全等三角形全套練習題

全等三角形全套練習題 全等三角形 一、全等三角形 1、 定 義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。 特征：形狀相同、大小相等、完全重合。 一個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形。 平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。 2、 全 等三角形的表示： “全等”用“今”表示，“s ”表示兩圖形的形狀相 同 ,“ = ”表示大小相等，讀作“全等于”。 注意：記兩三角形全等時，通常把表示對應頂點的字 母寫在對應位置上。 全等三角形的對應元素：對應頂點，對應邊，對應角 3、 全 等三角形的性質(zhì) (1) 全等三角形的對應邊相等、對應角相等。 (2) 全等三角形的周長相等、面積相等。 (3) 全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高 線分別相等。 4、全等三角形的判定 (1)邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫 成 “SSS (2)邊角邊：兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全 等(可簡寫成“SA6) (3)角邊角：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形 全等 ( 可簡寫成“ASA”) (4) 角角邊：兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三 角形全等 ( 可簡寫成“AAS”) (5) 斜邊、直角邊：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個 直角三角形全等( 可簡寫成 “ HL”) 5、證明兩個三角形全等的基本思路： 找第三邊 (SSS) 找夾角( 匹) 找是否有直角 (HL) (1): 已知兩邊一找這邊的另一個鄰角亦 ) 已知一邊和它的鄰角 找這個角的另一個邊邁找這邊的對角 (AAS) (2) ： 已知一邊一角? 已知一邊和它的對角 . 找一角吐 ) 已知角是直角，找一邊(HL) ⑶ : 已知兩角 4 找兩角的夾邊驅(qū)) - 找夾邊外的任意邊吐) 二、 角的平分線 1、 ( 性質(zhì)) 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。 2、 ( 判定) 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平 分線上。 三、 學習全等三角形應注意的問題 (1) 要正確區(qū)分“對應邊”與“對邊”，“對應角”與 “對 角”的不同含義； (2) 表示兩個三角形全等時，表示對應頂點的字母要寫 在對應的位置上； (3) “有三個角對應相等”或“有兩邊及其中一邊的對角 對應相等”的兩個三角形不一定全等； (4) 時刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共 邊”、“對頂角”。 （一）三角形全等的判定一 （SSS） 1?如圖，AB=AD, CB = CD ? AADC全等嗎？為什么？ 2?如圖， C 是 AB 的中點，AD=CE, CD=BE. 求證△ ACDAACBE. 3 ?如圖，點 B, E, C, F在一條直線上，AB=DE, AC=DF, BE=CF?求證 ZA 二 ZD? 4?已知，如圖， AB=AD, DC=CB ?求證：ZB=ZD. 5?如圖， AD = BC, AB = DC, DELBE 求證：BE = DF. （二）三角形全等的判定二（SAS） 1 .如圖，AC和BD相交于點O, OA=OC, OB=OD ?求證 DC 〃 AB ? 2 .如圖，A'AC , AD f A!D'分別是 MBC, △的對A!B'C 應邊上的中線，AD與仞有什么另W系？ 礴你的 結論.? / \_/ '" 3 .如圖，已知 AC LAB, DB ± AB, AC=BE, AE=BD,試 猜想線段CE與DE的大小與位置喉，磬明你 的結論. 4 .已知：如圖，AD 〃 BC, AD=CB,求證：AADCAA CBA 5 .已知：如圖 AD/7BC, AD=CB, AE=CF。求證：△ AFDAACEB ? 6 .已知，如圖，AB=AC, AD=AE, Z1 菸鄉(xiāng)斗求證：△ ABD 竺^ A CE ? 7 .已知：如圖，點 B、E、C、F在同一直線上，AB 〃 DE,且 AB 二 DE, BE=CF.求證：AC 〃 DF? 8 .已知：如圖，AD是BC上的中 DF=DE?求證：BE 〃 CF. 9 .如圖，在A ABC中，分別延長中線 BE、CD至F、H, 使 EF=BE, DH=CD,連結 AF、AH? 求證：(1) AF=AH ； (2)點A、F、H三點在同一直線 (3)上； HF 〃 BC ? 10?如圖，在么ABC中，AC，BC, AC=BC,直線EF交 AC于F,交AB于E,交BC的延長線劉弋連結 AD、 BF, CF=CD. 求證： BF=AD, BC I) 11? 證明：如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線 對應相等，那么這兩個三角形全等 .（ 提示：首先分清已 知和求證，然后畫出圖形，再結合圖形用數(shù)學符號表示已 知和求證 ） 12.證明：如果兩個三角形有兩條邊和第三邊上的中線對 . 13?已知：如圖，正方形ABCD, BE=CF, A 求證： (1)AE=BF ； (2) AE ± BF? R 15?如圖，AABD和A ACE是么ABC外兩個等腰直角 三角形，ZBAD=ZCAE=90 . (1)判斷CD與BE有怎樣的數(shù)量關芽。 (2)探索DC與BE的夾角的大??； (3)取BC的中點M,連MA,探討〕關系？ 13 （三）（四） 三角形全等的判定三、四 （ASA、AAS） 1 .如圖，點B, F, C, E在一條直線上，F(xiàn)B=CE, AB 〃 ED, AC 〃 FD?求證 AB 二 DE, AC=DF ? 2 .如圖，ZACB=90 , AC=BC, BE JL CE, AD ± CE 于 D, AD=2.5cm, DE=1.7cm. 求BE的長. 3?已知，。是么ABC的邊AB士的一點，DE交AC于 點 E, DE=FE, FC 〃 AB. 求證：AE=CE ? 4 .已知：如圖，四邊形 ABCD中，AB 〃 CD, AD/7BC ?求 證：AABDAACDB. 5 .如圖，在 AABC 中，AC，BC, CE iAB 于 E, AF A 平分ZCAB交CE于點F,過F作AB于 點D.求證： AC=AD. 16 6 .如圖，AD 〃 BC, AB 〃 DC, MN = PQ.求證：DE = BE. 7 .如圖，在 ABC中，ZA=90° , BD平分 B, DE坦C于 E,且 BE=EC? ⑴求ZABC與ZC的度數(shù); ⑵求證：BC=2AB. 8 .如圖，四邊形 ABCD中，AD//BC, E是CD 士一點, 且AE、BE分別平分ZBAD、ZABC. (1)求證：AE ± BE； (2)求證：E是CD的中點；.. /I IkiXf (3)求證：AD+BC=AB.\\ 9 .已知，如圖 RtAABC, ZBAC=90° , AD ± BC, D 為 垂 足， ZABD 的平分線交 AD 于 E 點， EF 證 : AE=EF. 19 10? AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90 , AB=AC. (1)若D為BC的中點，過D作DM，DN分別交AB、 AC 于 M、N,求證：DM=DN ? BDC (2)若DM ± DN分別和BA、AC延長線交于 M、N.問 DM和DN有何數(shù)量關系？ 11?已知：C點的坐標為(4, 4), A為y軸負半軸上一 動 點，連CA, CB，CA交x軸于B? (1)求證：CA = CB； (2)問OB — OA是否為定值，是定值并抵埠! 12.已知 A (-4, 0), B (0, 4), C (0, -4)，過 O 作 OM ± ON 分別交AB、AC于M、N兩點。 (1)求證：OM=ON ； (2)連MN, MN交x軸于Q,若M點的縱坐標為3, 求M與N的坐標。 22 （五）三角形全等的判定五（HL） 是高？求證: 1.如圖,ZkABC 中，AB=AC, AD (1)BD=CD ； (2)ZBAD=ZCAD. 2?如圖，AC ± CB, DB ± CB, AB DC.求證：ZABD=ZACD ? 3?已知：如圖，AB = CD, DE ± AC, I AC ： E, F 是垂足， DE = BF? 4?如圖，AD 平分 ZBAC, DE，AB 于 E, DF，AC 于 F, 且 DB=DC,求證：EB=FC 5.如圖，在Z\ABC中，D是BC的中點，DE LAB, DF ± AC,垂足分別是E, F, BE=CF ?求證：AD是 AABC的角平分線.A 25 2.如圖，OC是ZAOB的平分線, "包cc汁肚一點，PD （六）角的平分線的性質(zhì) 1.如圖,CD ± AB, BE，AC,垂足分別為 D, E, BE, CD相交于點O, OB=OC ? 求證Z1=Z2. ，OA 交 OA 于 D, PE，OB ）匕廠 c 查 OC 上的另一點，連接 DF, EF.求 3?如圖，在 AABC中，D是BC的中點，DE，AB/ DF ，AC,垂足分別是 E, F, BE=CF./K 求證：人。是A ABC的角平分線. 4.如圖，在 ABC 中，ZA=90° , BD 平分 B, DE ± BC 于 E,且 BE=EC? (1)求ZABC與ZC的度數(shù)；入 (2)求證：BC=2AB? (七)倍長中線法與截長補短法 1 .在么ABC中，AB=5, AC=3, AD 為BC邊的中線, 則AD的長(的取值范圍是( A.l< f<4B.3<(<5C.2V( <3 D? 0vv5 2 . AD MAABC 中 BC 邊上的中線，AB=4,AC=6,則 AD的取值范圍是 3?如圖，AABD和A ACE是A ABC外兩 個等腰直角三角形，ZBAD=ZCAE=90 . (1)判斷CD與BE有怎樣的數(shù)量關系 (2)探索DC與BE的夾角的大??； (3)取BC的中點M,連MA,探討MA與DE的位 置關系？ 4 .如圖，四邊形 ABCD中，AD〃BC, E是CD 土一點，且 AE、BE 分別平分 ZBAD、ZABC ? (1)求證：AE±BE； (2)求證：E是CD的中點; (3)求證：AD+BC=AB. E分別在 5 .如圖△ ABC 中，ZA=50° , AB>AC, D、 AB、AC 上，且 BD=CE,ZBCD= ZCBE, BE、CD相交于O點，求ZBOC的 度數(shù). 令叔維；轉扁羸磁胡碼滋離隹帶邊匕 7.已知：如圖，在么 ABC 中，ZA=90° , AB=AC, Zl= Z2,求證:BC=AB+AD ? （分別用截長法和補短法各證一次） 8.已知，如圖，在正方形 ABCD中AB二AD, ZB = ZD=90° . ⑴如果BE+DF=EF,求證： ①ZEAF=45 ;②FA平分Z DFE (2)如果 ZEAF=45° ,求證 : ① BE+DF=EF ? ② FA 平分 Z DFE? (3)如果點F 在 DC 的延長線上，點 E 在 CB 的延長線 上，且 DF-BE=EF,求證：① ZEAF=45 ； @FA 平分 DFE. (畫圖并證明 ) (A)全等三角形檢測 一、選擇題： 1 ?在 AABC、ADEF 中如果 ZC=ZD, ZB=ZE, ABCAAFED,還需要的條件是() A? AB=ED D.ZA=ZF B.AB=FD 要使△ C.AC=FD 2?如圖： AB/7CD, AD 〃 BC, AC、 BD 交于點 6 AE，BD 于 E, CF ± BD 于F點，那么圖中全等三角形共有 () A.5對B.6對 D.8對 3?如圖，D在AB上，E在AC上且 ZB=ZC,那么補充下列一 個條件后， 仍無法判定AABE AAACD的是() A.AD=AE B. Z AEB= Z ADC D.AB=AC C.7對 C.BE=CD 4?如圖：某同學把一塊三角形玻璃打碎成 了三塊,現(xiàn)有要到玻璃店去配一塊完全 一樣的玻璃，那么最省事的辦法是 A?帶①去B.帶②去 C.帶③去D.帶①和②去 5.下列說法中，正確的個數(shù)是。 ①兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全 等；②兩角及第三角的平分線對應相等的兩個三角形全 等；③兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全 等；④有兩邊相等的直角三角形全等；⑤腰和一個角分 別對應相等的兩等腰三角形全等。 A.1 個 B.2 個 C? 3 個 D.4 個 6?在4 ABC 中， AB=5, AC=3, AD 為BC邊的中線，則 AD的長，的取值范圍是 )? (B.3< <5 A? lv <4C.2V D.OvV 7?下列四個命題：①直角三角形只有一條高線；②有兩 邊 對應相等的兩個直角三角形一定全等；③兩內(nèi)角之 差等 于第三個內(nèi)角的三角形必為直角三角形；④腰和底角對 應相等的兩個等腰三角形一定全等？其中正確的命題有 (). B.2 個 C.3個 A.1 個 D? 4個8 ?等腰三角形周長為 ,一腰的中線將周長分成 5:3兩部分, 則它的底邊長為（）? B.q 9 D.匕 5 9?下列條件中，能判斷兩個等腰三角形全等的條件的個 是0 ?數(shù) ①頂角和一條腰對應相等； 對應相等； ③頂角和底邊對應相等； ②一條腰覲底邊 E ④兩簪 對應相等. A.1個 B.2個 C.3個 D? 4個 10?已知：如圖，BD為A ABC 的角平分線，且BD=BC, E為 BD延長線上的一點，BE=BA, 過E作EF，AB, F為垂足.下 列結論：①么ABD竺正BC； ? Z BCE+ Z BCD=180 ° ;③ AD=AE=EC ；④ BA+BC=2BF. 其中正確的是（）. A.①②③B?①③④C ?? D.5個 BC ± DC ②④ D ?D②③④ 11 ?如圖：已知 AD ± AB, AE ± AC, AD=AB, AE=AC 貝！ J下列結論： ?ZDAC=ZBAE ； ?ADACAABAE ；③ DC， BE；④MA平分ZDME ；⑤ ABMCAACEA ；正確個數(shù)是 () 12 ?如圖 P是等腰RtAABC 斜邊AC 上任意一點，PE，AB于E, PF ，BC 于 F, PG，EF 于 G,在 GP 的延長線上取一點 D,使PD二 PB,則BC與DC關系是 () A.BC=DCB.BC=DC,且 C.BC>DC D.BC1DC 二.填空題： 13. AD 是ABC 中 BC 邊上的中線，AB=4, AC=6, 則AD的取值范圍是 14?如圖△ ABC 中，ZA=50° , AB>AC, D、E 分別在 AB、AC 上，且 BD=CE, ZBCD=ZCBE, BE、CD相交于。點，貝U ZBOC的度數(shù) 為 . 15?已知：如圖，點 A在線段DE上, 線段AB上，且Z1=Z2=Z3,要使得△ ABCAAEDC,需要添加的一個條件是 （只需寫出一個滿足的條件） 16.已知△ ABC中，高AD與高BE交于H點, BH=AC ,貝U Z ABC的度數(shù)等 于 Z5=Z6,貝U Z 17?如圖，Z1= Z2=25° , Z3=Z4, 7= 1&有一張等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點出發(fā) 將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂 角為度. 19?如圖，已知：AB=AC, 三？解答題： AD=AE, ZBAC=ZDAE ? 求證：AABDAAACE. 20 .如圖，AB=AD, BC=DE, Z1 = Z2. 求證：(1) AC=AE ; (2) ZCAE=ZCDE ? 21 .已知在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是 AD±的一點，且BE=AC,延長BE交AC于F? 求證：AF=EF. 22 .如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分ZBAD,過C 作 CE，AB 于 E,并且 AE=4 (AB+AD) ? D E B (1)求證：BC=DC； (2)求 ZABC+ZADC 的度數(shù). 23 .如圖，AABE和AACF分別是以么 ABC的AB、AC 為一邊在形外所作的等邊三角形，BF與CE相交于O. ①求證：BF=EC.②求ZEOB的度數(shù).③求證：OA 平分ZEOF.