高中數(shù)學(xué)選修2-3《離散型隨機(jī)變量》復(fù)習(xí).doc
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相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo) 1.了解相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率. 2.會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生κ次的概率. 二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 1．相互獨(dú)立事件：事件（或）是否發(fā)生對(duì)事件（或）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件. 若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立. 3．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率： 事件相互獨(dú)立， 2.互斥事件與相互獨(dú)立事件是有區(qū)別的： 互斥事件與相互獨(dú)立事件研究的都是兩個(gè)事件的關(guān)系,但而互斥的兩個(gè)事件是一次實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，相互獨(dú)立的兩個(gè)事件是在兩次試驗(yàn)中得到的，注意區(qū)別。 如果A、B相互獨(dú)立，則P（A+B）=P（A）+P（B）―P（AB） 如:某人射擊一次命中的概率是0.9,射擊兩次,互不影響,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.90.9=0.99,(也即1-0.10.1=0.99) 4.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：在同樣條件下進(jìn)行的各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn). 6．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事恰好發(fā)生K次的概率:. k=n時(shí),即在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A全部發(fā)生,概率為Pn(n)=Cnnpn(1－p)0 =pn k=0時(shí),即在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A沒(méi)有發(fā)生,概率為Pn(０)=Cn0p0(1－p)n =(1－p)n 三、雙基題目練練手 1.從應(yīng)屆高中生中選出飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一學(xué)生，則該生三項(xiàng)均合格的概率為（假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響） ( ) A. B. C. D. 2 (2005天津)某人射擊一次擊中的概率為0.6,經(jīng)過(guò)3次射擊,此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為 （ ） A． B． C． D． 3.甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p1，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是 ( ) A. p1p2 B.p1（1－p2）+p2（1－p1） C.1－p1p2 D.1－（1－p1）（1－p2） 4.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為___________.（精確到0.01） 5.一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，甲生解出它的概率為，乙生解出它的概率為，丙生解出它的概率為，由甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一人解出的概率為________. 6.一出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.那么這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率是________. 簡(jiǎn)答:1-3.CAB; 4. 0.94; 5.P=+ + =. 6.P=（1－）（1－）=. 經(jīng)典例題做一做 【例1】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為求： （Ⅰ）甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率； （Ⅱ）乙至少擊中目標(biāo)2次的概率； （Ⅲ）乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率. 解：（I）甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率為 （II）乙至少擊中目標(biāo)2次的概率為 （III）設(shè)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次為事件A，乙恰好擊中目標(biāo)2次且甲恰好擊中目標(biāo)0次為事件B1，乙恰好擊中目標(biāo)3次且甲恰好擊中目標(biāo)1次為事件B2，則A=B1+B2，B1，B2為互斥事件. P（A）=P（B1）+P（B2） 所以，乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率為 【例2】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.兩甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球. (Ⅰ)若n=3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率； (Ⅱ)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為，求n. 解：（I）記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件. （II）記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件. 由題意，得 所以 ， 化簡(jiǎn)，得 解得，或（舍去），故 . 提煉總結(jié)以為師 1.正確理解概念,能準(zhǔn)確判斷是否相互獨(dú)立事件,只有對(duì)于相互獨(dú)立事件A與B來(lái)說(shuō)，才能運(yùn)用公式P（AB）=P（A）P（B）. 2.對(duì)于復(fù)雜的事件要能將其分解為互斥事件的和或獨(dú)立事件的積，或先計(jì)算對(duì)立事件. 3.善于發(fā)現(xiàn)或?qū)?wèn)題化為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題,進(jìn)而計(jì)算發(fā)生k次的概率. 離散型隨機(jī)變量的分布列 一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo) 了解離散型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列 二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 隨機(jī)變量：隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量的隨機(jī)變量，記作ξη等； 若ξ是隨機(jī)變量，η=aξ+b，其中是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量.如出租車?yán)锍膛c收費(fèi). 2. 離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定順序一一列出 連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值。 離散型隨機(jī)變量的研究?jī)?nèi)容：隨機(jī)變量取什么值、取這些值的多與少、所取值的平均值、穩(wěn)定性等。 3. 離散型隨機(jī)變量的分布列： 設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為x1,x2,……xi…，且P(ξ=xi)=pi，則稱 ξ x1 x2 … xi … p p1 p2 … pi … 為隨機(jī)變量的分布列。 (1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)： ①P(ξ=xi)=pi≥0；②p1+p2+……=1 (2)求分布列的方法步驟： ①確定隨機(jī)變量的所有取值; ②計(jì)算每個(gè)取值的概率并列表。 4. 二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取的值為0，1，2，3，…，n，并且P(ξ=k)=Cnkpkqn-k（其中k=0,1,2,…,n，p+q=1）,即分布列為 ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 稱這樣的隨機(jī)變量服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作：. 5.幾何分布：如：某射擊手擊中目標(biāo)的概率為p,則從射擊開始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)的分布列為 ξ 1 2 3 … k … P p qp q2p … qk-1p … 這種種分布列叫幾何分布,記作g(k，p)= qk-1p，其中k＝0,1,2,…，q=1-p． 三、雙基題目練練手 1.袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ所有可能取值的個(gè)數(shù)是 ( ) A.5 B.9 C.10 D.25 2.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P（ξ=k）=，k=1，2，…，則P（2<ξ≤4）等于 A. B. C. D. 3.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了ξ次球，則P（ξ=12）等于 A.C（）10（）2 B.C（）9（）2 C.C（）9（）2 D.C（）9（）2 4.設(shè)隨機(jī)變量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=，則P（η≥1）=______ 5.現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%，從中任取5粒，記ξ為5粒中的優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則ξ的分布列是________. 簡(jiǎn)答:1-3.BAB; 3.第12次為紅球，前11次中9次紅球，P（ξ=12）=C（）9（）2; 4.P（ξ≥1）=1－P（ξ<1）=1－Cp0（1－p）2=， ∴p=，P（η≥1）=1－P（η=0）=1－C（）0（）4=1－=答. 5.ξ～B（5，03），ξ的分布列是P（ξ=k）=C03k075－k，k=0，1，…，5 答案：P（ξ=k）=C03k075－k，k=0，1，…，5 經(jīng)典例題做一做 【例1】某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，且各次射擊的結(jié)果互不影響。 （1）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率（用數(shù)字作答）； （2）求射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)，恰好射擊了4次的概率（用數(shù)字作答）； （3）設(shè)隨機(jī)變量ξ表示射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)已射擊的次數(shù)，求ξ的分布列． 解（Ⅰ）：記“射手射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件，則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率 （Ⅱ）解：射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)，恰好射擊了4次的概率 （Ⅲ）解：由題設(shè)，“ξ=k”的概率為 （且） 所以，的分布列為： ξ 3 4 … k … P … … 【例2】已知盒中有10個(gè)燈泡，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品。需要從中取出2個(gè)正品，每次從中取出1個(gè)，取出后不放回，直到取出2個(gè)正品為止，設(shè)ξ為取出的次數(shù)，求ξ的分布列及Eξ。 解：； ； 。 ξ的分布列表略—— E＝。 提煉總結(jié)以為師 1.會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題用隨機(jī)變量正確表示某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)事件； 2.熟練應(yīng)用分布列的兩個(gè)基本性質(zhì)； 3.能熟練運(yùn)用二項(xiàng)分布計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率。 4.求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟： ①首先確定隨機(jī)變量的取值，明確每個(gè)值的意義； ②利用概率及排列組合知識(shí)，求出每個(gè)取值的概率； ③按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo) 了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差. 二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 1.平均數(shù)及計(jì)算方法 (1)對(duì)于n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，=（x1+x2+…+xn）叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)， (2)當(dāng)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的數(shù)值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，= +a. (3)如果在n個(gè)數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次（f1+f2+…+fk=n），那么=,叫加權(quán)平均數(shù). 2.方差及計(jì)算方法 (1)對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn， s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］ 叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差. (2)方差公式: s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］ (3)當(dāng)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中各值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a 則s2=［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－n］ 3.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱 Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn… 為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望.也叫平均數(shù),均值. (1)數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. (2)期望的一個(gè)性質(zhì):E(aξ+b)=aEξ+b （3）求期望的方法步驟： ①確定隨機(jī)變量的所有取值; ②計(jì)算第個(gè)取值的概率并列表; ③由期望公式計(jì)算期望值。 4. 方差: Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+… (1) 標(biāo)準(zhǔn)差:Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作 (2)方差的性質(zhì)： D(aξ+b)=a2Dξ; Dξ=E(ξ2)-(Eξ)2 (3)方差的求法步驟： ①求分布列; ②求期望; ③由公式計(jì)算方差。 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了:隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。 5.會(huì)用求和符號(hào)Σ:如Eξ=xi pi，Dξ=（xi－Eξ）2pi， 6.二項(xiàng)分布的期望和方差：若ξ～B(n，p)，則Eξ=np, np(1-p) 7.幾何分布的期望和方差：若ξ服從幾何分布g(k，p)= ，則 ， 證明: 令 ， 三、雙基題目練練手 1.在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（ ） A.9.4, 0.484 B．9.4, 0.016 C．9.5, 0.04 D．9.5, 0.016 2.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為ξ，則下列結(jié)論正確的是 ( ) A.Eξ=0.001 B.Dξ=0.099 C.P（ξ=k）=0.01k0.9910－k D.P（ξ=k）=C0.99k0.0110－k 3.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為 A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 4.一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是＿＿＿。 5.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝3，則ａ＋ｂ＝__________ 6.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好. 7.若隨機(jī)變量A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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