合拋物線定義得. （2）由得，， 所以直線的斜率為，故直線的方程為.即. 又由得且， 所以 . 令，，則， 令，則； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 又，， 所以，即的最大值為. 2.（2020黑龍江省齊市地區(qū)普高聯(lián)誼高二上學(xué)期期末）已知橢圓：過(guò)點(diǎn)與點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，若橢圓上存在，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍及面積的最大值. 【解析】（1）由題意，可得，解得， 所以橢圓的方程為. （2）由題意，設(shè)直線的方程為， 由，整理得， 所以，即，……….① 且， 所以線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為， 將代入直線方程，可得 ……… ②， 由①②可得，又，所以， 又， 且原點(diǎn)到直線AB的距離， 所以 ， 所以時(shí)，最大值，此時(shí)， 所以時(shí)，最大值. 3.（2020福建省寧德市高三第一次質(zhì)量檢查）已知拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上，且. （1）求拋物線的方程及的值； （2）若過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求直線的方程. 【解析】（1）因?yàn)椋?，所以? 拋物線的方程為：， 將代入得， （2）設(shè)， 顯然直線的斜率存在，設(shè)直線：， 聯(lián)立，消去得， 因?yàn)?，得且? 所以， 因?yàn)?，所以? 所以 ，即， 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以， 所以，整理得 所以，解得， 所以直線的方程為：或. 4.（2020福建省龍巖市上杭縣第一中學(xué)月考）已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求E的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求的方程. 【解析】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，， 所以，. 又，解得， 所以橢圓的方程為. （2）設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：， 聯(lián)立消去得， 當(dāng)，所以，所以或， 由韋達(dá)定理知. 所以， 點(diǎn)到直線的距離，所以， 設(shè)，則， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即， 解得時(shí)取等號(hào)，滿足， 所以的面積最大時(shí)直線的方程為：或. 5.（2020廣東省佛山市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)，動(dòng)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求此時(shí)的長(zhǎng)度. 【解析】（1）由題意得，，結(jié)合， 解得，，， 故所求橢圓的方程為. （2）易知定直線的方程為. 聯(lián)立，整理得，解得， 令點(diǎn)的坐標(biāo)為. 因?yàn)?，由?duì)稱性可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，故， 又在直線：上，故， 解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或， 所以或，所以的長(zhǎng)度為4或. 6.（2020廣西名校高三上學(xué)期12月高考模擬）如圖，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩圓半徑分別為，，射線OT與兩圓分別交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B作垂直于x軸、y軸的直線、，交于點(diǎn)P． （1）當(dāng)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡E的方程； （2）直線l：與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，兩圓上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，求的取值范圍． 【解析】（1）設(shè),OT與x軸正方向夾角為,則，即， 化簡(jiǎn)得,即P點(diǎn)的軌跡E的方程為. （2）當(dāng)兩圓上有6個(gè)點(diǎn)到直線1的距離為時(shí),原點(diǎn)至直線的距離, 即,解得， 聯(lián)立方程得， 設(shè),,則,， 所以， 則. 7.（2020遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校高三模擬）已知為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸上，過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率之積為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若，求面積的最大值． 【解析】（1）設(shè)，，，，則． 又，代入上式可得，又，解得． 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：． （2）設(shè)直線的方程為：，．，，，， 聯(lián)立，化為， 由韋達(dá)定理知，， 因?yàn)?，所以? 所以，代入可得：． 所以的面積， ． 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 所以面積的最大值為．