2015年江西省南昌市灣里區(qū)一中高中數(shù)學(xué)教案：《角的概念的推廣》.doc

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教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能 （1）推廣角的概念，理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；（2）理解象限角、坐標(biāo)軸上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或給定區(qū)域內(nèi)）的角的集合；（5）能進(jìn)行簡(jiǎn)單的角的集合之間運(yùn)算。 過程與方法 類比初中所學(xué)的角的概念，以前所學(xué)角的概念是從靜止的觀點(diǎn)闡述，現(xiàn)在是從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)闡述，進(jìn)行角的概念推廣，引入正角、負(fù)角和零角的概念；由于角本身是一個(gè)平面圖形，因此，在角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標(biāo)系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通過幾個(gè)特殊的角，畫出終邊所在的位置，歸納總結(jié)出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。 情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)角的概念有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)；樹立運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物；揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度；讓學(xué)生感受圖形的對(duì)稱美、運(yùn)動(dòng)美，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)美的追求。 二、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 理解正角、負(fù)角和零角和象限角的定義，掌握終邊相同角的表示法及判斷。 難點(diǎn): 把終邊相同的角用集合和符號(hào)語言正確地表示出來。 三、學(xué)法與教學(xué)用具 在初中，我們知道最大的角是周角，最小的角是零角；通過回憶和類比初中所學(xué)角的概念,把角的概念進(jìn)行了推廣；角是一個(gè)平面圖形，把角放入平面直角坐標(biāo)系中以后,了解象限角的概念；通過角終邊的旋轉(zhuǎn)掌握終邊相同角的表示方法；我們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí),首先要弄清楚角的表示符號(hào),以及正負(fù)角的表示，另外還有相同終邊角的集合的表示等。 教學(xué)用具:多媒體、三角板、圓規(guī) 四、教學(xué)思路 【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】 同學(xué)們，我們?cè)跀Q螺絲時(shí)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)會(huì)越擰越松，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)會(huì)越擰越緊。但不知同學(xué)們有沒有注意到，在這兩個(gè)過程中，扳手分別所組成的兩個(gè)角之間又有什么關(guān)系呢？請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)暢談一下，教師控制好時(shí)間，2-3分鐘為宜。 這里面到底是怎么回事？這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。 初中我們已給角下了定義，先請(qǐng)一個(gè)同學(xué)回憶一下當(dāng)時(shí)是怎么定義的？ 我們把“有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角”，這是從靜止的觀點(diǎn)闡述的。 【探究新知】 如果我們從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看，角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。(先后用教具圓規(guī)和多媒體給學(xué)生演示：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)形成角，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)而成角，轉(zhuǎn)幾圈也形成角，為推廣角的概念做好準(zhǔn)備) 正角、負(fù)角、零角的概念(打開課件第一版，演示正角、負(fù)角、零角的形成過程)． 我們規(guī)定：(板書)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，如圖（見課件）。一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn).按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們認(rèn)為這時(shí)它也形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0。鐘表的時(shí)針和分針在旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的角總是負(fù)角．為了簡(jiǎn)便起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以記成“α”。 過去我們研究了0～360范圍的角．如圖（見課件）中的角α就是一個(gè)0～360范圍內(nèi)的角(α＝30)．如果我們將角α的終邊OB繼續(xù)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周、兩周……而形成的角是多少度?是不是仍為30的角?(用多媒體演示這一旋轉(zhuǎn)過程，讓學(xué)生思考；為終邊相同角概念做準(zhǔn)備)．將終邊OB旋轉(zhuǎn)一周、兩周……，分別得到390，750……的角．如果將OB繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去，便可得到任意大小的正角。同樣地，如果將OB按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，也可得到任意大小的負(fù)角(通過課件，動(dòng)態(tài)演示這一無限旋轉(zhuǎn)過程)．這就是說，角度并不局限于0～360的范圍，它可以為任意大小的角 (與數(shù)軸進(jìn)行比較)．(打開課件第三版)．如圖(1)中的角為正角，它等于750；(2)中，正角α＝210，負(fù)角β＝—150，γ＝－660．在生活中，我們也經(jīng)常會(huì)遇到不在0～360范圍的角，如在體操中，有“轉(zhuǎn)體720”(即“轉(zhuǎn)體2周”)，“轉(zhuǎn)體1080”(即“轉(zhuǎn)體3周”)這樣的動(dòng)作名稱；緊固螺絲時(shí)，扳手旋轉(zhuǎn)而形成的角． 角的概念經(jīng)過這樣的推廣以后，就包括正角、負(fù)角和零角． 2．象限角、坐標(biāo)軸上的角的概念． 由于角是一個(gè)平面圖形，所以今后我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，(板書)我們使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸(包括原點(diǎn))重合，那么角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．(打開課件第四版)例如圖(1)中的30、390、－330角都是第一象限角，圖(2)中的300、－60角都是第四象限角；585角是第三象限角． (板書)如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任一象限． 3．終邊相同的表示方法． (返回課件第二版，在圖(1)1(2)中分別以O(shè)為原點(diǎn)，直線0A為x軸建立直角坐標(biāo)系，重新演示前面的旋轉(zhuǎn)過程)在圖(1)中，如果將終邊OB按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈、兩圈……，分別得到390，750……的角，這些角的終邊與30角的終邊相同，只是轉(zhuǎn)過的圈數(shù)不同，它們可以用30角來表示，如390＝30十360，750＝30十2360，……在圖(2)中，如果將終邊OB按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈、兩圈……分別得到－330，－690……的角，這些角的終邊與30角終邊也相同，也只是轉(zhuǎn)過的圈數(shù)不同，它們也都可以用30的角來表示，如－330＝30－360，－690＝30—2360，…… 由此可以發(fā)現(xiàn)，上面旋轉(zhuǎn)所得到的所有的角(記為β)，都可以表示成一個(gè)0到360的角與k(k∈Z)個(gè)周角的和，即：β＝30十k360(k∈Z)．如果我們把β的集合記為S，那么S＝{β|β＝30十k360， k∈Z}．容易看出：所有與30角終邊相同的角，連同30角(k＝0)在內(nèi)，都是集合S的元素；反過來，集合S的任一元素顯然與30角終邊相同。 【鞏固深化，發(fā)展思維】 例題講評(píng) 例1.判斷下列各角是第幾象限角. (1)—60； (2)585； (3)—95012’． 解：(1)∵—60角終邊在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585＝360十225，∴585與225終邊相同，又∵225終邊在第三象限，∴585是第三象限角；(3)∵ —95012’＝－23012’—2360，又∵－23012’終邊在第二象限，∴—95012’是第二象限角. 例2．在直角坐標(biāo)系中，寫出終邊在y軸上的角的集合（α用0～360的角表示）. 解：在0～360范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即90與270角，因此，所有與90角終邊相同的角構(gòu)成集合S1＝{β|β＝90＋k360，k∈Z}；所有與270角終邊相同的角構(gòu)成集合S2＝{β|β＝270＋k360，k∈Z}；所以，終邊在y軸上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90＋k360，k∈Z}∪{β|β＝270＋k360，k∈Z}. 例3．寫出與60角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360≤β＜270的元素β寫出來. 解：S＝{β|β＝60＋k360，k∈Z}，S中適合－360≤β＜270的元素是： 60－1360＝－300，60＋0360＝60，60＋1360＝420. 2．學(xué)生課堂練習(xí) 參考練習(xí) (通過多媒體給題)。 (1) (口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個(gè)問題. (2)與—496終邊相同的角是 ，它是第 象限的角，它們中最小正角是 ，最大負(fù)角是 。 (3)時(shí)針經(jīng)過3小時(shí)20分，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為 ，分針轉(zhuǎn)過的角度為 。 (4)若α、β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則α與β的關(guān)系是 ；若α與β的終邊關(guān)于y 軸對(duì)稱，則α與β的關(guān)系是 ；若α、β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則α與β的關(guān)系是 ；若角α是第二象限角，則180—α是第 象限角。 [答案](1)是，不一定. (2)—496十k360(k∈Z)，三，240，—136. (3)—100，—1200． (4)α十β＝k360(k∈Z)；α十β＝180十k360。(k∈Z)； α一β＝180十k360(k∈Z)；一. 五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí) 請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容有哪些？你知道角是如何推廣的嗎?