《二次型和二次型的化簡》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《二次型和二次型的化簡（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 第 3節(jié) 二次型與二次型的化簡 下頁 一、 二次型的定義 二、二次型的化簡（矩陣的合同） 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 二次型概念的引入 下頁 O x y ax2 + 2bxy + cy2 = 1 a b b c O x y x2 25 + y2 9 = 1 3 5 1/25 0 0 1/9 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 定義 1 含有 n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式 叫做 n元二次型 ， 當(dāng)二次型的系數(shù) aij ( i, j=1,2, ,n)都是實(shí)數(shù)時(shí) , 稱為實(shí)二次型 . 一、二次型的定義 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2
2、3 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 22 n n n nn nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x ax 特別地 , 只含有平方項(xiàng)的 n元二次型稱為 n元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 . 2 2 21 2 1 1 2 2( , , , ) .n n nf x x x d x d x d x 下頁 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 練習(xí)： 下頁 221 2 1 2 2 32 4 4f x x x x x x 1 3 1 4 2 3 2 48 2 2 8f x x x x x x x x 2 2 2 21 2 3 4 1 3 1 4 2 3 2
3、 41 4 7 6 4 4 2f x x x x x x x x x x x x 5 2248xx 47x 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 二次型的矩陣形式 令 下頁 ),.,2,1.( njiaa jiij 得 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 22 n n n nn nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x ax 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 21 2 1 22 2 23 2 3 2 2 2 1 1 2 2
4、3 3 ( , , , ) n n n nn n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 下頁 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 21 2 1 22 2 23 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) n n n nn n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a
5、 x x a x 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) ( ) () () n n n nn n n n n n n n f x x x x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) nn nn nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x f x
6、 x x x x x a x a x a x a x 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 下頁 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) nn nn nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x f x x x x x x a x a x a x a x 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 12 ( , , , ) n n nn nn n n n a a a x a a a x f x x x x x x xa a a 12( ,
7、 , , ) Tnf x x x X A X ，其中 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 1 2 ,. n x x X x 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 實(shí)對(duì)稱矩陣稱 A為二次型 系數(shù)矩陣 , A的秩稱為 二次型的秩 . 若二次型 f是 標(biāo)準(zhǔn)形 ,即其系數(shù)矩陣是對(duì)角矩陣 . 下頁 12( , , , ) Tnf x x x X A X nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 1 2 ,. n x x X x ,其中 12( , , , )nd ia g d d d ,其中 2 2 21 2 1 1 2 2( , , ,
8、) ,n n nf x x x d x d x d x 則 f 的矩陣形式為 XXxxxf T n ),( 21 TXX 11 22 12 00 00 00 n nn dx dx x x x dx 1 2 1 1 2 2 . nn n x x d x d x d x x 2 2 21 1 2 2 nnd x d x d x 12( , , , ) .nf x x x 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 例 1. 寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩 . 323121232221321 484363),( xxxxxxxxxxxxf (1) 2322321 4),( yyyyyf (2) 3 2 4
9、 2 6 2 , 4 2 3 A 1 2 3( , , )f y y y (2)二次型 系數(shù)矩陣為 0 0 0 0 1 0 , 0 0 4 B 因 r(A)=3, 故二次型的秩等于 3. 因 r(B)=2, 故二次型的秩等于 2. 解 : (1)二次型 下頁 系數(shù)矩陣為 1 2 3( , , )f x x x 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 二次型的化簡 下頁 二次曲線 ax2+bxy+cy2 =1 m(x)2 + n(y)2 = 1 O x y y O x x = xcos ysin y = xsin + ycos 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 由變量 y1, y2, yn到 x1, x2, xn
10、的線性 變換 若 |P|0，則上述線性變換稱為可逆 (滿秩 )線性變換 . 記作 X=PY. 問題 ： 如何找一個(gè)可逆線性變換 X=PY， 使得將其代入二次型 后，得到新的二次型只含變量的平方項(xiàng)的形式 (標(biāo)準(zhǔn) 形 ) . 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 12 n n n n n n n n x p p p y x p p p y x p p p y 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 nn nn n n n n n n x p y p y p y x p y p y p y x p y p y p y 下頁
11、線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 現(xiàn)將 X=PY代入二次型，得 ( ) = ( ) ( ) ( ) , X P YT T T Tf X X A X P Y A P Y Y P A P Y 上式右端是關(guān)于變量 y1, y2, yn的二次型 . 如果其為標(biāo)準(zhǔn)形為 2 2 21 1 2 2 nnd y d y d y 下頁 11 22 12 00 00 00 n nn dy dy y y y dy ,TYY 比較上式兩端得： 所以，尋求滿秩線性變換 X=PY， 把二次型 f (X) 化為標(biāo)準(zhǔn) 型，從矩陣的角度講，就是尋求滿秩方陣 P，使得 TP AP TP AP 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 二、矩陣的合同
12、 定義 2 設(shè) A,B為 n階方陣，若存在 n階可逆矩陣 P，使 TP AP B 則稱 A與 B合同，也稱矩陣 A經(jīng)合同變換化為 B，記做 A B 可逆變換 P稱為 合同變換矩陣 。 性質(zhì)： 1 A A（ ） 自 反 性 ： 2 A B B A（ ） 對(duì) 稱 性 ： 若 ， 則 3 A B B C A C（ ） 傳 遞 性 ： 若 ， ， 則 （ 4）合同變換不改變矩陣的秩 （ 5）對(duì)稱矩陣經(jīng)合同變換仍化為對(duì)稱矩陣 下頁 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 我們知道，化 二次型 f (X)為標(biāo)準(zhǔn)形的問題，就是尋求可逆方陣 P， 使 A合同于對(duì)角矩陣，即 定理 1 任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣 A都合同于對(duì)角矩陣。 即對(duì)于一個(gè) n階實(shí)對(duì)稱矩陣 A，總存在可逆矩陣 P， 使得 1 2 0 0 T r d d P AP d 12, , 0 .rd d d 12( , , , )T nP AP diag d d d 下頁 其中 r是矩陣 A的秩。當(dāng) r0時(shí)， 線性代數(shù) 下頁 結(jié)束 返回 常用化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法有： （ 1）配方法 （ 2）合同變換法 （ 3）正交變換法 結(jié)束
二次型和二次型的化簡
