《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)》PPT課件

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1、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 王新峰 18號(hào)樓 714房間 Email: 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 考試： 70 平時(shí)： 30 總計(jì)： 100 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 理論力學(xué)： 研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律。剛體在空 間的位置隨時(shí)間的變化 靜力學(xué) ：物體在力系作用下平衡的普遍規(guī)律。 運(yùn)動(dòng)學(xué) ：以幾何的觀點(diǎn)研究物體的運(yùn)動(dòng)，不考慮 作用于物體上的力。 動(dòng)力學(xué) ：作用在物體上的與物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 材料力學(xué)： 研究簡單結(jié)構(gòu)（桿件）在簡單載荷作用下的 剛度、強(qiáng)度和穩(wěn)定性。 基本假設(shè)： 連續(xù)性；均勻性；各向同性 扭轉(zhuǎn)和彎曲的平面假設(shè)； 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 彈性力學(xué)： 基本假設(shè)： 假設(shè)材料是

2、連續(xù)的 假設(shè)材料是完全彈性的 假設(shè)物體變形是微小的 假設(shè)材料是均勻性的和各向同性的 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)： 是以 連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 為基礎(chǔ)的眾多力學(xué)學(xué)科 的總稱。 （如：流體力學(xué)、水利學(xué)、氣體力學(xué)、 彈性 力學(xué)、塑性力學(xué)、爆炸力學(xué)等） 力學(xué)是研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)，以及引起該運(yùn)動(dòng)的力 的學(xué)科。力學(xué)是建立在時(shí)間，空間，力，能 量以及物質(zhì)這些概念的基礎(chǔ)之上的。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì) 物 質(zhì) 構(gòu) 造 理 論 離散體模型：物體是由大量的、具有確定物理性質(zhì)的、 彼此相互吸引而聚集在一起的幾何點(diǎn)的集合所組成。 連續(xù)統(tǒng)模型：用場的概念去描述物體的幾何點(diǎn)，而不 必區(qū)分構(gòu)成該物體的一個(gè)個(gè)粒子間的差異。

3、 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì) 密度： 1 nn nP n n V n V MP n 0 lim)( 若所設(shè)空間內(nèi)各點(diǎn)都能這也定義密度，則認(rèn)為質(zhì)量是連續(xù)分布的 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì) 如果一個(gè)物體的質(zhì)量、動(dòng)量、能量密度在數(shù)學(xué) 意義上存在，這個(gè)物質(zhì)就是一個(gè)物質(zhì)連續(xù)統(tǒng) （連續(xù)介質(zhì)）。 這樣一個(gè)物質(zhì)連續(xù)統(tǒng)的力學(xué)就是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。 附加限制條件：只要始終保持含有足夠多的粒 子，而不至于使極限值不存在或者發(fā)生突躍 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì) 密度： 1 nn nP 若所設(shè)空間內(nèi)各點(diǎn)都能這也定義密度，則認(rèn)為質(zhì)量是連續(xù)分布的 緒 論 當(dāng) n 時(shí)， Vn的極限趨于一個(gè)有限的正數(shù) 連續(xù)

4、介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的“基元” 物體： 在某一確定的瞬時(shí)，物體具有一定的幾何形狀， 并具有一定的質(zhì)量。 物體由質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，質(zhì)點(diǎn)占據(jù) 非常小的確定空間，具有非常小的確定質(zhì)量。 物體可以抽象成各種模型：如質(zhì)點(diǎn)、剛體、彈塑性 體、流體、顆粒等；按幾何性質(zhì)還可分為質(zhì)點(diǎn)、一 維的弦和桿、二維的板殼及三維的塊體。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的“基元” 質(zhì)量： 質(zhì)量是物體運(yùn)動(dòng)慣性的度量，對(duì)于有限體和理想 化的質(zhì)點(diǎn)，它是個(gè)有限數(shù)。質(zhì)量是物體的基本屬 性，沒有不具質(zhì)量的物體。 質(zhì)量服從質(zhì)量守恒定律，不能被消滅，也不能無中 生有。和物體的形態(tài)相對(duì)應(yīng)，質(zhì)量可分為點(diǎn)質(zhì)量、 線分布質(zhì)量、面分布質(zhì)量和

5、體分布質(zhì)量。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的“基元” 時(shí)空系： 時(shí)間和空間是運(yùn)動(dòng)物體的客觀存在形式?？臻g 表示物體的形狀、大小和相互位置關(guān)系；時(shí)間 表示物體運(yùn)動(dòng)過程的順序。 為描述物體的運(yùn)動(dòng)，需要在時(shí)間和空間中選取一特 定的標(biāo)架，作為描述物體運(yùn)動(dòng)的的基準(zhǔn)，這種標(biāo)架 稱為時(shí)空系。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的“基元” 運(yùn)動(dòng)： 物體狀態(tài)或各種參數(shù)隨時(shí)間的變化過程稱為運(yùn)動(dòng)。 物體運(yùn)動(dòng)是構(gòu)成物體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的有機(jī)總和。物體 的運(yùn)動(dòng)須滿足某些一般的規(guī)律，如質(zhì)量、動(dòng)量、能 量和電荷等的守恒定律 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的“基元” 動(dòng)量： 動(dòng)量是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的度量，質(zhì)

6、點(diǎn)的線動(dòng)量等于 其質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)速度的乘積。動(dòng)量是矢量，服從矢 量運(yùn)算規(guī)則，物體的總動(dòng)量是各部分動(dòng)量的矢量和 力： 物體線動(dòng)量的變化率等與作用于其上的合力，力是改 變物體運(yùn)動(dòng)的原因。力是矢量，服從矢量運(yùn)算規(guī)則。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的“基元” 功和能： 力和沿力方向的位移的乘積稱為功。能量是一 個(gè)抽象的概念。能量是純量服從能量守恒和轉(zhuǎn) 化定律，它不能無中生有，也不能被消滅。系 統(tǒng)的總能量是其各部分能量之和。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的“基元” 溫度和熱： 溫度是物體冷熱程度的度量。由于存在溫 度差，從一個(gè)物體流向另一個(gè)物體的能量以 熱的形式表現(xiàn)出來。 熵： 熵是

7、在熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表述中引進(jìn)的一個(gè) 狀態(tài)函數(shù)，它是可加函數(shù)，系統(tǒng)的熵等于各部分 熵的和。它最重要的特性是：系統(tǒng)熵的變化永遠(yuǎn) 不小于系統(tǒng)由環(huán)境中得到的熱量與得到此一熱量 時(shí)熱力學(xué)溫度的比值。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)定義下的應(yīng)力 溫度和熱： 溫度是物體冷熱程度的度量。由于存在溫 度差，從一個(gè)物體流向另一個(gè)物體的能量以 熱的形式表現(xiàn)出來。 熵： 熵是在熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表述中引進(jìn)的一個(gè) 狀態(tài)函數(shù)，它是可加函數(shù)，系統(tǒng)的熵等于各部分 熵的和。它最重要的特性是：系統(tǒng)熵的變化永遠(yuǎn) 不小于系統(tǒng)由環(huán)境中得到的熱量與得到此一熱量 時(shí)熱力學(xué)溫度的比值。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本

8、方程 一、適用于所有物體，構(gòu)成自然界的基本規(guī)律。 二、各種物體特有的規(guī)律，即各自的本構(gòu)方程。 如質(zhì)量守恒、能量守恒、牛頓運(yùn)動(dòng)定律和保證物 體自身完整性的連續(xù)性條件或遵循一定規(guī)則的間 斷性條件等。 本構(gòu)方程是各種介質(zhì)相互區(qū)別的標(biāo)志，是在相同 環(huán)境中，物體具有不同運(yùn)動(dòng)的原因。 雖然不同的介質(zhì)具有不同的本構(gòu)關(guān)系，但本構(gòu)關(guān) 系本身必需滿足一些共同的準(zhǔn)則，如時(shí)空無差異 性原則、熱力學(xué)第二定律等。 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 基元 基本規(guī)律 本構(gòu)方程 連 續(xù) 介 質(zhì) 力 學(xué) 體 系 數(shù)學(xué)方法 實(shí)驗(yàn)方法 工 程 實(shí) 際 問 題 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 主要研究內(nèi)容 張量初步（張量的概念、坐標(biāo)變換、張量運(yùn)算等

9、） 運(yùn)動(dòng)和變形（關(guān)于物體變形和運(yùn)動(dòng)的幾何描述） 基本定律（如質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒等以及熱力學(xué)定律） 本構(gòu)關(guān)系（本構(gòu)公理以及典型簡單物質(zhì)的本構(gòu)方程） 緒 論 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 矢量及其代數(shù)運(yùn)算 矢量定義： 在三維 Euclidean空間中，矢量是具有大小與方向 且滿足一定規(guī)則的實(shí)體。 矢量滿足以下規(guī)則： 1、相等：兩個(gè)矢量具有相同的模和方向則稱兩個(gè)矢量相等。 2、矢量和：按照平行四邊形法則定義矢量和，同一空間的 兩個(gè)矢量之和仍為該空間的矢量。 （矢量和滿足交換律和結(jié)合律） 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 矢量及其代數(shù)運(yùn)算 3、數(shù)乘矢量：設(shè) a、 b為實(shí)數(shù)，矢量 乘實(shí)數(shù) a仍為同一空間 的

10、矢量，記作 。 u uav 其含義是： 是與 共線且模為 的 a倍。 uv u 數(shù)乘矢量和滿足分配律和結(jié)合律 分配律 vauavua ubuauba )( )( 結(jié)合律 uabuba )( 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 矢量及其代數(shù)運(yùn)算 由矢量關(guān)于求和與數(shù)乘的封閉性可知，屬于同一空間的矢量 組 （ i=1， 2， ， I）的線性組合 仍為該空間的矢量。 iu I i ii ua 1 線性相關(guān)：指存在一組不全為零的實(shí)數(shù)使得 0 1 I i ii ua 0 1 I i ii ua 線性無關(guān)：指當(dāng)且僅當(dāng) ai=0時(shí)才有 維數(shù)：一個(gè)矢量空間所包含的最大線性無關(guān)矢量的數(shù)目稱為 該矢量空間的維數(shù)。 連續(xù)介

11、質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 矢量的點(diǎn)積 定義兩個(gè)矢量 與 的點(diǎn)積 vu ),c o s ( vuvuvu 矢量點(diǎn)積服從以下規(guī)則 交換律： 分配律： 正定性： Schwartz不等式： uvvu vwuwvuw )( 且當(dāng)僅當(dāng) 時(shí) 0uu 0u 0uu vuvu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 矢量的叉積 兩個(gè)矢量 與 的叉積（也稱矢積）是垂直于 ， 構(gòu)成 的平面的另一個(gè)矢量。 vu vu zyx zyx vvv uuu kji vuw 不滿足交換律： uvvu 滿足分配律： vwuwvuw )( 二重叉積有恒等式： wvuvwuwvu )()()( 不滿足結(jié)合律： wvuwvu )()( 連續(xù)介質(zhì)力

12、學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 矢量的混合積 定義三個(gè)矢量 ， ， 的混合積是 vu w )()( wvuwvuwvu zzz yyy xxx zyx zyx zyx wvu wvu wvu www vvv uuu 并且有： uvwvwuwuvvuwuwvwvu 混合積的物理意義是以 ， ， 為三個(gè)棱邊所圍成的平行 六面體的體積。 vu w 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 指標(biāo)記法 矢量 指標(biāo)符號(hào) 通常 xi， i=1, n表示一組 n個(gè)變量 nxxx ,., 21 符號(hào) i是一個(gè)指標(biāo)，采用指標(biāo)的符號(hào)系統(tǒng)稱為指標(biāo)符號(hào) 332211 eueueuu 3 1i ii euu 求和約定 在同一項(xiàng)內(nèi)的一個(gè)指標(biāo)重復(fù)一

13、次時(shí)表示對(duì)該指標(biāo)在它 的范圍上遍歷求和。被求和的指標(biāo)稱為啞標(biāo)，未被求 和的指標(biāo)稱為自由指標(biāo)。 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 啞標(biāo) 3 1i ii euu 啞標(biāo)的符號(hào)可同時(shí)變換 但如 aibici這樣的式子在這個(gè)約定中是沒有定義的。利 用求和約定時(shí)一個(gè)指標(biāo)的重復(fù)不應(yīng)超過一次。 ii euu 3 1m mm euumm euu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 自由指標(biāo) 無意義 在一個(gè)方程的每一項(xiàng)出現(xiàn)的自由指標(biāo)必須是相同的。 3332321313 3232221212 3132121111 xaxaxay xaxaxay xaxaxay mm xay 11 mm xay 22 mm xay 33 mi

14、mi xay ji ba 0 jjii iii dcba cba 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 克羅內(nèi)克符號(hào) (Kronecker delta) ji 0 ji 1 ij mma1 1313212111 aaaa mma2 2323222121 aaaa mma3 3333232131 aaaa imim aa 如果 ， ， 是相互正交的單位矢量，則有 1e 2e 3e ijji ee 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 置換符號(hào) (Eddington張量 ) 如果 ， ， 是相互正交的單位矢量且為右手系時(shí) 1e 2e 3e 0 1 1 ijk （ i， j， k按 1， 2， 3順序輪換） （ i

15、， j， k按 1， 2， 3逆序輪換） （ i， j， k任意兩個(gè)指標(biāo)相同） 321 eee 132 eee 213 eee kijkji eee 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 恒等式 ksjtktjsi s tijk 指標(biāo)記法的變換 1、代換 2、乘法 3、因式分解 4、縮并 mimi bUa mimi cVb nmnimi cVUa mm bap mm dcq nnmm dcbapq 0 ijij nnT 0)( jijij nT 使兩個(gè)指標(biāo)相同從而對(duì)它求和的運(yùn)算稱為縮并 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 算例 i j k kj j k i ij AA ij i j k i j k ij i

16、i )5( )4( )3( )2( )1( 0 0 6 3 3 xzxzzxzx zyzyyzyz yxyxxyxy xxyyzzzz zzxxyyyy zzyyxxxx E e E e E e E e E e E e E e E e E e 1 ; 1 1 ; 1 1 ; 1 )( 1 )( 1 )( 1 ijkkijij vvEe )1(1 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 坐標(biāo)變換 平移變換 kyy hxx kyy hxx / / / / 或 旋轉(zhuǎn)變換 x y o P x y A B C D c o ss in s inc o s / / yxy yxx c o ss in s inc o

17、s / / yxy yxx jiji xx / c o ss in s inc o s)( ij /jjii xx 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 坐標(biāo)變換 三維情況 具有同樣原點(diǎn)的兩個(gè)右手直角坐標(biāo)系 / 3/2/1321 , xxxxxx 和 基矢量分別為 / 3/2/1321 , eeeeee 和 一向量 可表示為 x / jj exexx jj 兩邊與 點(diǎn)乘為 ie )()( / iijj eexeex jj )( / ii eexx jj 若定義 則 jiiee j )( / / jjii xx 若用 點(diǎn)乘有 /ie )()( / ijji eexeex jj jiji xx / 連續(xù)介

18、質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 一般坐標(biāo)變換 一組獨(dú)立的變量 x1, x2, x3 可以一點(diǎn)在某一參考標(biāo)架中的坐標(biāo)。 通過方程 把變量 x1, x2, x3 變成一組新的變 量 這就規(guī)定了一個(gè)坐標(biāo)變換。 ),( 321 xxxfx ii 321 , xxx 逆變換 ),( 321 xxxgx ii （ 1）在域 R內(nèi)， fi是單值連續(xù)函數(shù)，并且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) （ 2）在域 R的任意點(diǎn)處，雅克比行列式 0 j i x xJ 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 數(shù)量、向量和張量的解析定義 一個(gè)變量系稱之為數(shù)量、向量或張量，取決于該變量系 的分量是如何在變量 x1, x2, x3 中定義的，以及當(dāng)變量 x1

19、, x2, x3 變到 時(shí)，它們又是如何變換的。 321 , xxx 如果變量系在變量 xi中只有一個(gè)分量 ， 在變量 中只有一 個(gè)分量 ，并且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)， 和 相等，則稱為數(shù)量場。 ix ),(),( 321321 xxxxxx 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 數(shù)量、向量和張量的解析定義 如果變量系在變量 xi中有三個(gè)分量 ， 在變量 中有三個(gè)分 量 ，并且這些分量滿足如下規(guī)律，稱為向量場或一階張 量場。 ixi i kiki ikki xxxxxx xxxxxx ),(),( ),(),( 321321 321321 如果變量系在變量 xi中有 9個(gè)分量 ， 在變量 中有 9個(gè)分 量 ，并且這

20、些分量滿足如下規(guī)律，稱為二階張量場。 ixijT ijT njmimnij jnimmnij xxxTxxxT xxxTxxxT ),(),( ),(),( 321321 321321 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 商法則 是一向量，設(shè)已知乘積 A(i, j, k) （對(duì) i按求和約定求和） 產(chǎn)生 Ajk類型的張量， A(i, j, k) = Ajk 那么即證明 A(i, j, k)是 Aijk類型的張量。 ii i 轉(zhuǎn)置張量 如果保持基矢量順序不變，而調(diào)換張量分量的指標(biāo)順序， 得到一個(gè)新的張量稱為原張量的轉(zhuǎn)置張量 lkjii j k l ggggTT lkjij i k l ggggTS l

21、kjik j i l ggggTR RST 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 張量的對(duì)稱化與反對(duì)稱化 若調(diào)換張量分量指標(biāo)的順序而張量保持不變，則稱該張量 對(duì)于這兩個(gè)指標(biāo)具有對(duì)稱性。 j i k li j k l TT lkjii j k l ggggTT lkjij i k l ggggTS 對(duì)稱張量 TS 即對(duì)稱張量與其對(duì)應(yīng)的 轉(zhuǎn)置張量相等 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 張量的對(duì)稱化與反對(duì)稱化 若調(diào)換張量分量指標(biāo)的順序后所得到的張量與原張量相差 一符號(hào)，則稱該張量對(duì)于這兩個(gè)指標(biāo)具有反對(duì)稱性。 j i k li j k l TT lkjii j k l ggggTT lkjij i k l ggg

22、gTS 反對(duì)稱張量 TS 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 張量的對(duì)稱化與反對(duì)稱化 將任一張量 的分量指標(biāo)中某兩個(gè)指標(biāo)順序互換，得到張 量 ，并按下式構(gòu)成新張量 對(duì)稱化運(yùn)算 T S )(2 1 STA 反對(duì)稱化運(yùn)算 將任一張量 的分量指標(biāo)中某兩個(gè)指標(biāo)順序互換，得到張 量 ，并按下式構(gòu)成新張量 T S )(21 STB 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 張量分析 張量微分算子 ii x kk , 梯度 mlkmklmmlkkl lklkllkk kkkk iiiTiiiTTTg r a d iiuiiuuug r a d iig r a d ,),( ,),( , lkmmklmlkklm kllklk

23、kl iiiTiiTiT iiuiuiu ,),( ,),( 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 張量分析 微分 lkmmkl kllk iidxTTxdxdTg r a dTd idxuuxdxdug r a dud ,)( ,)( 散度 lkklmlkklm kklkkl iTiiTiTTd i v uiuiuud i v ,),( ,),( Tk lkl TiTT , 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 張量分析 旋度 nkm k nmklmlkklm ml k mlklkkl iiTiiTiTTC u r l iuiuiuuC u r l ,),( ,),( nkl m nmklmmlkkl mk

24、 l mlkllkk iiTiiiTT uC u r liuiiuu ,),( ,),( 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 二階張量 二階張量的特征值、特征向量 正則與退化 行列式不為零的二階張量稱為正則張量，否則稱為退化張量。 若 是一個(gè)矢量，此矢量在張量 的作用下變換為與自身平 行的一個(gè)矢量，即： a T aaT a 即為特征向量 為特征值 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 二階張量 二階張量的不變量 3 2 1 de t )( 2 1 TT TTTT TTtr ijijjjii ii 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 幾種特殊的二階張量 零二階張量與單位二階張量 000 000 000 O 100

25、010 001 I 二階張量的冪 2 TTT 3 TTTT . . . TTTT n 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 幾種特殊的二階張量 反對(duì)稱二階張量 0 0 0 2313 2312 1312 所對(duì)應(yīng)的特性方向的單位矢量稱為反對(duì)稱 張量的軸 0,0 21 II 023 I 3 反對(duì)稱張量的反偶矢量 :21 uu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 二階張量的分解 1、加法分解 jiij eeTT )(21 TTTN )(21 TTT 球 形 張 量 偏 斜 張 量 jiijTTjiij eeIIeePP 1 1 3 1 3 1 0 3 1 kk ij NP 當(dāng) i = j 當(dāng) ji jiijijji

26、ij eePNeeDD )( ij kkij ij N NND 3 1 當(dāng) i = j 當(dāng) ji DPN 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 矢量與張量 二階張量的分解 2、乘法分解 定理： 正則的二階張量必定可以分解為一個(gè)正交張量與一個(gè) 正張量的點(diǎn)積。 HQT 1 1 QHT 右極分解 左極分解 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 應(yīng)力的表示法 12 13 11 22 23 21 32 33 31 x1 x2 x3 O T 1 T1 1 = 11 T2 1 = 12 T3 1 = 13 T1 2 = 21 T2 2 = 22 T3 2 = 23 T1 3 = 31 T2 3 = 32 T3 3 = 33 等稱為剪應(yīng)力，

27、其他分量 稱為正應(yīng)力，分量 2312 332211 zzyzx yzyyx xzxyx 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 應(yīng)力的表示法 x1 x2 x3 O 32 33 31 32 33 31 22 23 21 22 23 21 應(yīng)力正方向 應(yīng)力始終被認(rèn)為是位于面元外側(cè) 的部分對(duì)位于面元負(fù)側(cè)的部分的 單位面積上的作用力。 這樣定義與常用的拉伸、壓縮和 剪切的定義一致。 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 運(yùn)動(dòng)定律 動(dòng)量 x3 x1 x2 O B(t) S )( tB dVv r v，速度為該點(diǎn)處密度為 動(dòng)量矩 )( tB dVvr F 由牛頓運(yùn)動(dòng)定律 M 面 力 體 力 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 運(yùn)動(dòng)定律 總力

28、 x3 x1 x2 O B(t) S X1dV X2dV X3dV 總力矩 運(yùn)動(dòng)方程 BS v dVXdSTF BS v dVXrdSTrM BBS v dVvDtDdVXdST BBS v dVvrdVXrdSTr 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 柯西公式 表示面元外部材料對(duì)內(nèi)部材料作用的應(yīng)力矢量 與表示內(nèi)部材 料通過同一面元對(duì)外部材料的應(yīng)力矢量 大小相等，方向相反 )(T )(T )()( TT S S )(T )(T BBS v dVvDtDdVXdST 運(yùn)動(dòng)方程 0)()( STST 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 柯西公式 jij n i nT ),c o s ( 11 xndSdS dSn1

29、),c o s ( 22 xndSdS dSn2 ),c o s ( 33 xndSdS dSn3 hdSdV 31 hdSvhdSXdST dSndSndSn n 3 1 3 1)()( )()()( 11 333122211111 3312211111 nnnT n 3322221122 nnnT n 3332231133 nnnT n 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 平衡方程 對(duì)于非均勻應(yīng)力場，每個(gè)應(yīng)力分量都是位置的函數(shù) 在點(diǎn) (x1,x2,x3)處，應(yīng)力 11 (x1,x2,x3) 在點(diǎn) (x1+dx1,x2,x3)處，應(yīng)力 11 (x1,x2,x3) 1321 1 11 32111 321

30、111 ),(),( ),( dxxxx x xxx xxdxx 1 1 11 11321111 ),( dxxxxdxx 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 平衡方程 0)( )()( 32112131213 3 31 31 3121312 2 21 213211321 1 11 11 dxdxdxXdxdxdxdxdx x dxdxdxdxdx x dxdxdxdxdx x x1方向合力為零 01 3 31 2 21 1 11 X xxx 0 i j ij X x 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 平衡方程 繞 x3軸合力矩為零 2112 繞 x2軸合力矩為零 3113 繞 x1軸合力矩為零 2332 ji

31、ij 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 坐標(biāo)變換時(shí)應(yīng)力分量的變化 jij n i nT kxn 選為平行于軸若將法矢量 332211 , kkk nnn 則 kjjii kT 軸方向上的分量在矢量 m k xT 332211 m k m k m k km TTT mii kT mikjjikm 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 應(yīng) 力 應(yīng)力邊界條件 硬材料 軟材料 P B A P B A )1(n )1(nT P B A )2(n )2(nT x z )1()1( )1( jji n i nT )2()2( )2( jji n i nT 0 )2()1( nn TT )2( 33 )1( 33 )2( 32 )1(

32、32 )2( 31 )1( 31 自由面邊界條件： 0313233 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 主應(yīng)力和主軸 引言 333231 232221 131211 )( jiij 3 2 1 00 00 00 mikjjikm 特定坐標(biāo)系 特定的坐標(biāo)軸稱為 主軸 相應(yīng)的應(yīng)力分量稱為 主應(yīng)力 主軸所確定的平面稱為 主平面 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 主應(yīng)力和主軸 平面應(yīng)力狀態(tài) 333231 232221 131211 )0( 323133 000 0 0 yxy xyx y x x x y y xy xy 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 主應(yīng)力和主軸 平面應(yīng)力狀態(tài) 000 0 0 yxy xyx y x x y xy x y 000

33、0 0 yxy xyx 100 0c o ss i n 0s i nc o s 333231 232221 131211 c o ss in2s inc o s 22 xyyxx c o ss in2c o ss in 22 xyyxy )s i n( c o sc o ss i n)( 22 xyyxxy 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 主應(yīng)力和主軸 平面應(yīng)力狀態(tài) c o ss in2s inc o s 22 xyyxx c o ss in2c o ss in 22 xyyxy )s i n( c o sc o ss i n)( 22 xyyxxy )2c os1(21s in 2 )2c os1(21c

34、 os 2 2s in2c o s22 xyyxyxx 2s i n2c o s22 xyyxyxy 2s in2c o s2 xyyxxy 0 xy yx xy 22ta n 2 2 m i n m a x 22 xy yxyx 2 2 m a x 2 xy yx 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 主應(yīng)力和主軸 主應(yīng)力 物體內(nèi)任意點(diǎn)處三個(gè)相互正交的平面滿足該平面上的應(yīng)力矢量與 其垂直，則該組平面為 主平面 ，其法線稱為 主軸 ，作用在平面上的 正應(yīng)力稱為 主應(yīng)力 1, 2, 3)(i 0 jjiji n 032213 IIIjiji I1， I2， I3稱為應(yīng)力張量的不變量 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 主應(yīng)力和主軸

35、剪應(yīng)力 nT n )(n i n in nT )( ijji nn 2 )( 22 n nT 若選主軸為坐標(biāo)軸 2332222112 )()()( nnnTn 22332222112 )( nnnn 2132123232232222122212 )()()( nnnnnn 0,2/1 321 nnn若 )( 2 1 21 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 主應(yīng)力和主軸 應(yīng)力偏量 ijijij 0 )( 3 1 3 1 3210 ii 應(yīng) 力 偏 量 平 均 應(yīng) 力 0 jiji 3 00233 2 2 02 1 3 0 JIJ IJ J 0 ii 主 偏 應(yīng) 力 應(yīng)力張量主軸與偏應(yīng)力張量主軸重合 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)

36、基礎(chǔ) 主應(yīng)力和主軸 拉梅應(yīng)力橢球 jij n i nT 將應(yīng)力張量主軸選為坐標(biāo)軸 3 2 1 00 00 00 111 nT n 222 nT n 333 nT n 并且 12 32221 nnn 1 )( )( )( )( )( )( 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 nnn TTT 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 物體的構(gòu)形與坐標(biāo)系 構(gòu)形： 物體在空間占據(jù)一定的區(qū)域，構(gòu)成一空間幾何圖形稱 為物體的構(gòu)形。 B 初始構(gòu)形 I3 X1 I1 b 現(xiàn)時(shí)構(gòu)形 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 物

37、體的構(gòu)形與坐標(biāo)系 I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d KLLK II kllk ii kKKkkK IiiI 轉(zhuǎn)移張量 KkKk Ii kkKK iI 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 物體的構(gòu)形與坐標(biāo)系 I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d u kk iuK K IU kKKk Uu kKkK uU lkkKlK LKkKkL 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 物體的運(yùn)動(dòng) I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1

38、 O o X(XK) x(x k) u d 物質(zhì)描述 用物質(zhì)坐標(biāo) XK作為自變量來描述物體的變形和運(yùn)動(dòng)， 稱為物質(zhì)描述或 Lagrange描述 ),( tXxx ),( tXxx Kkk 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 物體的運(yùn)動(dòng) I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d 空間描述 用空間坐標(biāo) xk作為自變量來描述物體的變形和運(yùn)動(dòng)，稱 為物質(zhì)描述或 Lagrange描述 ),( txXX ),( txXX kKK 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o

39、 X(XK) x(x k) u d 物體的運(yùn)動(dòng) u w dXx kkLLkk dXxu KKkKkK DXxU 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 變形梯度和變形張量 KkkK IiFX xF 物質(zhì)變形梯度張量 XdFxd KkKk dXFdx LKKL dXdXXdXddL 2 kk dxdxxdxddl 2 LKkLkK dXdXFF kLkKKL FFC 右 Cauchy-Green變形張量 FFC T 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 變形梯度和變形張量 kK dxFdX Kk 1 KK dXdXXdXddL 2 kk dxdxxdxddl 2 左 Cauchy-Green變形張量 TFFB k

40、KKk iIFx XF 11 空間變形梯度張量 xdFXd 1 lk dxdxFF KlKk 11 kKXF Kk ,1 lklKkKT iiXXFFB ,)( 111 TFFC )( 1 1 1 Piola變形張量 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 應(yīng)變張量 LKKL dXdXdL 2 2dl LKKLLKkLkK dXdXCdXdXFF LKKLKL dXdXCdLdl )(22 )(21 KLKLKL CE )(21 ICE Green或 Lagrange應(yīng)變張量 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 應(yīng)變張量 Euler或 Almansi應(yīng)變張量 lkkl dxdxdl 2 2dL lk dxdx

41、B kl 1 lkkl dxdxBdLdl KL )( 122 )(21 1 klklkl B )(2 1 1 BI 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 用位移表示的應(yīng)變張量 kkLLkk dXxu u dXx kMKMkKKk Ux , ),( 2 1 LMKMKLLKKL UUUUE KKkKkK DXxU mKkmkKkK uX , ),(21 lmkmkllkkl uuuu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 小應(yīng)變與小轉(zhuǎn)動(dòng) ),( 2 1 ),( 2 1 ),( 2 1 ),( 2 1 00 0 00 0 kllkklkl kllkkl KLLKKLKL KLLKKL uurr uu UURR

42、UUE )(2 1 00000 MLMLMKMKKLKL REREEE )(21 00000 mlmlmkmkklkl rr （ 1）應(yīng)變和轉(zhuǎn)動(dòng)都很小 0KLKL EE 0klkl （ 2）應(yīng)變很小，轉(zhuǎn)動(dòng)較大 000 2 1 MLMKKLKL RREE 000 2 1 mlmkklkl rr 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 主應(yīng)變和主方向 1)()( aM dL dLdl dL dl a 名義或 Lagrange相對(duì)伸長 Euler相對(duì)伸長 1)( 1)( am dl dLdl 線 元 伸 長 比 LKKLMM MME )2 11( )()( dLdXM KK 1KLLK MM )1()( LK

43、KLLKKLK MMEMMEM 0)( LKLKL MEE )3,2,1( E主應(yīng)變 )3,2,1( M主方向 lkklmm mm )2 11( )()( dl dxm k k )3,2,1( 主應(yīng)變 )3,2,1( m主方向 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換 LKKLLKKL XdXdEdXdXEdLdl 2222 KKKK IXdIdXXd LKLK dXQXd LKLNKMKLLKKL dXdXQQEdXdXEdLdl 2222 KLNLMKKL EQQE KLLNKMKL EQQE KLKL EE 0)( KMMPMP QEE 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 變形張量的主

44、值 023 CCC CCCICC LKKLKL dXdXCdLdl )(22 22 22 )( dL dXdXCdL dLdl LKKLKL dLdXM KK 1KLLK MM LKKLKL MMC )(12 2 C 2 EIC 0)1(21 ICE EC 212 M 特 征 向 量 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 變形張量的主值 321 MMMP T T T T M M M P 3 2 1 IPP T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 TPCP PPC T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 定義 PPU T 3 2 1 00 00 00 CPPU T 2 3 2 2 2 1 2

45、 00 00 00 2/1 2/1 )( FFCU T 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 變形張量的主值 1C PP T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 C-1的特征值是 C的倒數(shù) TFFB FFC T 1 )( FCFB T FCFB T 1 MUMUC 2 1211 MUFMUFFCF TTTT 2 mmB 1 mUFm T 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 變形張量的主值 2/1 2/1 )( TFFBV 321 mmmp T T T T m m m p 3 2 1 Ipp T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 TpBp ppB T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 定

46、義 ppV T 3 2 1 00 00 00 BppV T 2 3 2 2 2 1 2 00 00 00 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 變形張量的主值 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 BC BC BC 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 111 111 11 11 11 BC BC BC 1B pp T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 B-1的特征值是 B的倒數(shù) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 運(yùn)動(dòng)與變形 變形張量的極分解 RVURF 正交張量，代表純轉(zhuǎn)動(dòng) 右 Cauch

47、y-Green伸長張量 左 Cauchy-Green伸長張量 a2 a1 a2 a1 U R a2 a1 b2 b1 VR b2 b1 b2 b1 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 速度場與協(xié)調(diào)條件 速度場 在研究流體流動(dòng)時(shí)通常關(guān)心的是速度場，物體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度。 每一點(diǎn)的速度可表示為： ),( zyxv ),( zyxv i rvv 0 vc ur lv 2 1 2 1 vc ur lvv 210 剛體運(yùn)動(dòng)的速度分解定理 若不考慮變形 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 速度場與協(xié)調(diào)條件 速度場 考慮非剛體的連續(xù)介質(zhì) )( rdrvv 將 在 P0點(diǎn)展成泰勒級(jí)數(shù)并取一階 3 3 2 2 1 1 0 dxx vdx x vd

48、x x vvv rdLv 0 j i ij x vL 速度梯度張量 v jijj j i i dxLdxx vdv 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 速度場與協(xié)調(diào)條件 速度場 )(21 TLLV )(21 TLL VL 變形速度張量 Euler應(yīng)變率張量 伸長速率張量 旋率張量 rdrdVvv 0 2112 2 1 1 2 3 3113 1 3 3 1 2 3223 3 2 2 3 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 x v x v x v x v x v x v rdrd rdvc ur lrdVvv 210 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 速度場與協(xié)調(diào)條件 協(xié)調(diào)條件 ),(21 LMKMKLLKKL UUUU

49、E ),(2 1 lmkmkllkkl uuuu 在小變形情況下： 用位移表示的應(yīng)變張量： ),(21 KLLKKL UUE ),(2 1 kllkkl uu x u xx y v yy )(21 xvyuxy 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 速度場與協(xié)調(diào)條件 協(xié)調(diào)條件 給定偏微分方程組時(shí)的可積性問題 ),( yxfxu ),( yxgyu 需滿足： x g y f 稱為可積性條件或協(xié)調(diào)方程 xy yy xx x v y u y v x u 2)( 2 3 2 2 yx u y xx 2 3 2 2 xy v x yy yx v yx u yx xy 2 3 2 32 2 yxxy xyyyxx 2 2 2

50、 2 2 2 平面應(yīng)變狀態(tài)的協(xié)調(diào)方程 yx L x L y L xyyyxx 2 2 2 2 2 2 可積性條件 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 速度場與協(xié)調(diào)條件 三維應(yīng)變分量的協(xié)調(diào)條件 )(21 , ijjiij uu )(21 , i k ljj k liklij uu )(21 , k i jllijkijkl uu )(21 , jikllikjikjl uu )(21 , ijlkk j lijlik uu 0, ikjljlikijklklij 圣維南協(xié)調(diào)方程 )( 2 zyxxzy xyzxyzxx )( 2 xzyyzxz yzxyzxyy )( 2 yxzzyx zxyzxyzz 2 2

51、2 22 2 xyyx yyxxxy 2 2 2 22 2 yzzy zzyyyz 222222 zxxz xxzzzx 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 材料性質(zhì)的描述 描述材料性質(zhì)的方程稱為該材料的 本構(gòu)方程 。 本章主要討論無粘性流體、牛頓粘性流體和理想彈性固體的本構(gòu) 關(guān)系。 其他的本構(gòu)方程還有描述熱傳導(dǎo)特性、電阻特性、電磁特性、質(zhì) 量傳遞、晶格增長等。 應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系描述材料的力學(xué)性質(zhì)，因此也是一種本構(gòu)方程。 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 無粘性流體 從力學(xué)上說，流體與固體的區(qū)別在于它不能在沒有連續(xù)變形 的情況下承受剪應(yīng)力。 定義：流體是一種理想物質(zhì)，當(dāng)它做擬剛體運(yùn)動(dòng)（包括靜止?fàn)顟B(tài)）時(shí)， 不能

52、承受剪應(yīng)力。 液體：在承受廣泛范圍的載荷時(shí)，密度變化可以忽略。 一般可分為不可壓縮流體和可壓縮流體兩種概念 不可壓縮流體在它所充滿的空間具有均勻的密度，稱為均質(zhì)流體。 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 無粘性流體 在通過一點(diǎn)的所有平面上，不僅沒有剪應(yīng)力，而且正應(yīng)力全部相等。 因此，無粘性流體的應(yīng)力張量是各向同性的，它的形式為： ijij p P為壓力 RTp 理想氣體狀態(tài)方程 對(duì)于實(shí)際氣體或液體 0),( Tpf 對(duì)于不可壓縮流體 0DtD 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 無粘性流體靜力學(xué)方程 由平衡方程 0 i j ij f x 如果令 x3垂直向下為正，就有 f1=f2=0, f3= g g x p

53、 x p x p 3 2 1 0 0 如果流體作擬剛體運(yùn)動(dòng)（變形率 =0），上式修改為包含加速度項(xiàng) Dt Dvf x i i j ij 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 牛頓流體 牛頓流體是一種粘性流體，其剪應(yīng)力和變形成正比， 應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系為： kli j k lijij VDp 若流體是各向同性的 )( jkiljlikkliji j k lD ijijkkijij VVp 2 kkkk Vp )23(3 ijkkijijij VVp 322 0kkV若： ijijij Vp 2 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 kli j k lij C jiij 由于 j i k li j k l

54、CC jiij 由于 kli j k lklijlki j k lij CCC )(2 1 i j l ki j k l CC )6,5,4,3,2,1,( MK C MKMK 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 , 6 )1 , 2 ,( iddWdA ii jiji C 由于 ijij dCdW 由于應(yīng)變勢能與加載過程無關(guān)： i i dWdW 沿整個(gè)加載變形過程積分 dW，應(yīng)變勢能密度為： jiijCW 2 1 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 ij ji CW 2 對(duì)應(yīng)變勢能密度取偏導(dǎo)數(shù)： ji ij CW 2 同樣有： jiij CC 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性

55、固體 jiijCW 2 1 6226522542243223 2 222 61165115411431132112 2 111 2 1 2 1 CCCCC CCCCCCW 2 666 6556 2 555 64465445 2 444 633653354334 2 333 2 1 2 1 2 1 2 1 C CC CCC CCCC 共 21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 1、具有一個(gè)對(duì)稱平面 y z x o 44 )(2 1) ( 2 1 z v y w z v y w 55 )(2 1) (2 1 x w z u x w z u 05646533425241514

56、 CCCCCCCC 共 13個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 2、正交各向異性 若還關(guān)于 y軸對(duì)稱 44 )(2 1) (2 1 z v y w z v y w 66 )(2 1) ( 2 1 y u x v y u x v 05645633426241614 CCCCCCCC 共 9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù) 具有兩個(gè)正交彈性對(duì)稱面的材料一定對(duì)于和 這兩個(gè)平面垂直的的第三個(gè)平面具有對(duì)稱性 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 3、橫觀各向同性 1 2 1 2 0, 21 ，其余為 2 1211 2 11 2 12 2 11 )(2 1 2 1 CCCCCW 0,6 其余為

57、 266 2 1 CW )(21 121166 CCC 554423132211 , CCCCCC 共 5個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 4、各向同性 332211 CCC 231312 CCC )(21 1211665544 CCCCC 共 2個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 kli j k lij eC ijkkij ee 2 （ 和 稱為拉梅常數(shù)） 122112 311331 233223 3333 2222 1111 2 2 2 2 2 2 e e e e e e zzyyxxkk （用應(yīng)變表示應(yīng)力的本構(gòu)方程） 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本

58、構(gòu)方程 胡克彈性固體 ijkkijij vvEe )1(1 122112 311331 233223 11223333 33112222 33221111 1 1 1 )( 1 )( 1 )( 1 E v ee E v ee E v ee v E e v E e v E e 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 本構(gòu)方程 胡克彈性固體 胡克定律的其他形式 aaaa K 3 ijij G 2 ijaaijij 3 1 ijaaijij 3 1 是一點(diǎn)處的平均應(yīng)力aa31 是單位體積的變化aa K稱為材料的體積模量 )(2, )23( GG GGE )1(2,)21)(1( vEGvv Ev 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同

59、性 各向同性概念 力學(xué)性質(zhì)與方向無關(guān)的材料稱為各向同性材料 各向同性張量：是一種在任意笛卡爾直角坐標(biāo)系中其 分量值不隨坐標(biāo)的正交轉(zhuǎn)化而變化的張量。 i j k li j k l CC 材料是各向同性的，其本構(gòu)在坐標(biāo)的正交變換中保持不變 kli j k lij eC kli j k lij eC 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 零階、 1階各向同性張量 所有標(biāo)量都是各向同性的。但不存在一階各向同性張量。 繞 軸旋轉(zhuǎn) 180度情況 1x 33 22 11 xx xx xx 100 010 001 ij 332211 , AAAAAA ii AA 但各向同性要求 032 AA因此， 同樣過程，繞 x2軸

60、旋轉(zhuǎn) 1800，可以得到 A1=0 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 2階各向同性張量 每一個(gè) 2階各向同性張量都可一化為 的形式 ijp 繞 軸旋轉(zhuǎn) 180度情況 1x 33 22 11 xx xx xx 100 010 001 ij 122112 BBB mnnm 1212 BB 但各向同性要求 012 B因此， 所以， 2階各向同性張量必須是對(duì)角張量 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 繞 軸無限小旋轉(zhuǎn)情況 3x iijijj xdx )( 3 100 01 01 )()( 3 d d d ijijij )()()( 23333 dOBBdBBddB injnmjimijmnjnjnimimij 03

61、3 injnmjim BBd ，必須有：對(duì)于任意的 01,1 12 Bji 時(shí)，可以得出：取 22112,1 BBji 時(shí)，可以得出：取 2階各向同性張量 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 3階各向同性張量 繞 軸無限小旋轉(zhuǎn)情況 )()( 2 dOuuudu ijps k psi n ks j nsm j ks i msijk m n ps k pskps j nsjns i msimijk udddu )()( 0 ijps k psi n ks j nsm j ks i ms uuu ik i jkijj xdx )( 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 3階各向同性張量 0 ijps k psi n

62、ks j nsm j ks i ms uuu 取 i=j=1，則有： 取 k=2，有： 0113311221111123132213312 uuuuuuu skssksskskkkk 0 0 1 1 3 1 3 23 1 2 1 1 11 2 22 1 2 u uu uuu 取 k=3，有： 0 0 1 1 2 2 3 12 1 3 1 1 11 3 33 1 3 u uu uuu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 由于 為各向同性張量 4階各向同性張量 s k ls i jjkiljlik jkiljlikklij , ij )()( jkiljlikjkiljlikkliji j k lu 證明

63、任何 4階各向同性張量可表示成如下形式： 如果具有對(duì)稱性： ijlki j k lj i k li j k l uuuu , )( jkiljlikkliji j k lu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 4階各向同性張量 指標(biāo) 1， 2， 3置換不會(huì)影響各向同性張量的分量值： 3 1 1 32 3 3 21 2 2 1 3 1 3 12 3 2 31 2 1 2 3 3 2 22 2 3 31 1 2 2 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 uuu uuu uuu uuu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 4階各向同性張量 繞 軸旋轉(zhuǎn) 180度情況 100 010 001 ij 1x 33 2

64、2 11 xx xx xx m n p qlqkpjnimi j k l uu 0221312231222 uuu 1221121211221111 , , , uuuu到四個(gè)：數(shù)值上不同的分量減少 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 4階各向同性張量 繞 軸無限小旋轉(zhuǎn)情況 3x iijijj xdx )( 3 )()( 23333 dOuuuuduu p q r iisp q i sirp i r siqi q r sipp q r sp q r s 03333 p q r iisp q i sirp i r siqi q r sip uuuu (a) pqrs四個(gè)全相等 (b) pqrs三個(gè)相等

65、(c) pqrs兩個(gè)相等而另外兩個(gè)不等 (d) pqrs兩兩相等 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 4階各向同性張量 (a) pqrs四個(gè)全相等 03333 p q r iisp q i sirp i r siqi q r sip uuuu 所有項(xiàng)均為零 (b) pqrs三個(gè)相等 01111112212122112 uuuu (c) pqrs兩個(gè)相等而另外兩個(gè)不等 (d) pqrs兩兩相等 311323321221 313123231212 332222331122 333322221111 uuu uuu uuu uuu 0221312231222 uuu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 4階各向同性

66、張量 設(shè)： 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 u u u 01111112212122112 uuuu 21 1 1 1 u 如果 ，則對(duì)應(yīng)于 i=j， k=l情況 0,0 klijijklu 如果 ，則對(duì)應(yīng)于 情況 0,0 )( jkiljliki j k lu jikjli jiljki , , 如果 ，則對(duì)應(yīng)于 情況 jikjli jiljki , ,0,0 )( jkiljliki j k lu 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 各向同性張量材料 kli j k lij eC 若彈性固體是各向同性的，其本構(gòu)方程為： jiij 由于 jiklijkl CC jiij 由于 ijlkijkl CC )( jkiljlikkliji j k lC kli j k lij eC ijkkij ee 2 kli j k lijij VDp )( jkiljlikkliji j k lD ijijkkijij VVp 2 對(duì)于各向同性粘性流體 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 各向同性 應(yīng)力和應(yīng)變主軸的重合 ijkkijij ee 2 ijijkkijij VVp 2 0)( jjiji v 應(yīng)