2020高考數(shù)學(xué)沖刺 直線和圓

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1、直線和圓的方程 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)精華 考試內(nèi)容： 直線的傾斜角和斜率，直線方程的點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式．直線方程的一般式． 兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點(diǎn)到直線的距離． 用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題． 曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．圓的參數(shù)方程． 考試要求： （1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程． （2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系． （3）了

2、解二元一次不等式表示平面區(qū)域． （4）了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用． （5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法． （6）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程． §07. 直線和圓的方程 知識(shí)要點(diǎn) 一、直線方程. 1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是. 注：①當(dāng)或時(shí)，直線垂直于軸，它的斜率不存在. ②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定. 2

3、. 直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式. 特別地，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，即直線在軸，軸上的截距分別為時(shí)，直線方程是：. 注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線. 附：直線系：對(duì)于直線的斜截式方程，當(dāng)均為確定的數(shù)值時(shí)，它表示一條確定的直線，如果變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線也會(huì)變化.①當(dāng)為定植，變化時(shí)，它們表示過(guò)定點(diǎn)（0，）的直線束.②當(dāng)為定值，變化時(shí)，它們表示一組平行直線. 3. ⑴兩條直線平行： ∥兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)“前提”都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤. （一般的結(jié)論是

4、：對(duì)于兩條直線，它們?cè)谳S上的縱截距是，則∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且） 推論：如果兩條直線的傾斜角為則∥. ⑵兩條直線垂直： 兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要條件） 4. 直線的交角： ⑴直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，它的范圍是，當(dāng)時(shí). ⑵兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個(gè)角中最小的正角，又稱(chēng)為和所成的角，它的取值范圍是，當(dāng)，則

5、有. 5. 過(guò)兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi)） 6. 點(diǎn)到直線的距離： ⑴點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)，直線到的距離為，則有. 注： 兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：. 特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離： 定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P(x,y)分有向線段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).則 特例，中點(diǎn)坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。 直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率: 過(guò)兩點(diǎn). 當(dāng)（即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的傾斜角＝，沒(méi)有斜率 ⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有. 注；直

6、線系方程 1. 與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 過(guò)定點(diǎn)（x1,y1）的直線系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全為0) 4. 過(guò)直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：該直線系不含l2. 7. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)： ⑴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等. ⑵關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)的兩條直線性質(zhì)：若

7、兩條直線平行，則對(duì)稱(chēng)直線也平行，且兩直線到對(duì)稱(chēng)直線距離相等. 若兩條直線不平行，則對(duì)稱(chēng)直線必過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)直線為兩直線夾角的角平分線. ⑶點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱(chēng)，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)直線上（方程①），過(guò)兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱(chēng)直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn). 注：①曲線、直線關(guān)于一直線（）對(duì)稱(chēng)的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關(guān)于直線y=x–2對(duì)稱(chēng)曲線方程是f(y+2 ,x –2)=0. ②曲線C: f(x ,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a ,b)的對(duì)稱(chēng)曲線方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二、圓的方程. 1. ⑴曲線與方程：在

8、直角坐標(biāo)系中，如果某曲線上的 與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系： ①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解. ②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn). 那么這個(gè)方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）. ⑵曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)其坐標(biāo)與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)是方程的解；反過(guò)來(lái)，滿(mǎn)足方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn). 注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是. 特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：. 注：特殊圓的方程：①與軸相

9、切的圓方程 ②與軸相切的圓方程 ③與軸軸都相切的圓方程 3. 圓的一般方程： . 當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑. 當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形（稱(chēng)虛圓）. 注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）. ②方程表示圓的充要條件是：且且. ③圓的直徑或方程：已知（用向量可征）. 4. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓. ①在圓內(nèi) ②在圓上 ③在圓外 5. 直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離. ①時(shí)，與相切； 附：若兩圓相切，則相減為公切線方程. ②時(shí)，與相交； 附：公共弦方程：

10、設(shè) 有兩個(gè)交點(diǎn)，則其公共弦方程為. ③時(shí)，與相離. 附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中與線方程. 由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于（或）的一元二次方程，其判別式為，則： 與相切； 與相交； 與相離. 注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線. 6. 圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過(guò)圓 上一點(diǎn)的切線方程為：. ①一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特別地，過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為. ②若點(diǎn)(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程. 7. 求切點(diǎn)弦方程：方

11、法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程. 如圖：ABCD四類(lèi)共圓. 已知的方程…① 又以ABCD為圓為方程為…② …③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求. 三、曲線和方程 1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： 1） 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）； 2） 方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上（完備性）。則稱(chēng)方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。 2.求曲線方程的方法：. 1）直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡(jiǎn)化檢驗(yàn); 2）參數(shù)法;

12、 3）定義法， 4）待定系數(shù)法. 試題精粹 江蘇省2020年高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試題 4．（江蘇省2020屆蘇北四市第一次聯(lián)考）直線l過(guò)點(diǎn)（-1，2）且與直線垂直，則直線l的方程是 ▲ ． 6. （常州市2020屆高三數(shù)學(xué)調(diào)研）已知：圓M： ，直線的傾斜角為，與圓M交于P、Q兩點(diǎn)，若(O為原點(diǎn))，則在軸上的截距為 . 13．（姜堰二中學(xué)情調(diào)查（三））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線和圓相切，其中m，，若函數(shù) 的零點(diǎn)，則k= ．0 11. （泰州市2020屆高三

13、第一次模擬考試）過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的線，若關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)到圓心的距離為 。 11．（江蘇省南通市2020屆高三第一次調(diào)研測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，－1），B（－3，－4）兩點(diǎn)，若點(diǎn)C在的平分線上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ▲ ． 13、（南通市六所省重點(diǎn)高中聯(lián)考試卷）設(shè)M1(0，0)，M2(1，0)，以M1為圓心，| M1 M2 | 為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M3 (不同于M2)，記作⊙M1；以M2為圓心，| M2 M3 | 為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M4 (不同于M3)，記作⊙M2；……； 以Mn為圓心，| Mn Mn+1 | 為半徑作圓交x軸于點(diǎn)Mn+2

14、(不同于Mn+1)，記作⊙Mn；…… 當(dāng)n∈N*時(shí)，過(guò)原點(diǎn)作傾斜角為30°的直線與⊙Mn交于An，Bn．考察下列論斷： 當(dāng)n＝1時(shí)，| A1B1 |＝2； 當(dāng)n＝2時(shí)，| A2B2 |＝； 當(dāng)n＝3時(shí)，| A3B3 |＝； 當(dāng)n＝4時(shí)，| A4B4 |＝； …… 由以上論斷推測(cè)一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N*，| AnBn |＝ ▲ 11、（宿遷市高三12月聯(lián)考）若三條直線共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)滿(mǎn)足的條件是___ ___； 12．（徐州市12月高三調(diào)研）已知直線與圓：相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在圓上，且有（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)= ▲ .0

15、 9．（鹽城市第一次調(diào)研）已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的方程為 ▲ . 10.（蘇州市2020屆高三調(diào)研測(cè)試）已知圓與圓相交， 則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ▲ . 【解析】由得該圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)在圓內(nèi)，因此兩圓相切的可能性只有兩種：圓內(nèi)切于圓此時(shí)圓內(nèi)切于圓，此時(shí)所以 14. （蘇州市2020屆高三調(diào)研測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是第一象限內(nèi)曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn),則的面積的最小值為 ▲ . 【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率，切線方程為，，所以 17、（南通市六所省重點(diǎn)高中聯(lián)考試卷）（本題

16、滿(mǎn)分15分）已知圓，相互垂直的兩條直線、都過(guò)點(diǎn). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若圓心為的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值，并求此時(shí)直線的方程. 解：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為，易知圓心到點(diǎn)的距離為， ∴……………………………………………………………4分 解得且∴圓的方程為…………………7分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)圓的圓心為，、被圓所截得弦的中點(diǎn)分別為，弦長(zhǎng)分別為，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?即 ，化簡(jiǎn)得 …………………………10分 從而，等號(hào)成立， 時(shí)，， 即、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為 …………………………………13分

17、 此時(shí)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，則 ，， ∴直線的方程為：或 …………………………15分 試題精粹 江蘇省2020年高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試題 一、填空題: 9．（江蘇省南通市2020年高三二模）設(shè)圓的一條切線與軸、軸分別交于點(diǎn)A、B，則線段AB長(zhǎng)度的最小值為 ▲ ． 解析：設(shè)切點(diǎn)為D,,則連接OD知 ,從而得到 ,所以線段AB ,則線段AB長(zhǎng)度的最小值為2.[高&考%資(源#網(wǎng) wxc] 8．(江蘇通州市2020年3月高三素質(zhì)檢測(cè))已知兩圓(x－1)2+(y－1)2＝r2和(x+2)2+(y+2)2＝R2相交于P,Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P坐

18、標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ▲ ．（2，1） （2020年3月蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查一）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線：與圓：相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAMB，若點(diǎn)M在圓上，則實(shí)數(shù)k= ▲ ．0 8．（江蘇省無(wú)錫市部分學(xué)校2020年4月聯(lián)考試卷）設(shè)圓的一條切線與軸、軸分別交于點(diǎn)，則的最小值為 。2 7．（江蘇省鹽城市2020年高三第二次調(diào)研考試）已知圓的弦的中點(diǎn)為，則弦的長(zhǎng)為 ▲ . 4 7、（江蘇省連云港市2020屆高三二模試題）已知兩圓(x－1)2+(y－1)2＝r2和(x+2)2+(y+2)2＝R2相

19、交于P,Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ▲ ． 8、（江蘇省南京市2020年3月高三第二次模擬）過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)D的面積最小時(shí)，直線的方程是 11．（江蘇省洪澤中學(xué)2020年4月高三年級(jí)第三次月考試卷已知三點(diǎn)，，， ， ，矩形的頂點(diǎn)、分別在的邊、上，、都在邊上，不管矩形如何變化，它的對(duì)角線、的交點(diǎn)恒在一條定直線上，那么直線的方程是 。 二、解答題 18．(江蘇通州市2020年3月高三素質(zhì)檢測(cè))（本小題滿(mǎn)分15分） l A B

20、Q F P O x y （第18題） 如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，其右焦點(diǎn)為F．若點(diǎn)P(－1,1)為圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）證明：直線PQ與圓O相切． 18．（江蘇省蘇南六校2020年高三年級(jí)聯(lián)合調(diào)研考試）（本小題滿(mǎn)分16分） 已知半橢圓和半圓 組成曲線，其中；如圖，半橢圓 內(nèi)切于矩形， 且交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上 異于的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)， 的面積最大。 （1）求曲線的方程； （2）連、交分別于

21、點(diǎn)，求證：為定值。 18．（本小題滿(mǎn)分16分） 18. （2020年江蘇省蘇北四市高三年級(jí)第二次模擬考試）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線的方程為，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，縱坐標(biāo)為． （1）求拋物線的方程； （2）求證：直線恒與一個(gè)圓心在軸上的定圓相切，并求出圓的方程。 18.（1）設(shè)拋物線的方程為， 因?yàn)闇?zhǔn)線的方程為，所以，即， 因此拋物線的方程為． …………………………………………4分 （2）由題意可知，，, 則直線方程為：， 即，……………………………………………………8分 設(shè)圓心在軸上，且與直線相切的圓的方程為， 則圓心到直線的距離， ………………

22、…10分 即①或②由①可得對(duì)任意恒成立，則有 ，解得（舍去）……………………………………14分 由②可得對(duì)任意恒成立，則有 ，可解得 因此直線恒與一個(gè)圓心在軸上的定圓相切，圓的方程為. [Z ………………………………………………………………………………………16分 配方法、待定系數(shù)法、換元法 一、知識(shí)整合 配方法、待定系數(shù)法、換元法是幾種常用的數(shù)學(xué)基本方法.這些方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn),是解決問(wèn)題的手段,它不僅有明確的內(nèi)涵,而且具有可操作性,有實(shí)施的步驟和作法. 配方法是對(duì)數(shù)

23、學(xué)式子進(jìn)行一種定向的變形技巧,由于這種配成“完全平方”的恒等變形,使問(wèn)題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化,從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系,促成問(wèn)題的解決. 待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程的思想,這個(gè)方法是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)統(tǒng)一在方程關(guān)系中,從而通過(guò)解方程(或方程組)求得未知數(shù). 換元法是一種變量代換,它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化. 二、例題解析 例1．已知長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24,則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為( ). (A) (B) (C)5 (D)6 分析及解：設(shè)長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別為x,y,z,則依條件得：

24、2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對(duì)角線長(zhǎng)為,因此需將對(duì)稱(chēng)式寫(xiě)成基本對(duì)稱(chēng)式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=62-11=25 ∴ ,應(yīng)選C. 例2．設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿(mǎn)足∠F1PF2=90°,則ΔF1PF2的面積是( ). (A)1 (B) (C)2 (D) 分析及解：欲求 (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F1PF2=90°,得 (2), 又根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角

25、形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方,即可找到三個(gè)式子之間的關(guān)系.即, 故∴ ,∴ 選(A). 注：配方法實(shí)現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化. 例3．設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于x軸,離心率為,已知點(diǎn)P(0,5)到該雙曲線上的點(diǎn)的最近距離是2,求雙曲線方程. 分析及解：由題意可設(shè)雙曲線方程為,∵,∴a=2b,因此所求雙曲線方程可寫(xiě)成： (1),故只需求出a可求解. 設(shè)雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),則|PQ|= (2),∵點(diǎn)Q(x,y)在雙曲線上,∴(x,y)滿(mǎn)足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此時(shí)|PQ|2表示為變量y的二次函數(shù),利用配方法

26、求出其最小值即可求解. 由(3)式有(y≥a或y≤-a). 二次曲線的對(duì)稱(chēng)軸為y=4,而函數(shù)的定義域y≥a或y≤-a,因此,需對(duì)a≤4與a>4分類(lèi)討論. (1)當(dāng)a≤4時(shí),如圖(1)可知函數(shù)在y=4處取得最小值, ∴令,得a2=4 ∴所求雙曲線方程為. (2)當(dāng)a>4時(shí),如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值, ∴令,得a2=49, ∴所求雙曲線方程為. 注：此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問(wèn)題,由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關(guān),因此需對(duì)字母a的取值分類(lèi)討論,從而得到兩個(gè)解,同學(xué)們?cè)诮獯饠?shù)習(xí)題時(shí)應(yīng)學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題. 例4．設(shè)

27、f(x)是一次函數(shù),且其在定義域內(nèi)是增函數(shù),又,試求f(x)的表達(dá)式. 分析及解：因?yàn)榇撕瘮?shù)的模式已知,故此題需用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式. 設(shè)一次函數(shù)y=f(x)=ax+b (a>0),可知 , ∴. 比較系數(shù)可知： 解此方程組,得 ,b=2,∴所求f(x)=. 例5．如圖,已知在矩形ABCD中,C(4,4),點(diǎn)A在曲線(x>0,y>0)上移動(dòng),且AB,BC兩邊始終分別平行于x軸,y軸,求使矩形ABCD的面積為最小時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo). 分析及解：設(shè)A(x,y),如圖所示,則(4-x)(4-y) (1) 此時(shí)S表示為變量x,y的函數(shù),如何將S表示為一個(gè)

28、變量x(或y)的函數(shù)呢？有的同學(xué)想到由已知得x2+y2=9,如何利用此條件？是從等式中解出x(或y),再代入(1)式,因?yàn)楸磉_(dá)式有開(kāi)方,顯然此方法不好. 如果我們將(1)式繼續(xù)變形,會(huì)得到S=16-4(x+y)+xy (2) 這時(shí)我們可聯(lián)想到x2+y2與x+y、xy間的關(guān)系,即(x+y)2=9+2xy. 因此,只需設(shè)t=x+y,則xy=,代入(2)式得 S=16-4t+(3)S表示為變量t的二次函數(shù), ∵0

29、. 例6．設(shè)方程x2+2kx+4=0的兩實(shí)根為x1,x2,若≥3,求k的取值范圍. 解：∵≥3, 以,代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ=4k2-16≥0, ∴解得k∈(-)∪[,+]. 例7．點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng)時(shí),求函數(shù)u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值. 解：∵點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng), ∴可設(shè) 于是 = = 令, ∵,∴|t|≤. 于是u=,(|t|≤). 當(dāng)t=,即時(shí),u有最大值. ∴θ=2kπ+(k∈Z)時(shí),. 例8．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于

30、A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,求直線l的傾斜角. 解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方 程整理得 (*) 由韋達(dá)定理,(1),(2) 又F(1,0)且AF⊥BF,∴, 即 , 將,代入上式整理得 , 將(1)式,(2)式代入,解得 . 故直線l的傾斜角為或. 注：本題設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù),“設(shè)而不求”,以這些參數(shù)為橋梁建立斜率為k的方程求解. 例9．設(shè)集合A={} (1)若A中有且只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值集合B； (2)當(dāng)a∈B時(shí),不等式x2-5x-

31、60且方程化為t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一個(gè)元素等價(jià)于方程(*)有且只有一個(gè)正根,再令f(t)=t2-2t+a, 則Δ=0 或即a=1或a≤0,從而B(niǎo)=(-,0]∪{1}. (2)當(dāng)a=1時(shí),0恒成立,故 ≤4. 綜上討論,x的取值范圍是(,4). 直線與圓過(guò)關(guān)測(cè)試 直線(a+1)x－

32、(2a+5)y－6=0必過(guò)一定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為 若點(diǎn)A（3，4）和B（－3，4）在直線的同側(cè)，則a的取值范圍是 直線y=xcosα+1(α∈R)的傾斜角的取值范圍是　 已知一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，并且與點(diǎn)(2,3)和(0, －5)的距離相等，則此直線的方程為 已知三條直線3x－y+2=0，2x+y+3=0，mx+y=0不能?chē)扇切?，則m的值為 圓C:x2+y2＋2x－6y－15=0與直線l：(1+3m)x+(3－2m)y+4m－17＝0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸的

33、截距相等的直線方程是 直線截圓所得的劣弧所對(duì)的圓心角為 設(shè)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為 10、圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都使不等式成立，則的取值范圍是 11、如圖，是直線上的兩點(diǎn)，且．兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與相切于點(diǎn)，是這兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧，與線段圍成圖形面積的取值范圍是 12、已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)A、B. (1)求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程； (2)求直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和的最小值及此時(shí)直線l

34、的方程； (3)當(dāng)|PA||PB|取最小值時(shí)，求直線l的方程． 13、已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C:(x-3)2+(y+6)2=25. (1)證明不論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓C總相交; (2)求直線l被圓C截得的線段最短時(shí)的直線l方程. 14、自點(diǎn)（－3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓 相切，求光線L所在直線方程． 參考答案 1、（-2，-4） 2、 3、 4、4x－y－2=0或x＝1

35、 5、－3或－1或2 6、2 7、 8、60° 9、1 10、 11、 12、(1)設(shè)l的方程為=1，則A(a,0)，B(0,b)且a＞0，b＞0， 又∵l過(guò)P(3,2)∴=1∵a，b＞0∴1=≥2得ab≥24， ∴S△AOB=ab≥12當(dāng)且僅當(dāng)即a=6，b=4時(shí)取“=”． ∴S△AOB的最小值為12，此時(shí)，l的方程為=1即2x＋3y－12=0． (2)由(1)知，=1∴a＋b=()(a＋b)=＋5≥2＋5=5＋2 當(dāng)即a=3＋，b=2＋時(shí)取“=”. ∴l(xiāng)在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值為5＋2， 此時(shí)l的方程為=1即2x＋y－2－6=0．

36、 或者設(shè)l的方程為y－2=k(x－3)(k＜0，令x=0，則y=－3k＋2令y=0， 則x=－＋3，∴a＋b=－－3k＋5≥2＋5當(dāng)且僅當(dāng)=3k．即k=－時(shí)取“=”. (3)由(2)知A(－＋3,0)，B(0,－3k＋2)∴|PA|·|PB|= ≥=12 (當(dāng)且僅當(dāng)k2=即k=－1時(shí)取“=”)此時(shí)l的方程為y－2=－(x－3)即x＋y－5=0． 13、解法一:(1)把y=2mx-8m-3代入圓C,得 (4m2+1)x2+2(-16m2+6m-3)x+(64m2-48m-7)=0. ∵Δ=64×(6m2+1)>0,∴l(xiāng)與C總相交. (2)設(shè)交點(diǎn)為A、B,由弦長(zhǎng)公式得|AB|=|

37、x1-x2|, 即|AB|=. 令,得4×(6-t)m2+3m+4-t=0. ∵m∈R,∴Δ=9-4×4(6-t)(4-t)≥0. 解得,t最小值為,此時(shí). ∴當(dāng)l被C截得的線段最小值為,此時(shí)l的方程為x+3y+5=0. 解法二:(1)圓心C(3,-6)到l的距離4(d2-1)m2+12m+d2-9=0,(*) ∵m∈R,∴Δ=122-4×4(d2-1)(d2-9)≥0. 解得0≤d≤d

38、方程知l過(guò)定點(diǎn)M(4,-3),而(4-3)2+ (-3+6)2=10<25, ∴M在圓內(nèi). ∴不論m取何實(shí)數(shù),l與C都相交. (2)由幾何知識(shí)知當(dāng)l被C截得線段中點(diǎn)為M時(shí),弦心距最大而弦長(zhǎng)最短,此時(shí)MC與l垂直. ∴MC斜率為. ∴l(xiāng)斜率為,即m. 此時(shí)l的方程為x+3y+5=0. 14、解：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1， 它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圓的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。 設(shè)光線L所在直線方程是：y－3＝k(x＋3)。 由題設(shè)知對(duì)稱(chēng)圓的圓心C′（2，－2）到這條直線的距離等于1，即． 整理得 解得． 故所求的直線方程是，或， 即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．