北京四中高中數學高考綜合復習專題十七算術平均數與幾何平均數.docx

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高中數學高考綜合復習專題十七　　算術平均數與幾何平均數　　一、知識網絡　　　　二、高考考點　　1、運用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或（a、b∈R+）判斷或證明所給不等式的命題是否成立；　　2、在給定條件下求有關式的取值范圍；　　3、在給定條件下求有關函數的最大值或最小值；　　4、解決實際應用問題，以最優(yōu)化問題為主要題型。　　三、知識要點　?。ㄒ唬┎坏仁降男再| 　　不等式的性質是證明與求解不等式的基本依據，為了便于記憶和運用，我們將不等式的性質劃分為“基本性質”和“運算性質”兩個類別。　　1、關于不等式的“基本性質” 　?。?）對稱性：a>b bb,b>c a>c 　?。?）“數加“法則：a>b a+c>b+c 　　推論：a+b>c a>c-b（移項法則）　?。?）“數乘”法則：　　a>b,c>0 ac>bc; 　　a>b,c<0 acb,c>d a+c>b+d; 　?。?）同向的正數不等式兩邊“相乘”：a>b>0，c>d>0 ac>bd；　?。?）正數不等式兩邊“乘方”：a>b>0 an>bn>0(n N*); 　?。?）正數不等式兩邊“開方” 　　認知：上述所有不等式的性質均可應用于證明不等式，但只有部分不等式的性質，可應用于解不等式，可應用于求解不等式（保證等價變形）的性質為1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）　　（二）基本定理及其推論　　定理1：如果a,b R，那么a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時等號成立）　　推論（平方和不等式）：（當且僅當a=b時等號成立）　　定理2：如果a,b R+，那么（當且僅當a=b時等號成立）　　推論1（和的平方不等式）：若a,b R+,則（a+b）2≥4ab（當且僅當a=b時等號成立）　　推論2（最值定理）：設x,y均為正數，則　　（1）當積xy為定值P時，和x+y有最小值（當且僅當x=y時取得）；　　（2）當和x+y為定值S時，積有最大值（當且僅當x=y時取得）；　　四、經典例題　　例1 　?。?）若x,y R+且的最大值. 　?。?）若x,y∈R且xy>0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值. 　　分析：注意運用最值定理解題的要領：一正二定三相等　?。?）欲求積的最大值，首先致力于“湊因子”，為湊出已知條件下“和為定值”的正數之積而變形u，若u的表達式的部分因子在根號外，則可考慮使這一部分進入根號或考察u2：　　　?。?）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“湊項”，為湊出已知條件下“積為定值”的正數之和而變形u，若有可能，將u化為一元函數，問題分析會更明朗一些。　　解：　?。?）注意到這里x>0，u>0，　　∴ 　　　　　　= （當且僅當）時等號成立）。　　　?。?）由已知得　　　　　　=3(當且僅當時成立) 　　∴umin=3（當且僅當x=1且y=2時取得）　　點評：遇“積”湊因子，在主體部分湊出“若干因子之和為定值”的形式；　　遇“和”則湊項，在主體部分湊出“若干項之積為定值”的形成，完成此番設想后，進而再考察有關各數“相等”的可能性。　　例2　　　　（1）若x,y,a,b R+，a≠b，且，求u＝x+y的最小值；　?。?）若00，求的最小值. 　　分析：　　對于（1）如何利用 ,這一條件通常用法多是作“1的替換”或作“三角替換”；　　對于（2），注意到這里0c　(利用三角形的普通性質) a+b+c>2c 　　又a+b+c=4　　　　　　∴c<2　　　　 ⑤ 　　于是由④、⑤得　　　∴所求C的取值范圍為　?。?）由已知得　 b2=ac　　　① 　　　　　　　　　 1-b=a+c　　 ② 　　(以b為主元整理或變形) 　　為利用重要不等式而討論：由題設知a、c同號　?。╥）當a,c同為正數時， (當且僅當a=c時等號成立) 　　∴由①得a+c≥2|b| 　　∴再由②得1-b≥2|b| 2|b|+b≤1　　 ③ 　　∴若b>0，則由③得　；　　若b<0，則由③得　-1≤b<0 　　∴由③解得-1≤b<0或　　(ii)當a,c 同為負數時，　　　　　　　　　　　　　　　 ④ 　　∴由②、④得　 1-b≤-2|b| 2|b|-b≤-1無解　　于是綜合（i）（ii）得所求b的取值范圍為[-1，0）∪（0， ] 　　點評：（1）、（2）解題的共同之處，是立足于已知的等式，借助算術平均數與幾何平均數大小的不等式導出有關變量β的取值范圍，這也展示了這一類問題的基本解法。　　例4．　　（1）已知a>b>c，不等式恒成立，求k的最大值　?。?）已知x,y R+,且不等式恒成立，求a的最小值　　分析：此恒等式問題與最值有著千絲萬縷的聯(lián)系，而尋求有關式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。　　解：　?。?）∵a>b>c 　　∴原不等式恒成立恒成立　　 ① 　　令　　則① k≤u的最小值　　　　　　　　　　 ② 　　又 (分子主動與分母溝通聯(lián)系) 　　　　　　≥4　（當且僅當時等號成立）　　∴umin=4(當且僅當a+c=2b時取得)　　 ③ 　　于是由②、③得　 k≤4，即k的最大值為4 　?。?）不等式恒成立　　恒成立　　恒成立(為便于利用重要不等式而變形) 　　恒成立(化生為熟轉化成功)　　　　 ④ 　　令　　則④ a≥u的最大值　　　　 ⑤ 　　∵x，y∈R+　　　　　 (當且僅當x=y時等號成立) 　　　　 (當且僅當x=y時等號成立) 　　 (當且僅當x=y時取得)　　　　 ⑥ 　　于是由⑤、⑥得，即a的最小值為　　例5．　　已知a,b R+，且a+b=1，求證：　?。?）　　（2）　?。?）　　（4）　?。?）　?。?）　　分析：對于條件不等式的證明，條件的適當運用是證明的關鍵環(huán)節(jié)，對于題設條件中的等式的應用，主要有三個方面　　（i）　直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入；　?。╥i）換元轉化：令a=cos2α , 　?。╥ii）借助“外因”聯(lián)合推理：由已知等式聯(lián)想有關的重要不等式，二者聯(lián)合導出已知條件的延伸。　　聯(lián)想1：由已知等式本身聯(lián)想重要不等式：　　a,b R+，且　?。?）由左邊a+b聯(lián)想重要不等式　　∴ （當且僅當a=b時等號成立）　　（當且僅當a=b時等號成立）　　（當且僅當a=b時等號成立）　?。?）　　（當且僅當a=b時等號成立）　　聯(lián)想2：由已知等式的等價變形聯(lián)想重要不等式　　　　　　∴ 　　（當且僅當a=b時等號成立）　　（當且僅當a=b時等號成立）　　　　∴ 　　　　這與聯(lián)想1中推出的結果殊途同歸. 　　對已知條件作以上挖掘延伸之后,再證明所給例題便是水到渠成。　　證明：（1）　　證法一(分析轉化、化生為熟)：　　原不等式　　　　又　　∴不等式（*）成立，　　∴原不等式成立。　　證法二：（化整為零，化隱為明）；　　注意到　　當且僅當時等號成立　　同理 (當且僅當時等號成立) 　　 (當且僅當時等號成立) 　　(2)利用前面的推論，左邊　　(3)略　　(4)利用前面的結論,左邊　　　　 (當且僅當時等號成立) 　　(5)利用前面的推論得　　為了構造同向不等式,對左邊配方: 　　左邊　　　　 (當且僅當時等號成立) 　　 (當且僅當時等號成立) 　　 (當且僅當時等號成立) 　　　　 (當且僅當時等號成立) 　　(6)　解法一:(為了構造“同向不等式”)硬性提取后再作變形): 　　左邊　　　　　　　　　　 (當且僅當時等號成立) 　　 (當且僅當時等號成立) 　　∴左邊 (當且僅當時等號成立) 　　解法二:仿(5)之解法,留給同學們練習　　點評（1)的證明告訴我們,對于感覺生疏的不等式的證明,要注意通過等價變形來認知它的本來面目;其它問題的證明則告訴我們,條件不等式的證明中,已知條件延伸的主要方向,品悟本例的證明思路,對證明其它的條件不等式具有重要的啟示或遷移作用。　　例6、（1）已知x,y R+，且x+y=1，試求　　 (i) 的最小值；　　（ii）的最小值。　?。?）已知a,b R+，且a3+b3=2，求證：　　（i）ab≤1;　　　　　　 (ii)a+b≤2 　　分析：　　對于（1）本質上是例5 （5）（6）的改作題；　　對于（2），仍可仿照例5中已知條件的延伸手法來尋覓解題思路　　解：（1）從略　　(2)證明：注意到已知條件a3+b3=2 　　 (a+b)(a2+b2-ab)=2　　　　　　　　　　　 ① 　　(i)由①式左邊聯(lián)想重要不等式　?、? 　　 a2+b2≥2ab　　 ③ 　　∴由③得　　 a2+b2-ab≥ab>0　　　　　　　　 ④ 　　∴由②④得 (當且僅當a=b=1時等號成立) ⑤ 　　∴由①、⑤得　　（當且僅當a=b=1時等號成立）　?。╥i）由①式左邊聯(lián)想重要不等式　　　　 ⑥ 　　　　?、? 　　∴由①、⑥、⑦得　　　　 (當且僅當a=b=1時等號成立) 　　（a+b）3≤8 　　 a+b≤2(當且僅當a=b時等號成立) 　　命題得證　　點評：前事不忘，后事之師，學習中要注意知識、方法與策略的遷移，對于（2），也可以根據已知條件a3+b3=2“實施等量替換”，只是效果不一定理想，事實上，　　設　　則　　；　?。╥）得證；　　而a+b≤2則難以證明,同學們不妨一試. 　　五、高考真題　　1、（2004遼寧卷）對于0-1,則　　（2）若正整數m和n滿足m≤n，則　?。?）設P(x1,y1)為圓01；x2+y2=9上任一點，圓O2以Q（a,b）為圓心且半徑為1，當（a-x1）2+(b-y1)2=1時，圓01與圓O2相切。　　其中假命題的個數為（　　　　）　　A．0　　　　 B.1　　 C.2　　　　 D.3 　　分析：逐一考察每個命題：　　對于（1）作輔助函數在（-1，∞）上為增函數. 　　∵a≥b>-1,　　 ∴f(a) ≥f(b),即，　　∴（1）為真命題；　　對于（2），由已知得m>0，n-m≥0,由平均值不等式得（2）也是真命題；　　對于（3），注意到圓O2的方程為（x-a）2+(y-b)2=1，故由題設知點P亦在圓O2上，即點P為圓O1與圓O2的公共點圓01與圓O2相切，從而（3）為假命題　　于是由上述分析可知，本題應為B。

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