空間解析幾何-第4章二次曲面的一般理論.ppt

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1、第四章 二次曲面的一般理論 一、平面二次曲線 4.8平面二次曲線 4.8.1 二次曲線方程的化簡與分類 00 ; , ; , ; , ( , ) , , ; , ;, O i j O i j o o o O i j x y i i j j O i j O i j o 標 架 的 原 點 不 同 中 的 坐 標 為 但 兩 標 架 的 坐 標 基 向 量 相 同 ， 即 有 那 么 標 架 可 以 看 成 是 由 標 架 將 原 點 平 移 到 點 而 得 來 的 這 種 坐 標 變 換 叫 做 移 軸 （ 坐

2、標 平 移 ） 和 與 ， 在 1.移軸 0 0 x x x y y y O O y y x xx P y( ), 0 0 i j i j ; , ; , ( , ) ( , ) P O i j O i j x y x y 設 是 平 面 內(nèi) 任 意 一 點 ， 它 對 標 架 的 坐 標 分 別 為 則 有 和 與 ， 2轉軸 ; , ; , ( ) ;, ; , ; , O i j O i j OO ii O i j O O i j O i j 若 兩 個 標 架 的 原 點 相 同 ， 即 但 坐 標 基 向 量 不

3、 同 ， 且 有 則 標 架 可 以 看 成 是 由 標 架 繞 點 旋 轉 角 而 得 來 的 , 這 種 由 標 架 到 標 架 的 坐 標 變 換 叫 做 轉 軸 （ 坐 標 旋 轉 ） 和 ， ， ， x y x y O i j ij P c o s sin sin c o s x x y y x y ( 為坐標軸的旋轉角 ) 3.平面直角一般坐標變換 為轉軸公式，其中 為坐標軸的旋轉角 . 0 0 c o s sin sin c o s x x y x y x y y 00 00 c o s sin ( c o s sin ) sin

4、c o s ( sin c o s ) x x y x y y x y x y 或 4.二次曲線方程的化簡和分類 定理 5.6.1 適當選取坐標系，二次曲線的方程 總可以化成下列三個簡化方程中的一個： 22 11 22 33 11 22 2 22 13 22 13 2 22 33 22 ( ) 0 , 0 ; ( ) 2 0 , 0 ; ( ) 0 , 0. I a x a y a a a I I a y a x a a I I I a y a a 定理 5.6.2 通過適當選取坐標系，二次曲線 的方程總可以

5、寫成下面九種標準方程的一種形式： 22 22 1 1 ( ) xy ab 橢 圓 22 22 2 1 ( ) xy ab 虛 橢 圓 22 22 3 1 ( ) xy ab 雙 曲 線 22 22 4 0 ( ) xy ab 點 或 相 交 于 實 點 的 共 軛 虛 直 線 22 22 5 0 ( ) xy ab 兩 相 交 直 線 2 6 2 ( )y p x 拋 物 線 22 7 ( )ya 兩 平 行 直 線 22 8 ( )ya 兩 平 行 共 軛 虛 直 線 2 9 0 ( )y 兩 重 合 直 線 例 1 已知兩垂直的直線

6、 與 ，取 為 軸， 為 軸，求坐標變換公式 。 1 : 2 3 0l x y 2 : 2 3 0l x y 1l 2l Ox Oy 例 3 化簡二次曲線方程 并畫出它的圖形 225 4 2 2 4 1 2 1 8 0 x x y y x y 例 2 化簡二次曲線方程 ， 并畫出它的圖形 224 4 1 2 1 0 x x y y x y 4.8.2 二次曲線與直線的相關位 置 注： 1. 不全為零； 由二元二次方程 所表示的曲線

7、叫做二次曲線 (quadratic curve). 221 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 32 2 2 0a x a x y a y a x a y a 2.方程中系數(shù)的規(guī)律 :下標“ 1” 代表“ x” ， 下標“ 2” 代表“ y” ，交叉項前有 2. 1 1 1 2 1 3,,a a a 二次曲線的概念 221 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 3( , ) 2 2 2F x y a x a x y a y a x a y a 1 1 1 1 2 1 3( , )F x y a x a y a 2 1 2 2 2 2 3( , )F x y a

8、 x a y a 3 1 3 2 3 3 3( , )F x y a x a y a 221 1 1 2 2 2( , ) 2x y a x a x y a y 11 12 13 12 22 23 13 23 33 a a a A a a a a a a 11 12* 12 22 aa A aa 二次曲線的有關記號 1 1 1 2 2I a a 11 12 2 12 22 aa I aa 11 12 13 3 12 22 23 13 23 33 a a a I a a a a a a 11 13 22 23 1 13 33 23 33 a a a a K a

9、a a a 例 寫出二次曲線的矩陣 A 的幾種常用符號 22 2211 xy ab 222 2 6 7 4 0 x x y y x y 221 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 3( , ) 2 2 2F x y a x a x y a y a x a y a 討論二次曲線 與直線 0 0 x x X t y y Y t 的交點，可以采用把直線方程（ 2）代入曲線方 程（ 1）然后討論關于 t的方程 . （ 1） （ 2） 二次曲線與直線的相關位置 2 2 21 1 1 2 2 2 1 1 0 1 2 0 1 3 1 2 0 2 2

10、 0 2 3 22 1 1 0 1 2 0 0 2 2 0 1 3 0 2 3 0 3 3 ( 2 ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 ) 0 ( 3 ) a X a X Y a Y t a x a y a X a x a y a Y t a x a x y a y a x a y a 2 1 0 0 2 0 0 0 0( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( 4 )X Y t F x y X F x y Y t F x y ( , ) 0XY若 ， （ 4 ） 是 關 于 t 的 二 次 方 程 。 21 0 0 2 0

11、 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )F x y X F x y Y X Y F x y 121 0 . ( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) . tt 方 程 有 兩 個 不 等 的 實 根 與 ， 代 入 得 直 線 與 二 次 曲 線 的 兩 個 不 同 的 實 交 點 122 0 . ( 4 ) ( 2 ) ( 1 ) . tt 方 程 有 兩 個 相 等 的 實 根 與 ， 直 線 與 二 次 曲 線 有 兩 個 相 互 重 合 的 實 交 點 3 0. ( 4) ( 2) . 方 程 有 兩 個 共 軛 的 虛 根 ， 直 線 與 二

12、次 曲 線 交 于 兩 個 共 軛 的 虛 點 2 . ( , ) 0XY ， 這 時 又 可 分 三 種 情 況 ： 1 0 0 2 0 01 ( , ) ( , ) 0 . ( 4 ) , ( 2 ) ( 1 ) . F x y X F x y Y t 此 時 是 關 于 的 一 次 方 程 直 線 與 二 次 曲 線 有 唯 一 實 交 點 1 0 0 2 0 0 0 02 ( , ) ( , ) 0. ( , ) 0. ( 4) , ( 2) ( 1 ) . F x y X F x y Y F x y 而 是 矛 盾 方 程 直 線 與 二 次 曲 線 無 交 點 1 0

13、0 2 0 0 0 03 ( , ) ( , ) ( , ) 0 . ( 4 ) , ( 2 ) ( 1 ) . F x y X F x y Y F x y 此 時 是 恒 等 式 直 線 全 部 在 二 次 曲 線 上 4.8.3 二次曲線的漸近方向、中心、漸近 線 1.二次曲線的漸近方向 定義 5.2.1滿足條件 (X,Y)=0的方向 X:Y叫做二次曲線的 漸近方向 (asymptotic direction)，否則叫做 非漸近方向 (nonasymptotic direction). 定義 5.2.2 沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型曲線 (elliptic

14、 quadratic curve)， 有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物型曲線 (parabolic quadratic curve)， 有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲型曲線 (hyperbolic quadratic curve). 橢圓型曲線： 拋物型曲線 : 雙曲型曲線： 11 12 2 21 22 11 12 2 21 22 11 12 2 21 22 0 0 0 aa I aa aa I aa aa I aa 2. 二次曲線的中心與漸近線 定義 5.2.3 如果點 C是二次曲線的通過它的所 有弦的中點 (C是二次曲線的對稱中心 )，那么點 C 叫做二次曲

15、線的中心 (central point). 定理 5.2.1 點 C(x0 ,y0)是二次曲線 (1)的中心， 其充要條件是 ： 1 0 0 11 0 12 0 13 2 0 0 12 0 22 0 23 ( , ) 0 ( , ) 0 F x y a x a y a F x y a x a y a 推論 坐標原點是二次曲線的中心，其充要條 件是曲線方程里不含 x與 y的一次項 . 二次曲線 (1)的的中心坐標由下方程組決定： 1 11 12 13 2 12 22 23 ( , ) 0 ( * ) ( , ) 0 F x y a x a y a F x y

16、a x a y a 如果 I20 ，則 (*)有唯一解，即為唯一中心坐標 如果 I2 0，分兩種情況： 1311 12 12 22 23 ( * ) .aaaa a a當 時 ， 無 解 ， 沒 有 中 心 1311 12 12 22 23 ( * ) . aaa a a a 當 時 ， 無 數(shù) 多 解 ， 直 線 上 所 有 點 都 是 二 次 曲 線 的 中 心 ， 這 條 直 線 叫 中 心 直 線 定義 5.2.4 有唯一中心的二次曲線叫 中心二次曲線 (central conic)， 沒有中心的二次曲線叫 無心二次曲線 (noncentral

17、 conic)， 有一條中心直線的二次曲線叫 線心二次曲線 (line central conic)， 無心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為 非中心二次曲線 (non-central conic). 定義 5.2.5 通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的 直線叫做二次曲線的漸近線 (asymptotic line). 定理 5.2.2 二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點，或 者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分 . 4.8.4 二次曲線的切線 定義 5.3.1 如果直線與二次曲線相交于相互重 合的兩個點，那么這條直線就叫做二次曲線的 切線 (

18、tangent)，這個重合的交點叫做 切點 (tangent point)，如果直線全部在二次曲線上，我們也稱它 為二次曲線的 切線 ，直線上的每個點都可以看作切 點 . 定義 5.3.2 二次曲線 (1)上滿足條件 F1(x0,y0)= F2(x0,y0)=0的點 (x0,y0)叫做二次曲線的 奇異點 (singular point)，簡稱奇點；二次曲線的非奇異 點叫做二次曲線的 正常點 (proper point). 定理 5.3.1 如果 (x0,y0)是二次曲線 (1)的正常點， 那么通過 (x0,y0)的切線方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2

19、(x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切 點 . 如果 (x0,y0)是二次曲線 (1)的奇異點，那么通過 (x0,y0)的切線不確定，或者說過點 (x0,y0)的每一條直線 都是二次曲線 (1)的切線 . 推論 如果 (x0,y0)是二次曲線 (1)的正常點， 那么通過 (x0,y0)的切線方程是： 1 1 0 1 2 0 0 2 2 0 1 3 0 2 3 0 3 3 () ( ) ( ) 0 a x x a x y x y a y y a x x a y y a 證明： 設 M0 (x0， y0) 是二次曲線（ 1)上的任一點，則過 M0的直線 l的方

20、程總可以寫成下面的形式： 0 0 x x X t y y Y t 當 ( X, Y ) 0時，必須使判別式 21 0 0 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0X F x y Y F x y X Y F x y 1 0 0 2 0 0( , ) ( , ) 0X F x y Y F x y 在二次曲線上， ，上式變?yōu)?0 0 0( , )M x y 00( , ) 0F x y ) 2 0 0 1 0 0: ( , ) : ( , ) X Y F x y F x y 因此過二次曲線上的點 的切

21、線方程為 0 2 0 0 0 1 0 0 ( , ) ( , ) x x F x y t y y F x y t 00 2 0 0 1 0 0( , ) ( , ) x x y y F x y F x y 0 1 0 0 0 2 0 0( ) ( , ) ( ) ( , ) 0 x x F x y y y F x y 即： 0 0 0( , )M x y 例 1 求二次曲線 x2-xy+y2+2x-4y-3=0在點 (2,1) 的切線方程 例 2 求二次曲線 通過點 (2,1) 的切線方程 22 10 x x y y 解： 設切點為 00(

22、 , )xy ，則切線方程為： 0 0 0 0 1 ( ) 1 0 2 x x x y x y y y ， 且 00 2 1 0 xy ， 22 0 0 0 0 10 x x y y 解得 0 0 1 0 x y 與 0 0 1 1 x y ， 切線方程為： 2 2 0 xy 與 20 xy 。 4.8.5 二次曲線的直徑 一 .二次曲線的直徑 定理 5.4.1 二次曲線的一族平行弦的中點軌 跡是

23、一條直線 . 0 0 x x X t y y Y t 2 1 0 0 2 0 0 0 0( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0X Y t X F x y Y F x y t F x y 由條件可得： 1 0 0 2 0 0( , ) ( , ) 0X F x y Y F x y 12 0tt 證明： 設 是二次曲線的一個非漸近方向，即 而 是平行于方向 的弦的中點，過 的 弦為 ( , ) 0 xy 00( , )xy :XY :XY 00( , )xy 12( , ) ( ,

24、) 0X F x y Y F x y 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 2 3( ) ( ) 0a X a Y x a X a Y y a X a Y （ 1） 這說明平行于方向 的弦的中點 的坐標滿 足方程 :XY 00( , )xy 反過來，如果點 滿足方程（ 1），那么方程（ 2） 將有絕對值相等而符號相反的兩個根，點 就是 具有方向 的弦的中點，因此方程（ 1）為一族平行 于某一非漸近方向 的弦的中點軌跡的方程 00( , )xy 00( , )xy :XY :XY 推論 二次曲線的一族平行

25、弦的斜率為 k， 那么共軛于這族平行弦直徑方程為 F1(x,y)+kF2(x,y)=0 定理 5.4.2 中心二次曲線的直徑通過曲線的中心，無心二次 曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲 線的直徑只有一條，即曲線的中心直線 定義 5.4.1 二次曲線的平行弦中點軌跡叫做 這個二次曲線的 直徑 (diameter)，它所對應的平 行弦，叫做共軛于這條直徑的 共軛弦 (conjugate chords)；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直 徑 . （ a）中心曲線，直 徑是中心直線束 （ b）無心曲線， 直徑是平行直線 束 （ c）線心曲線，直 徑是一條直線

26、 例 1 求橢圓或雙曲線 22 22 1 xy ab 的直徑 解 22 22( , ) 1 0 xyF x y ab 1 2( , ) xF x y a 2 2( , ) yF x y b 所以共軛于非漸近方向 X Y的直徑方程是 22 0 XYxy ab 例 2 求拋物線 2 2y px 的直徑 解 2( , ) 2 0F x y p x y 共軛于非漸近方向 X Y的直徑為 Xyp Y 1 ( , )F x y p 2 ( , )F x y y 0X p Y y 即： 例 3 求二次曲線 的共軛于非漸近方

27、向 X Y的直徑 22( , ) 2 2 2 3 0F x y x x y y x y 解： 直徑方程為 1 2 ( , ) 1 ( , ) 1 F x y x y F x y x y ( 1 ) ( 1 ) 0 ) ( 1 ) 0 X x y Y x y X Y x y 即 ： （ 又因為 X： Y1 所以直徑方程為： x-y+1=0 二 .共軛方向與共軛直徑 中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍 然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形 是漸近方向 . 12 11 12 13 12 22 23 11 12 12 22

28、 13 23 12 22 11 12 ( , ) ( , ) 0 ( y ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 () : () XF x y Y F x y X a x a a Y a x a y a a X a Y x a X a Y y a X a Y a X a Y XY a X a Y 即 二次曲線的與非漸近方向 X Y共軛的直徑方程總可以寫成 （ 5.4 1）的形式，而（ 5.4 1）的方向是 :XY 我們稱這個方向為非漸近方向 X Y的共軛方向 22 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2

29、 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ( , ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( , ) X Y a a X a Y a a X a Y a X a Y a a X a Y a a a a X a X Y a Y I X Y 因此有 5.4.3 中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸 近方向，而非中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向是漸近 方向 12 22 11 12 11 12 22 () : () : ( ) 0 :: :: :: a X a Y XY a X a Y XY a XX a XY X Y

30、 a Y Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 由 ， 得 二 次 曲 線 的 非 漸 近 方 向 X:Y 與 它 的 共 軛 方 向 之 間 的 關 系 是 兩 個 方 向 與 是 對 稱 的 。 因 此 ， 對 于 中 心 二 次 曲 線 來 說 ， 非 漸 近 方 向 的 共 軛 方 向 為 非 漸 近 方 向 ， 而 非 漸 近 方 向 的 共 軛 方 向 為 。 定義 5.4.2 中心曲線的一對具有相互共軛 方向的直徑叫做一對共軛直徑 (conjugate diameters). 11 12 22 22 12 11 ,, ( ) 0

31、 ( ) 0 YY KK XX a XX a XY X Y a Y Y a K K a K K a 設 代 入 得 這 是 一 對 共 軛 直 徑 的 斜 率 滿 足 的 關 系 式 。 22 22 22 2 2 1 11 0 xy KK ab KK ba b KK a 例 如 ： 橢 圓 的 一 對 共 軛 直 徑 的 斜 率 與 有 關 系 即 22 22 22 2 2 1 11 0 xy KK ab KK ba b KK a 雙 曲 線 的 一 對 共 軛 直 徑 的 斜 率 與 有 關 系 - 即 k k x y O l l x y k

32、 k Ol l 橢圓的一對共軛直徑 雙曲線的一對共軛直徑 11 12 22 22 11 12 22 ( ) 0 20 a XX a XY X Y a Y Y X Y X Y a X a XY a Y XY 在 中 ， 如 果 設 ： ： 那 么 有 ， 顯 然 ， 此 時 ， ： 為 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 ， 因 此 ， 如 果 對 二 次 曲 線 的 共 軛 方 向 作 代 數(shù) 推 廣 ， 那 么 漸 近 方 向 可 以 看 成 自 共 軛 方 向 ， 從 而 漸 近 線 也 就 可 以 看 成 與 自 己 共 軛 的 直 徑 。 4.8.6 二次曲

33、線的主直徑和主方向 我們也可以定義二次曲線的主方向為一對既正交、 又共軛的方向 . 顯然，主直徑是二次曲線的對稱軸，因此主直徑 也叫做二次曲線的軸，軸與曲線的交點叫做曲線的頂 點 定義 5.5.1 二次曲線的垂直于其共軛弦的直 徑叫做二次曲線的 主直徑 (principal diameter)， 主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次 曲線的 主方向 (principal direction). 現(xiàn)在我們來求二次曲線 F(x， y) (1) 的主方向與主直徑 如果二次曲線（ 1）為中心曲線，那么與二次 曲線（ 1）

34、的非漸近方向 X Y共軛的直徑為 （ 5.4 1）或（ 5.4 2）設直徑的方向為 X Y ，則由于兩方向共軛，有 X Y : 0222 33231322212211 ayaxayaxyaxa )( 2212 YaXa )( 1211 YaXa :: +0 X Y X Y X X Y Y XY YX 又 因 為 與 相 互 垂 直 ， 即 或 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 : ( ) : ( ) : ( ) : ( ) X Y a X a Y a X a Y X Y a X a Y a X a Y

35、 代 入 得 11 12 12 22 ( * ) a X a Y X a X a Y Y 11 12 12 22 0 ( 1 )aaaa X： Y成為中心曲線主方向的條件是 其中 滿足方程 即： 2 1 1 2 0 ( 2 )II 定理 5.5.1 二次曲線的特征根都是實數(shù) . 證 因為特征方程的判別式， 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 22 1 1 2 2 1 2 4 ( ) 4( ) ( ) 4 0 I I a a a a a a a a 所以二次曲線的特征根都是實數(shù) 。 定義 5.5.2 方程

36、 (1)或 (2)叫做二次曲線 的 特征方程 (characteristic direction)，特征方 程的根叫做二次曲線的 特征根 (characteristic root) ( , ) 0F x y 定理 5.5.2 二次曲線的特征根不能全為零。 證明：如果二次曲線的特征根全部為零， 由（ 2）得： 12 0II 21 1 2 2 1 1 2 2 1 20 , 0a a a a a 1 1 1 2 2 2 0a a a 即 與二次曲線的定義矛盾，所以二次曲線的特 征根不能全為零。 定理 5.5.3 由二次曲線（ 1）的特征根 確定的主方向 X

37、 Y， 當 0時，為二次曲線的 非漸近主方向 (nonasymptotic principal direction)； 當 0時，為二次曲線的 漸近主方向 (asymptotic principal direction) 證明： 22 11 12 22 11 12 12 22 ( , ) 2 ( ) ( ) X Y a X a XY a Y a X a Y X a X a Y Y 2 2 2 2( , ) ( )X Y X Y X Y 所以由（ *）得 ( , ) 0XY因 X、 Y不全為零，故當 0時， X Y為二次曲線（ 1）的非漸近主方

38、向； ( , ) 0XY當 0時， X Y為二次曲線 的漸近主方向 ( , ) 0F x y 定理 5.5.4 中心二次曲線至少有兩條主直徑， 非中心二次曲線只有一條主直徑 . 證 明 由二次曲線（ 1 ）的特征方程（ 5.6 2 ）解得兩特征根為 2 1 1 2 1 , 2 4 2 I I I 1 當二次曲線（ 1 ）為中心曲線時， I 2 0 如果特征方程的判別式 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 24 ( ) 4I I a a a 0 ，那么 11a 22a ， 12a 0 ，這時的 中心曲線為圓（包括點圓和虛圓），

39、它的特征根為一對二重根 a 11 a 22 ( 0) 把它代入（ 5. 6 1 ）或（ 5. 6 1 ） ，則得到兩個恒等式， 它被任何方向 X Y 所滿足，所以任何實方向都是圓的 非漸近主方向，從而通過圓心的任何直線不僅都是直徑， 而且都是圓的主直徑，于是圓有無數(shù)多條對稱軸如果 特征方程的判別式 22 1 1 2 2 1 2 ( ) 4a a a 0 ，那么特征 根為兩不等的非零實根 1 ， 2 ，將它們分別代入（ 5. 6 1 ） ， 得到相應的兩個非漸近主方向 X 1 : Y 1 a 12 : ( 1 a 11 ) ( 1 a 22 ) : a 12 (

40、 2) X 2 : Y 2 a 12 : ( 2 a 11 ) ( 2 a 22 ) : a 12 ( 3) 這兩個主方向是共軛的，現(xiàn)證明它們也是垂直的 由（ 2 ）和（ 3 ），存在非零實數(shù) t 使 X 1 ， Y 1 X 2 ， Y 2 a 12 t ， ( 1 a 11 ) t a 12 t ， ( 2 a 11 ) t 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1( ) ( )a t a a t 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( ) a a a t 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1a

41、 I I a a t 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) a a a a a a a a t 0 所以這兩個主方向也相互垂直，因此非圓的中心二次 曲線有且只有一對互相垂直又互相共軛的主直徑。 2 當二次曲線（ 1 ）為非中心曲線時， I 2 0 ，兩特征根為 1 11a 22a ， 2 0 所以它只有一個非漸近的主方向，即與 1 11a 22a 對應的 主方向，從而非中心二次曲線只有一條主直徑 例 1 求 的主直徑與主方向 . 22( , ) 1 0F x y x

42、 x y y 例 2 求 的主直徑與主方向 . 22( , ) 2 4 0F x y x x y y x 4.8.7 應用不變量化簡二次曲線的方程 1不變量與半不變量 221 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 3( , ) 2 2 2 0 ( 1 )F x y a x a x y a y a x a y a 二次曲線在任意給定的直角坐標系中的方程為 0 0 c os sin T: sin c os x x y x y x y y 33231322212211 222),( ayaxayayxaxayxF

43、上式左端變?yōu)?： 設在直角坐標變換 下 定義 5.7.1 11 12 33 11 12 33 ( , ) T ( , ) ( , ) ( , , ... ) ( , , ... ) , F x y f F x y F x y f a a a f a a a 由 的 系 數(shù) 組 成 的 一 個 非 常 數(shù) 函 數(shù) ， 如 果 經(jīng) 過 直 角 坐 標 變 換 ， 變 為 時 ， 有 那么這個函數(shù) f 叫做二次曲線（ 1）在直角坐標變 換 T 下的 不變量 (invariant)如果個函數(shù) f的值只是 經(jīng)過轉軸 變換不變，那么這個函數(shù)叫做二次曲線（ 1）在直 角坐標變換下

44、的 半不變量 (semi-invariant) 11 12 13 11 12 1 11 22 2 3 12 22 23 12 22 13 2 1 1 3 2 33 3 , . , . a a a aa I a a I I a a a aa I I I K a a a 571定 理 二 次 曲 線 （ 1 ） 在 直 角 坐 標 變 換 下 ， 有 三 個 不 變 量 ， ， ， 與 一 個 半 不 變 量 ： 11 13 22 23 1 13 33 23 33 a a a a K a a a a , 證 先證明在移軸（ 5 .7 1 ）下， I 1 ， I 2 ， I 3 不

45、變，而 K 1 一般要改變 由于在移軸下，二次曲線（ 1 ）的二次項系數(shù)不變，所以 1 ， 22 1 22 33 1 33 33 33 000 0 0 a K a a I a a a 11 12 13 3 12 22 23 13 23 33 a a a I a a a a a a 11 12 11 0 12 0 13 12 22 12 0 22 0 23 11 0 12 0 13 12 0 22 0 23 0 0 ( , ) a a a x a y a a a a x a y a a x a y a a x a y a F x y

46、 11 12 13 12 22 23 11 0 12 0 13 12 0 22 0 23 13 0 23 0 33 a a a a a a a x a y a a x a y a a x a y a 11 12 13 12 22 23 13 23 33 a a a a a a a a a 3 I K 1 在移軸下一般是要改變的，例如 F ( x ， y ) 2 xy ，它的 K 1 0 ，而通過移軸（ 5.7 1 ）， F ( x ， y ) 變?yōu)?0 0 0 0( , ) 2 2 2 2F x y x y y x x y x y ，而這時

47、00 22 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 () 22 yx K x y y x y x x y 0 故 1K K 1 現(xiàn)證明在轉軸（ 5.7 3 ）下， I 1 ， I 2 ， I 3 與 K 1 都不變對于 I 1 與 I 2 只要考慮方程的二次 項系數(shù)就夠了，根據(jù)（ 3 ），在轉軸下有： 22 11 11 12 22 22 22 11 12 22 22 12 22 11 12 c os 2 si n c os si n si n 2 si n c os c os ( ) si n c os ( c os si n ) a a a a

48、a a a a a a a a ( 4) 利用三角函數(shù)關系 2 1 c os 2 c os 2 ， 2 1 c o s 2 sin 2 ， sin 2 sin c o s 2 可將（ 4 ）化為： 11 22 11 22 11 12 11 22 11 22 22 12 22 11 12 12 c os 2 si n 2 22 c os 2 si n 2 22 si n 2 c os 2 2 a a a a aa a a a a aa aa aa

49、 ( 5) 故 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1I a a a a I 11 12 2 2 11 22 12 12 22 aa I a a a aa 222 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 c o s 2 sin 2 sin 2 c o s 2 2 2 2 a a a a a a aa 22 211 22 11 22 12 22 a a a a a 2 1 1 2 2 1 2 2a a a I 現(xiàn)

50、證 I 3 在轉軸下也不變因為 11 12 13 3 12 22 23 13 23 33 a a a I a a a a a a 12 13 13 11 11 12 13 23 33 22 23 23 12 12 22 a a a a aa a a a a a a a a a 而在轉軸下，已證得 11 12 2 12 22 aa I aa 不變，即 11 12 12 22 aa aa 11 12 12 22 aa aa ， 且在轉軸下二次曲線方程的常數(shù)項不變，所以又有 3 3 3 3aa ，因此 3I 12 13 13

51、 11 11 12 13 23 33 22 23 23 12 12 22 a a a a aa a a a a a a a a a 將（ 3 ）代入 12 13 22 23 aa aa ，化簡整理得 12 13 22 23 aa aa 12 22 11 12 13 23 13 23 c os sin a a a a a a a a 同理可得 13 11 23 12 aa aa 12 22 11 12 13 23 13 23 sin c os a a a a a a a a 12 22 11 12 3 13 13 23 13 23 12 22

52、11 12 11 12 23 33 13 23 13 23 12 22 12 22 11 12 11 12 13 23 13 23 33 13 23 13 23 12 22 c os si n si n c os ( c os si n ) ( si n c os ) a a a a Ia a a a a a a a a aa aa a a a a aa a a a a aa a a a a a a a a a aa 12 22 11 12 11 12 13 23 33 13 23 13 23 12 22 11 12 13 12 22 23

53、 13 23 33 3 a a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a a I 最后證明 K 1 在轉軸下也是不變的因為 K 1 11 13 22 23 13 33 23 33 a a a a a a a a 22 1 1 2 2 3 3 1 3 2 3( ) ( )a a a a a 而 1 1 1 2 2I a a 和二次曲線（ 1 ）的常數(shù)項 33a 在轉軸下都是不變的，由（ 3 ）中 13a 和 23a 的 表達式直接計算可得 2 2 2 2 1 3 2 3 1 3 2 3a a a a 所以 11 13

54、22 23 2 2 2 2 1 11 22 33 13 23 11 22 33 13 23 13 33 23 33 11 13 22 23 1 13 33 23 33 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a K a a a a a a a a a a a a a a a a a a K a a a a 證 首先證明當線心曲線的方程具有簡化方程 （ III ） 2 2 2 3 3 0a y a 時， K 1 在直角坐標變換下不變因 K 1 是半不變量，所以只要證明它在移軸下不變即可 在移軸（ 5.7 1 ）下，（ III

55、）的左端變?yōu)? 2 2 2 2 2 0 3 3 2 2 2 2 0 2 2 0 3 3 ( ) 2a y y a a y a y y a y a 此時 2 2 2 2 0 1 2 2 3 3 2 2 2 2 0 3 3 2 2 0 2 2 0 3 3 00 0 a a y K a a a y a a y a y a 而 22 1 22 33 33 33 000 0 0 a K a a a a 故 1 K 1 K 定理 5.9.2 當二次曲線（ 1）為線心曲線時， K1是直角坐標變 換下的不變量 其次，如果 F ( x ， y

56、) = 0 經(jīng)過移軸（ 5. 7 1 ）變成（ III ） ，則反過來（ III ）經(jīng)過 移軸（ 5 . 7 2 ）就變成 F ( x ， y ) = 0 ，所以當線心二次曲線通過移軸其方程能化 成（ III ）時， K 1 不變現(xiàn)設線心二次曲線 F ( x ， y ) = 0 經(jīng)過任意的直角坐標變換 t 變成 F ( x ， y ) = 0 ， 下面證明 K 1 K 1 因為 F ( x ， y ) = 0 為線心二次曲線，因此總存在直角坐標 變換 1 t 把 F ( x ， y ) = 0 變成（ I I I ）的左端，因此反過來也一定可以通過直角坐標變 換 1 1 t 把（ II

57、I ）的左端變成 F ( x ， y ) ，再通過坐標變換 t 把 F ( x ， y ) 變成 F ( x ， y ) ， 也就是存在一個直角坐標變換 1 21 t t t 把（ III ）的左端變成 F ( x ， y ) 因此，根據(jù)前面已證明的，當通過直角坐標變換 t 1 把 F ( x ， y ) = 0 變成（ III ） 的左端時 K 1 不變，所以有 K 1 1 K 而通過直角坐標變換 1 21 t t t 把（ III ）的左 端變?yōu)?F ( x ， y ) = 0 時，又有 1 K 1 K ，所以 1 K K 1 2應用不變量化簡二次曲線的方程

58、定理 5.9.3 如果二次曲線（ 1）是中心二次曲線，那 么它的簡化方程為 22 3 12 2 0Ixy I 其中 1， 2是二次曲線的特征方程的兩個根 . 命題 5.9.4 如果二次曲線（ 1）是無心曲線，那么它 的簡化方程為 這里根號前的正負號可以任意選取 . 2 3 1 1 20II y xI 定理 5.9.5 如果二次曲線（ 1）是線心曲線，那么它 的簡化方程為 01121 IKyI 2 1 1 1 0KIy I 定理 5.9.6 如果給出了二次曲線（ 1），那么用它的 不變量與半不變量來判斷已知曲線為何種曲線的條件是 ：

59、 1 橢圓： ； 2 虛橢圓： ； 2 1 30 , 0I I I 3 點橢圓（或稱一對交于實點的共軛虛直線）： 4 雙曲線： ； 230 , 0II 230 , 0II 2 1 30 , 0I I I 5 一對相交直線： ； 6 拋物線： ； 7 一對平行直線： ； 8 一對平行的虛直線： ； 9 一對重合的直線： 230 , 0II 11 13 22 23 1

60、13 33 23 33 a a a aK a a a a 2 3 10 , 0I I K 2 3 10 , 0I I K 2 3 10 , 0I I K 例 2 求二次曲線 的簡化方程與標 準方程 x y a 例 1 求二次曲線 的簡化方程與標準方程 226 6 2 1 0 x x y y x y 二、二次曲面 4.1 空間直角坐標變換 02222 22 4434241423 1312 2 33 2 22 2 11 =+++++ ++++ azayaxayza xzaxyazayaxa 一、 二次曲面

61、一些常見的記號 表示的曲面叫二次曲面 不全為零為實常數(shù)，且其中 231312332211 aaaaaaa ij ,,,,, 在空間中 ,由三元二次方程 0=+2+2+2+2+2+ 2+++),,( 443424142313 12 2 33 2 22 2 11 azayaxayzaxza xyazayaxazyxF 為了以后討論的方便，我們引進一些記號： 141312111 +++),,( azayaxazyxF 242322122 +++),,( azayaxazyxF 343323133 +++),,( azayaxazyxF 443424144 +++),,( azayaxazyx

62、F zayaxazyx 1312111 ++),,( zayaxazyx 2322122 ++),,( zayaxazyx 3323133 ++),,( yzaxzaxyazayaxazyx 231312233222211 2+2+2+++),,(記 zayaxazyx 3424144 ++),,( ),,(+),,(+ ),,(+),,(x),,( 43 21 zyxFzyxzF zyxyFzyxFzyxF則 ),,(+ ),,(+),,(x=),,( 3 21 zyxz zyxyzyxzyx = 332313 232212 131211 * aaa aaa aaa A = 44342414

63、 34332313 24232212 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A 的矩陣和分別稱為二次曲面 ),,(0),,( zyxzyxF = = z y x aaa aaa aaa zyxzyx 332313 232212 131211 )(),,( = 1 )1(),,( 44342414 34332313 24232212 14131211 z y x aaaa aaaa aaaa aaaa zyxzyxF 利用矩陣法可以寫成 坐標系是空間的兩個右手直角 及設 ,,;,,; kjiOkjiO == ),,( 000 zyxO 下的坐標是在點 ),,(),,,(),

64、,,( ,, 332313322212312111 ccccccccc kji 下的坐標分別為在 = 333231 232221 131211 ),,(),,( ccc ccc ccc kjikji則 的過度矩陣到稱為從其中矩陣 )( ijcT = 二、直角坐標變換 ),,(),,( zyxzyxP ，下坐標分別是和在任一點 )()( 000 kzjyixkzjyixPOOOOP +++++=+= )()( )()( 332313322212 312111000 kcjciczkcjcicy kcjcicxkzjyix ++++++ +++++= kzcycxczjzcyc xcyizcyc

65、xcx )() ()( 33323102322 2101312110 從而有： zcycxczz zcycxcyy zcycxcxx 3332310 2322210 1312110 TTT zyxxzyxxzyxx ),,(,),,(),,( 0000 ，記 0 3332310 2322210 1312110 xxTx zcycxczz zcycxcyy zcycxcxx 可以化為 兩個式子 都稱為點的 直角坐標變換公式 333231 232221 131211 ccc ccc ccc T其中 0,1 0,1 0,1 333

66、123211311 2 33 2 23 2 13 333223221312 2 32 2 22 2 12 323122211211 2 31 2 21 2 11 ccccccccc ccccccccc ccccccccc 六個關系式為正交的條件，則 T也是正交矩陣 TTT 1則 都是右手系及 ,,;,,; kjiOkjiO 1),,(),,( kjikji 1d e t 333231 232221 131211 ccc ccc ccc T 空間兩個直角坐標系及設 ,,;,,; kjiOkjiO ),,,( 000 zyxO 下的坐標是在點 0 0 0 : zzz yyy xxx 移軸公式為 三、移軸變換 換，簡稱為移軸，的坐標變換稱為平移變到 換，簡稱轉軸這種坐標變換叫旋轉變 重合得到的，分別與使得 旋轉，繞原點可以看成原坐標系新坐標系 兩個直角坐標系及設 kjikji O kjiOkjiO ,,,, ,,;,,; 321 ,, ,, i O x y zkji iii ；，， 中的方向角分別為在直角坐標系設 四、轉軸變換 ;co