2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第十課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案（二） 蘇教版必修5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第十課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案（二） 蘇教版必修5教學(xué)目標(biāo)：綜合運(yùn)用等比數(shù)列的定義式、通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)求和公式解決相關(guān)問(wèn)題，提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn)：進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.教學(xué)難點(diǎn)：靈活使用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)等比數(shù)列的知識(shí)?定義式：q(q0，n2)通項(xiàng)公式：ana1qn1(a1,q0)若mnpq，則amanapaq,Sn (q1)Snna1，(q1)anSnSn1(n2)，a1S1(n1).講授新課我們結(jié)合一些練習(xí)來(lái)看一下如何靈活應(yīng)用它們. 例1求和：（x）（x2）（xn）

2、 (其中x0，x1，y1)分析：上面各個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子均由兩項(xiàng)組成，其中各括號(hào)內(nèi)的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個(gè)等比數(shù)列的和，就能得到所求式子的和.解：當(dāng)x0，x1，y1時(shí)，（x）（x2）（xn）(xx2xn)() 此方法為求和的重要方法之一：分組求和法.例2已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.分析：由題意可得S3S62S9，要證a2，a8，a5成等差數(shù)列，只要證a2a52a8即可.證明：S3，S9，S6成等差數(shù)列，S3S62S9若q1，則S33a1，S66a1，S99a1，由等比數(shù)列中，a10得S3S62S9，與題設(shè)矛

3、盾，q1，S3，S6，S9且整理得q3q62q9，由q0得1q32q6又a2a5a1qa1q4a1q(1q3)，a2a5a1q2q62a1q72a8a2，a8，a5成等差數(shù)列.評(píng)述：要注意題中的隱含條件與公式的應(yīng)用條件.例3某制糖廠第1年制糖5萬(wàn)噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸(保留到個(gè)位)?分析：由題意可知，每年產(chǎn)量比上一年增加的百分率相同，所以從第1年起，每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列，總產(chǎn)量則為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列an，其中a15，q110%1.1，Sn3030，整理可得：1.1n1.6兩邊取對(duì)數(shù)，得nl

4、g1.1lg1.6，即：n5答：約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸.評(píng)述：首先應(yīng)根據(jù)題意準(zhǔn)確恰當(dāng)建立數(shù)學(xué)模型，然后求解.課堂練習(xí)課本P58練習(xí)1，2，3.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，應(yīng)掌握等比數(shù)列的定義式、通項(xiàng)公式、性質(zhì)以及前n項(xiàng)求和公式的靈活應(yīng)用.利用它們解決一些相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意其特點(diǎn).課后作業(yè)課本P58習(xí)題 3，4，5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)1數(shù)列an為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，它的前2n項(xiàng)的和為6560，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比.2已知數(shù)列an是等比數(shù)列，試判斷該數(shù)列依次k項(xiàng)的和組成的數(shù)列bn是否仍為等比數(shù)列？3求數(shù)列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a

5、6，的前n項(xiàng)和Sn.4數(shù)列an中，Sn1kan(k0，k1)(1)證明數(shù)列an為等比數(shù)列；（2）求通項(xiàng)an；(3)當(dāng)k1時(shí)，求和a12a22an2.5已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).6等比數(shù)列an中，S41，S83，求a17a18a19a20的值.7求和（x）2（x2）2（xn）28求數(shù)列2x2，3x3，4x4，nxn，的前n項(xiàng)和.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)答案1數(shù)列an為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，它的前2n項(xiàng)的和為6560，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比.分析：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn解

6、題.解：若q1，則應(yīng)有S2n2Sn，與題意不合，故q1.當(dāng)q1時(shí)，由已知得由，得82，即q2n82qn810得qn81或qn1(舍)qn81，故q1.an的前n項(xiàng)中最大，有an54.將qn81代入，得a1q1由ana1qn154，得a1qn54q即81a154q由、得a12，q3評(píng)述：在數(shù)學(xué)解題中還應(yīng)有一個(gè)整體觀念，如本題求出qn81，應(yīng)保留qn為一個(gè)整體求解方便.2已知數(shù)列an是等比數(shù)列，試判斷該數(shù)列依次k項(xiàng)的和組成的數(shù)列bn是否仍為等比數(shù)列？分析：應(yīng)對(duì)an的公比q分類討論.解：設(shè)bna(n1)k+1a(n1)k+2ank，且數(shù)列an的公比為q則當(dāng)q1時(shí)，b1b2bnka1,bn為公比是1的

7、等比數(shù)列.當(dāng)q1時(shí)，bn，qk bn為公比是qk的等比數(shù)列.當(dāng)q1時(shí)，若k為偶數(shù)，則bn0，此時(shí)bn不能為等比數(shù)列.若k為奇數(shù)，數(shù)列bn為公比為1的等比數(shù)列.綜上：當(dāng)an的公比不為1時(shí)，數(shù)列bn仍為等比數(shù)列；當(dāng)an的公比為1時(shí)，若k為偶數(shù)，則bn不是等比數(shù)列；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列bn為公比為1的等比數(shù)列.3求數(shù)列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)a0時(shí)，Sn1；(2)a1時(shí)，Snn(n1)；(3)a1時(shí)，Sn；(4)a1；a0時(shí)，Sn.4數(shù)列an中，Sn1kan(k0，k1)(1)證明數(shù)列an為等比數(shù)列；（2）求通項(xiàng)an；(3)當(dāng)k1時(shí)，求和a12a22an2

8、.分析：由于條件中涉及Sn與an的關(guān)系，因此，要考慮SnSn1an(n2)的運(yùn)用，然后回答定義.（1）證明：Sn1kanSn11kan1得SnSn1kankan1(n2)(k1)ankan1， (常數(shù))，（n2）an是公比為的等比數(shù)列.（2）解：S1a11ka1，a1an()n1(3)解：an中a1，qan2為首項(xiàng)為（）2，公比為（）2的等比數(shù)列.當(dāng)k1時(shí)，等比數(shù)列an2的首項(xiàng)為 ，公比為 a12a22an21（）n 評(píng)述：應(yīng)注意an的應(yīng)用.5已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).解：設(shè)數(shù)列的公比為q，項(xiàng)數(shù)為2n則，得q(a1a

9、3a2n1)170，q2又85，即8522n25628，2n8評(píng)述：在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5個(gè)量，其中a1和q是基本量，利用這兩個(gè)公式，可知三求二.6等比數(shù)列an中，S41，S83，求a17a18a19a20的值.分析：關(guān)鍵是確定首項(xiàng)和公比.解：設(shè)此數(shù)列的首項(xiàng)和公比為a1和q.則由得q42.a17a18a19a20S20S16q162416.評(píng)述：在研究等比數(shù)列的問(wèn)題中，要確定基本量a1和q,仍然離不開(kāi)方程思想，在具體求解時(shí)，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意優(yōu)化與化簡(jiǎn).7求和（x）2（x2）2（xn）2分析：注意到（xn）2anx2n2，且

10、x2n與()2n為等比數(shù)列，故可考慮拆項(xiàng)法.解：Sn(x2x4x2n)()當(dāng)x1時(shí)， Snnn2n4n.當(dāng)x1時(shí)，Sn2n2n評(píng)述：在運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式時(shí)，要注意分析公比是否為1.8求數(shù)列2x2，3x3，4x4，nxn，的前n項(xiàng)和.分析：可以通過(guò)錯(cuò)位相減的方法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題.解：（1）當(dāng)x0時(shí)，Sn0.(2)當(dāng)x1時(shí)，Sn234(n1)n(n3).(3)當(dāng)x1時(shí)，Sn2x23x34x4(n1)xn+1xSn2x33x44x5nxn+1(n1)xn+2得：（1x）Sn2x2x3x4xn+1(n1)xn+22x2(n1)xn+2Sn又當(dāng)x0時(shí)，Sn0適合Sn評(píng)述：錯(cuò)位相減法是一種常用的重要的求和方法.