經(jīng)典題集 七年級數(shù)學(xué) 寒假講義 相交線與平行線 實(shí)數(shù)

七年級數(shù)學(xué) 寒假教材 第五章 相交線與平行線 第1課 相交線 鄰補(bǔ)角：一條邊公共，另一條邊互為反向延長線。具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角。 注意：鄰補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種特殊情況，數(shù)量上互補(bǔ)，位置上有一條公共邊，而互補(bǔ)的角與位置無關(guān)。 對頂角：有公共的頂點(diǎn)，兩邊互為反向延長線。具有這種位置關(guān)系的角，互為對頂角。 注意：對頂角形成的前提條件是兩條直線相交，而鄰補(bǔ)角不一定是兩條直線相交形成的；每個角的對頂角只有一個，而每個角的鄰補(bǔ)角有兩個。 兩直線相交，有4對鄰補(bǔ)角；2對對頂角 對頂角的性質(zhì)：對頂角相等 垂線：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。 注意：①兩條直線相交所成的四個角相等; ②兩條直線相交,有一組鄰補(bǔ)角相等; ③兩條直線相交,對頂角互補(bǔ).都可以判斷這兩條直線互相垂直 垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。 注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“過一點(diǎn)”中的“點(diǎn)”在直線上或在直線外。 垂線的性質(zhì)：性質(zhì)2 垂線段最短. 畫出PA在擺動過程中的幾個位置，如圖，點(diǎn)A1、A2、A3……在l上,連接PA1、PA2、PA3……，PO⊥ l，垂足為O，用疊合法或度量法比較PO、PA1、PA2、PA3……的長短，可知垂線段PO最短。 點(diǎn)到直線的距離：連接兩點(diǎn)的線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離，這里我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距離.如上圖，PO就是點(diǎn)P到直線l的距離。 注意：點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離一樣是一個正值，是一個數(shù)量，所以不能畫距離，只能量距離。 垂線的畫法： 畫已知線段或射線的垂線： （1）垂足在線段或射線上；（2）垂足在線段的延長線或射線的反向延長線上 例1.下圖中直線AB、CD相交于O，∠BOC的對頂角是 ，鄰補(bǔ)角是 例2.一個角的對頂角有 個，鄰補(bǔ)角最多有 個，而補(bǔ)角則可以有 個。 例3.判斷正確與錯誤,如果正確,請說明理由,若錯誤,請訂正. (1)直線外一點(diǎn)與直線上的一點(diǎn)間的線段的長度是這一點(diǎn)到這條直線的距離. (2)如圖,線段AE是點(diǎn)A到直線BC的距離. (3)如圖,線段CD的長是點(diǎn)C到直線AB的距離. （4）過直線外一點(diǎn)畫直線的垂線，垂線的長度叫做這個點(diǎn)到這條直線的距離； （5）從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段，叫做這個點(diǎn)到這條直線的距離； （6）兩條直線相交，若有一組對頂角互補(bǔ)，則這兩條直線互相垂直； （7）兩條直線的位置關(guān)系要么相交，要么平行。 例4.如圖，過鈍角頂點(diǎn)B作AB、BC、CA的垂線，分別交于AC于D、E、F，并指出所畫三條垂線的垂足。 例5.如圖，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，MN分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊。 （1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時，距離村莊M最近，行駛到點(diǎn)Q位置時，距離村莊N最近，請?jiān)趫D中的AB上分別畫出點(diǎn)P、Q的位置； （2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在哪一個位置到村莊M、N的路程之和最短？請?jiān)趫D中標(biāo)出這個位置。 例6.已知：如圖，直線a、b、c兩兩相交，∠1=2∠3，∠2=860，求∠4的度數(shù)． 例7.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,OD平分∠BOF,EO⊥CD于O,∠EOF=1180,求∠COA的度數(shù)。 例8.如圖,O是直線AB上的一點(diǎn)，OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線，求證：OD⊥OE. 例9.已知,如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:∠DOE=4:1,求∠AOF的度數(shù)． 課堂練習(xí)： 1.判斷正誤 (1)如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角． ( )． (2)如果兩個角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個角是對頂角． ( )． (3)有一條公共邊的兩個角是鄰補(bǔ)角． ( )． (4)如果兩個角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互為補(bǔ)角． ( )． (5)對頂角的角平分線在同一直線上． ( )． (6)有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個角是鄰補(bǔ)角． ( )． 2.如圖所示，直線l1，l2，l3相交于一點(diǎn)，則下列答案中，全對的一組是( )． A.∠1=900，∠2=300，∠3=∠4=600； B.∠1=∠3=900，∠2=∠4=30 C.∠1=∠3=900，∠2=∠4=60 D.∠1=∠3=900，∠2=600，∠4=30 3.如圖所示,∠1和∠2是對頂角的圖形有( ) 4.在兩條直線相交所成的四個角中，( )不能判定這兩條直線垂直 A.對頂角互補(bǔ) B.四對鄰補(bǔ)角 C.三個角等 D.鄰補(bǔ)角相等 5.互為鄰補(bǔ)角的角平分線關(guān)系是 . ( ) A.互相垂直 B.相交而不垂直 C.成一條直線 D.以上都有可能 6.直線a、b、c相交于點(diǎn)O，則圖中對頂角共有( ) A.6對 B.5對 C.4對 D.3對 7.下列說法正確的是( ) A.相等的角是對頂角 B.一個角的鄰補(bǔ)角只有一個 C.補(bǔ)角即為鄰補(bǔ)角 D.對頂角的平分線在一條直線上 8.如圖,直線AB和CD相交于點(diǎn)O,若∠AOD與∠BOC的和為236,則∠AOC的度數(shù)為( ) A.62 B.118 C.72 D.59 9.點(diǎn)到直線的距離是指 .( ) A.直線外一點(diǎn)與這條直線上一點(diǎn)所連結(jié)的線段 B.直線外一點(diǎn)與這條直線上任一點(diǎn)所連結(jié)的線段的長度 C.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段 D.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度 10.如圖所示,下列說法不正確的是( )毛 A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB; B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC C.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段; D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段 11.如圖，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，則下列關(guān)系不成立的是( ) 　　A．AB>AC>AD 　 　B．AB>BC>CD 　 　C．AC+BC>AB 　 　D．AC>CD>BC 12.點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn),點(diǎn)A,B,C為直線m上三點(diǎn),PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點(diǎn)P到直線m的距離為( ) A.4cm B.2cm C.小于2cm D.不大于2cm 13.如圖，直線AB、CD相交于O點(diǎn)，∠AOE=90， ①∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互為______角；∠2和∠3互為______角；∠1和∠3互為______角；∠2和∠4互為______角． ②若∠1＝20，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______=______-______=______； ∠4＝∠______-∠1＝______-______=______. 14.如圖，直線AB與CD相交于O點(diǎn)，且∠COE=90，則 ①與∠BOD互補(bǔ)的角有________________________________________； ②與∠BOD互余的角有________________________________________； ③與∠EOA互余的角有________________________________________； ④若∠BOD=42017′，則∠AOD＝______；∠EOD＝_____；∠AOE＝_____. 15.如圖所示,直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O,則∠AOD的對頂角是 ,∠AOC的鄰補(bǔ)角是 若∠AOC=50,則∠BOD= ,∠COB= . 16.如圖，AB⊥CD,垂足為O,EF經(jīng)過點(diǎn)O，且∠3＝260，則∠1＝ . 17.如圖，線段 的長度表示點(diǎn)D到直線BC的距離，線段 的長度表示點(diǎn)B到直線CD的距離，線段 的長度表示點(diǎn)A、B之間的距離。 18.如圖, ∠1和∠2互為余角,EF⊥AB，則∠1= ；∠2= . 19.如圖，直線AB、CD、EF相交于O點(diǎn)，則∠AOC= ，∠COE= ，∠AOC的鄰補(bǔ)角是 . 20.直線AB、CD相交于點(diǎn)O， ⑴如果∠AOC+∠BOD=1000，那么∠AOD= ；⑵如果∠B0C比∠AOC的2倍大300，那么∠AOC= . 21.直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，⑴∠BOE的鄰補(bǔ)角是___________；⑵∠DOA的對頂角是___________；⑶如果∠AOC=500，那么∠BOD= ，∠COB= . 22.如圖，∠AOB是直角，C、O、D三點(diǎn)共線，∠AOC=25，則∠AOC的余角的補(bǔ)角為 . 23.下列說法：①一條直線有且只有一條垂線；②畫出點(diǎn)P到直線l的距離；③兩條直線相交就是垂直；④線段和射線也有垂線，其中正確的有 . 24.三角形ABC中，∠C=900，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，那么點(diǎn)B到直線 AC的距離是___________， A、B兩點(diǎn)的距離是________. 25.如圖，已知，，試說明. 證明：∵，， ∴( ) ∴ ==________. 26.按要求畫圖： (1）如圖，過A點(diǎn)作CD⊥MN，過A點(diǎn)作PQ⊥EF于B． (圖a) (圖b) (圖c) (2)如圖，過A點(diǎn)作BC邊所在直線的垂線EF，垂足是D，并量出A點(diǎn)到BC邊的距離． (圖a) (圖b) (圖c) (3)如圖，已知∠AOB及點(diǎn)P，分別畫出點(diǎn)P到射線OA、OB的垂線段PM及PN． (圖a) (圖b) (圖c) (4)如圖，小明從A村到B村去取魚蟲，將魚蟲放到河里，請作出小明經(jīng)過的最短路線． 27.如圖所示，如果OA⊥OC,O是垂足，OB是一條射線，且∠AOB:∠AOC=2:3,求∠BOC的度數(shù)。 28.如圖，MN⊥AB,垂足為M,MC平分∠AMD, ∠BMD=440,求∠CMN的度數(shù)。 29.如圖，已知直線AB、CD、EF相交于O，OG⊥AB，且∠FOG=32，∠COE=38，求∠BOD． 30.如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，，，OC平分． ⑴求的度數(shù)；⑵求的度數(shù)． 課后練習(xí)： 1.判斷下列語句是否正確?(正確的畫“√”，錯誤的畫“”) (1)兩條直線相交，若有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線互相垂直． ( )． (2)若兩條直線相交所構(gòu)成的四個角相等，則這兩條直線互相垂直． ( )． (3)一條直線的垂線只能畫一條． ( )． (4)平面內(nèi)，過線段AB外一點(diǎn)有且只有一條直線與AB垂直． ( )． (5)度量直線l外一點(diǎn)到直線l的距離． ( )． (6)點(diǎn)到直線的距離，是過這點(diǎn)畫這條直線的垂線，這點(diǎn)與垂足的距離． ( )． (7)畫出點(diǎn)A到直線l的距離． ( )． (8)在三角形ABC中，若∠B=90，則AC＞AB． ( )． 2.若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC=α，則∠AOD等于( )． A.1800-2a B.1800-a C. D.2-90 3.下列說法，錯誤的是 .( ) A.垂線段最短 B.對頂角相等 C.同位角相等 D.一個銳角的補(bǔ)角大于這個銳角 4.直線a上一點(diǎn)A與a外一點(diǎn)B的距離為2，與a外一點(diǎn)C的距離為3，則點(diǎn)B到a的距離d1與點(diǎn)C到直線a的距離d2的關(guān)系是 . A.d1< d2 B.d1= d2 C.d1> d2 D.以上都有可能 5.如果∠AOB和∠BOC互補(bǔ)，則∠AOB和∠BOC的角平分線關(guān)系是 .( ) A.垂直 B.相交但不垂直 C.重合 D.以上三種情況都有可能 6.點(diǎn)P是直線l,點(diǎn) A、B、C 為直線l上三點(diǎn),PA=5cm,PB=4cm,PC=3cm,則點(diǎn)P到直線l的距離( ) A.等于4cm B.等于3cm C.小于3cm D.不大于3cm 7.如圖，直線a、b相交，∠1=120，則∠2＋∠3=（　 　） A.60 B.90 C.120 D.180 8.如圖，直線a、b、c兩兩相交，共構(gòu)成 對對頂角. 9.如圖，直線a，b，c交于O，∠1=30，∠2=50，則∠3=________． 10.如圖，CB⊥AB，∠CBA與∠CBD的度數(shù)比是5:1，則∠DBA＝_____度，∠CBD的補(bǔ)角是______度 11.如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O,OE⊥AB于O,∠EOC=280,則∠AOD= 度。 12.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，點(diǎn)A到BC邊的距離是線段_____的長，點(diǎn)B到CD邊的距離是線段_____的長，圖中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。 13.已知點(diǎn)O直線AB上一點(diǎn)，OD平分， OE平分，試說明. 證明 ：點(diǎn)O在直線AB上， ( ) OD平分， OE平分， ____，( ) 即. ∴( ). 14.如圖，EOF為一條直線，∠AOB=∠COD=900，OE平分∠COB，∠EOB=15030′，求∠AOF. 15.已知：如圖，三條直線AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF,∠AOE=700，若OG平分∠BOF，求∠DOG． 能力提高： 1.如圖所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a, BC=b,則BD的范圍是( ) A.大于a B.小于b C.大于a或小于b D.大于b且小于a 2.如圖，BC⊥AC，AD⊥CD，AB=m，CD=n，則AC的長的取值范圍是( )． A.AC＜m B.AC＞n C.n≤AC≤m D.n＜AC＜m 3.如圖，AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，能表示點(diǎn)到直線(或線段)的距離的線段有( )條．A.3 B.4 C.7 D.8 4.若直線a與直線b相交于點(diǎn)A，則直線b上到直線a距離等于2cm的點(diǎn)的個數(shù)是( )． A.0 B.1 C.2 D.3 5.OC把∠AOB分成兩部分：①∠AOC=直角＋∠BOC;②∠BOC=平角-∠AOC. 問：（1）OA與OB的位置關(guān)系怎樣？（2）OC是否為∠AOB的平分線？并寫出判斷的理由。 6.回答下列問題： (1)三條直線AB、CD、EF兩兩相交，圖形中共有幾對對頂角(平角除外)?幾對鄰補(bǔ)角? (2)四條直線AB、CD、EF、GH兩兩相交，圖形中共有幾對對頂角(平角除外)?幾對鄰補(bǔ)角? (3)m條直線a1、a2、a3，……，am－1，am相交于點(diǎn)O，則圖中一共有幾對對頂角(平角除外)?幾對鄰補(bǔ)角? 7.從點(diǎn)O引出四條射線OA、OB、OC、OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，試探索∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系． 8.一個銳角與一個鈍角互為鄰角，過頂點(diǎn)作公共邊的垂線，若此垂線與銳角的另一邊構(gòu)成直角，與鈍角的另一邊構(gòu)成直角，則此銳角與鈍角的和等于直角的多少倍? 第2課 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角 “三線八角” 兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖所示。 （1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)， 直線a,b的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角 還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。 （2）內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁， 直線a,b的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯角。圖中的內(nèi)錯角 還有∠4與∠6。 （3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)， 直線a,b的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。 平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 注意： （1）在平行線的定義中，“在同一平面內(nèi)”是個重要前提； （2）必須是兩條直線； （3）同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是：相交或平行，兩條互相重合的直線視為同一條直線。 兩條直線的位置關(guān)系是以這兩條直線是否在同一平面內(nèi)以及它們的公共點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行分類的。 平行線的表示方法： 平行用“∥”表示，直線AB與直線CD平行，記作AB∥CD，讀作AB 平行于CD。 平行線的畫法：（平移法） 平行線的基本性質(zhì)： （1）平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。 （2）平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。 (3)行線間的距離，即平行線間的距離處處相等. 例1.如下圖所示，直線DE、BC被直線AB所截，問∠1與∠4，∠2與∠4，∠3與∠4各是什么角？ 例2.如圖，判斷下列角之間的關(guān)系： （1）∠1與∠2是兩條直線______與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。 （2）∠1與∠3是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。 （3）∠3與∠4是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。 （4）∠5與∠6是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。 課堂練習(xí)： 1.圖中，∠1和∠2是同位角的是( ) 2.如圖，判斷錯誤的是 （ ） A.∠1和∠7是同旁內(nèi)角 B.∠3和∠4是同位角 C.∠5和∠6是對頂角 D.∠8和∠1是內(nèi)錯角 3.如圖，下列說法中錯誤的是( ) A.是同位角 B.是同旁內(nèi)角 C.是同位角 D.是內(nèi)錯角 4.如圖，下面結(jié)論正確的是（ ） A.是同位角 B.是內(nèi)錯角 C.是同旁內(nèi)角 D.是內(nèi)錯角 5.如圖，圖中同旁內(nèi)角的對數(shù)是（ ） A.2對 B.3對 C.4對 D.5對 6.如圖，能與構(gòu)成同位角的有（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 7.如圖，若直線a、b被直線c所截，在所構(gòu)成的八個角中指出，下列各對角之間是屬于哪種特殊位置關(guān)系的角? (1)∠1與∠2是______；(2)∠5與∠7是______； (3)∠1與∠5是______；(4)∠5與∠3是______； (5)∠5與∠4是______；(6)∠8與∠4是______； (7)∠4與∠6是______；(8)∠6與∠3是______； (9)∠3與∠7是______；(10)∠6與∠2是______． 8.如圖：(1)∠D的同位角是 ;(2)∠D的內(nèi)錯角是 ;(3)∠D的同旁內(nèi)角是______． 9.已知如圖， ?、佟?與∠2是_______被_______所截成的_______角； ?、凇?與∠3是_______被_______截成的_______角； 　③∠3與∠A是_______被_______截成的_______角； 　④AB、AC被BE截成的同位角_______，內(nèi)錯角_______，同旁內(nèi)角_______； ?、軩E、BC被AB截成的同位角是_______，內(nèi)錯角_______，同旁內(nèi)角_______． 10.如圖, ∠1和∠2是 角, ∠3和 是內(nèi)錯角, ∠4和∠5是 角. 11.如圖,∠1的同位角是_______________,∠1的內(nèi)錯角是_______________,∠1的同旁內(nèi)角是_______________. 12.如圖,直線截直線所得的同位角有_______________對,它是_______________;內(nèi)錯角有_______________對,它們是_______________;同旁內(nèi)角有_______________對,它們是_______________;對頂角有_______________對,它們是_______________. 課后練習(xí)： 1.如圖，∠1和∠2是同位角的是 .（ ） 2.如圖，下列結(jié)論正確的是( ) (A)∠5與∠2是對頂角 (B)∠1與∠3是同位角 (C)∠2與∠3是同旁內(nèi)角 (D)∠1與∠2是同旁內(nèi)角 3.如圖，∠1和∠2是內(nèi)錯角，可看成是由直線( ) (A)AD、BC被AC所截構(gòu)成 (B)AB、CD被AC所截構(gòu)成 (C)AB、CD被AD所截構(gòu)成 (D)AB、CD被BC所截構(gòu)成 4.如圖，圖中的內(nèi)錯角的對數(shù)是（ ） A.2對 B.3對 C.4對 D.5對 5.如圖所示， (1)∠B和∠ECD可看成是直線AB、CE被直線______所截得的______角； (2)∠A和∠ACE可看成是直線______、______被直線______所截得的______角． 6.如圖所示， (1)∠AED和∠ABC可看成是直線______、______被直線______所截得的______角； (2)∠EDB和∠DBC可看成是直線______、______被直線______所截得的______角； (3)∠EDC和∠C可看成是直線______、______被直線______所截得的______角． 7.如圖，已知四條直線AB、AC、DE、FG （1）∠1與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. (2) ∠3與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. (3) ∠5與∠6是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. (4) ∠4與∠7是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. (5) ∠8與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. 8.指出圖中， ① ∠ 2和∠ 5的關(guān)系是___________； ② ∠ 3和∠ 5的關(guān)系是___________； ③ ∠ 2和____是直線____、______被_____所截，形成的同位角； ④ ∠ 1和∠ 4呢?∠ 3和∠ 4呢?∠ 6和∠ 7是對頂角嗎? 9.如圖，∠BEF的同位角是 ，內(nèi)錯角是 ，同旁內(nèi)角是 . 10.如圖，∠1和∠C是直線 和直線 被直線 截成的 . 11.如圖，∠1和∠2是直線 和 被直線 所截成的 . 能力提高： 1.如圖，直線AB、CD與直線EF、GH分別相交，圖中的同旁內(nèi)角共有( )對． (A)4對 (B)8對 (C)12對 (D)16對 2.如圖,與∠C是同旁內(nèi)角的有( )個. A.2 B.3 C.4 D.5 3.如果∠1與∠2互為補(bǔ)角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是( ). A.(∠1+∠2) B.∠1 C.(∠1-∠2) D.∠2 第3課 平行線的判定 平行線的判定方法： （1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。 （2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。 （3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。 （4）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。 （5）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。 例1.已知：如圖，請分別依據(jù)所給出的條件，判定相應(yīng)的哪兩條直線平行?并寫出推理的根據(jù)． (1)如果∠2=∠3，那么____________.(____________，____________) (2)如果∠2=∠5，那么____________.(____________，____________) (3)如果∠2+∠1=1800，那么____________.(____________，____________) (4)如果∠5=∠3，那么____________.(____________，____________) (5)如果∠4+∠6=1800，那么____________.(____________，____________) (6)如果∠6=∠3，那么____________.(____________，____________) 例2.如圖，已知：∠1+∠2=1800，∠3=78，求∠4的大小 例3.如圖，已知∠AMF=∠BNG=750，∠CMA=550，求∠MPN的大小。 例4.如圖，∠1與∠3為余角，∠2與∠3的余角互補(bǔ)，∠4=1150，CP平分∠ACM，求∠PCM 例5.如圖，DE，BE 分別為∠BDC，∠DBA的平分線，∠DEB=∠1+∠2。 （1）求證：AB∥CD；（2）求證：∠DEB=900。 課堂練習(xí)： 1.已知直線a與直線c的夾角等于直線b與直線c的夾角，則直線a和直線b的位置關(guān)系是( ). A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能確定 2.下列與垂直相交的洗法:①平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線互相平行; ②一條直線如果它與兩條平行線中的一條垂直,那么它與另一條也垂直;③平行內(nèi), 一條直線不可能與兩條相交直線都垂直,其中說法錯誤個數(shù)有( ) A.3個 B.2個 C.1個 D.0個 3.如圖，要得到a∥b，則需要條件（　?。? A.∠2=∠4 B. ∠1+∠3=180 C.∠1+∠2=180 D. ∠2=∠3 4.如圖，給出了過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（　　） A. 同位角相等，兩直線平行 B. 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 C. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行　　 D. 兩直線平行，同位角相等 5.已知：如圖，請分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號內(nèi)注明理由． (1)∵∠B=∠3(已知)，∴______∥______.(______，______) (2)∵∠1=∠D(已知)，∴______∥______.(______，______) (3)∵∠2=∠A(已知)，∴______∥______.(______，______) (4)∵∠B＋∠BCE=180(已知)，∴______∥______.(______，______) 6.已知：如圖，∠1=∠2，求證：AB∥CD． (方法一)分析：如圖，欲證AB∥CD，只要證∠1=______． 證法1： ∵∠1=∠2，(已知) 又∠3=∠2，( ) ∴∠1=______．( ) ∴AB∥CD．( ， ) (方法二)分析：如圖，欲證AB∥CD，只要證∠3=∠4． 證法2： ∴∠4=∠1，∠3=∠2，( ) 又∠1=∠2，(已知) 從而∠3=______．( ) ∴AB∥CD．( ， ) 7.已知：如圖，∠1=∠2，∠3=110，求∠4的度數(shù)． 解題思路分析：欲求∠4，需先證明______//______. 解：∵∠1＝∠2，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠4＝______＝______.( ， ) 8.如圖，當(dāng)∠1=∠_____時，AB∥CD；當(dāng)∠D＋∠_____=180時，AB∥CD；當(dāng)∠B=∠_____時，AB∥CD。 9.已知：如圖，。求證：。 證明：（ ） （ ） （ ） （ ） 10.如圖,AB⊥BD,CD⊥MN,垂足分別是B、D點(diǎn),∠FDC=∠EBA. (1)判斷CD與AB的位置關(guān)系;(2)BE與DE平行嗎?為什么? 11.如圖,∠1+∠2=180,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF. (1)AE與FC會平行嗎?說明理由. (2)AD與BC的位置關(guān)系如何?為什么? (3)BC平分∠DBE嗎?為什么. 課后練習(xí)： 1. 已知：如圖，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，試確定射線DF與AE的位置關(guān)系，并說明你的理由． (1)問題的結(jié)論：DF______AE． (2)證明思路分析：欲證DF______AE，只要證∠3＝______． (3)證明過程： 證明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( ) ∴∠CDA＝∠DAB＝______．(垂直定義) 又∠1＝∠2，( ) 從而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性質(zhì)) 即∠3＝______. ∴DF______AE．(___________，___________) 2.已知：如圖，∠ABC=∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3．求證：AB∥DC． 證明∵∠ABC=∠ADC， ∴( ) 又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC， ∴( ) ∵∠______＝∠______.( ) ∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝______．(等量代換) ∴______∥______.( ) 3.已知：如圖，∠1=∠2，∠3+∠4=180，試確定直線a與直線c的位置關(guān)系，并說明你的理由． (1)問題的結(jié)論：a______c． (2)證明思路分析：欲證a______c，只要證______∥______． (3)證明過程： 證明：∵∠1=∠2，( ) ∴a∥______，(_________，_________)① ∵∠3＋∠4=180 ∴c∥______，(_________，_________)② 由①、②，因?yàn)閍∥______，c∥______， ∴a______c.(_________，_________) 4.如圖，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G, ∠1=∠2,試問ED∥BC嗎？說說你的理由。 5.如圖，CD∥AB,∠DCB=700，∠CBF=200，∠EFB=1300，問直線EF與CD有怎樣的位置關(guān)系，為什么？ 6.如圖，已知∠1+∠2=1800，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并對結(jié)論進(jìn)行說理． 能力提高： 1.將一副三角板如圖放置，使點(diǎn)A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的度數(shù)為（ 　　） A.45 B.50 C.60 D.75 2.學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過己知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖（1）～（4）），從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（　 ?。? ①兩直線平行，同位角相等； ②兩直線平行，內(nèi)錯角相等； ③同位角相等，兩直線平行； ④內(nèi)錯角相等，兩直線平行。 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.如圖，∠ADC=∠ABC， ∠1＋∠2=180，AD為∠FDB的平分線，說明：BC為∠DBE的平分線。 4.已知：如圖，∠1=∠2,∠3=∠B,AC∥DE,，且B、C、D在一條直線上。求證：AE∥BD. 5.已知：如圖，∠E=∠F,∠1=∠2.求證：∠BAP+∠APD=1800. 6.已知：如圖，。求證： 7.如圖，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=400，∠D=300，求∠NMP的度數(shù)。 第4課 平行線的性質(zhì) 平行線的性質(zhì)： （1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡記：兩直線平行，同位角相等。 （2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡記：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。 （3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡記：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 例1.已知：如圖，請分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號內(nèi)注明理由． (1)如果AB∥EF，那么∠2=______，理由是_____________________________________. (2)如果AB∥DC，那么∠3=______，理由是____________________________________. (3)如果AF∥BE，那么∠1+∠2=______，理由是_______________________________. (4)如果AF∥BE，∠4=120，那么∠5=______，理由是________________________. 例2.已知：如圖，DE∥AB．請根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，分別得出結(jié)論，并在括號內(nèi)注明理由． (1)∵DE∥AB，( ) ∴∠2=______.( ， ) (2)∵DE∥AB，( ) ∴∠3=______.( ， ) (3)∵DE∥AB( )， ∴∠1＋______=180．( ， ) 例3.如圖所示，AB//CD，A=1350，E=800。求CDE的度數(shù)。 例4.如圖，已知：∠BAP與∠APD 互補(bǔ)，∠1=∠2，說明：∠E=∠F. 例5.如圖，已知AB∥CD，P為HD上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交HF于O點(diǎn)，試問：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎樣的關(guān)系？用式子表示并證明。 例6.如圖，已知AB∥CD，說明：∠B＋∠BED＋∠D=360. 例7.已知：如圖，E、F分別是AB和CD上的點(diǎn)，DE、AF分別交BC于G、H,A=D,1=2, 求證：B=C。 課堂練習(xí)： 1.下列語句:①三條直線只有兩個交點(diǎn),則其中兩條直線互相平行; ②如果兩條平行線被第三條截,同旁內(nèi)角相等,那么這兩條平行線都與第三條直線垂直; ③過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行, 其中( ) A.①、②是正確的命題 B.②、③是正確命題 C.①、③是正確命題 D.以上結(jié)論皆錯 2.如圖,如果AB∥CD,那么圖中相等的內(nèi)錯角是( ) A.∠1與∠5,∠2與∠6 B.∠3與∠7,∠4與∠8 C.∠5與∠1,∠4與∠8 D.∠2與∠6,∠7與∠3 3.如圖，AB∥ED，則∠A+∠C+∠D=（　?。? A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 4.如圖，AB∥CD，則結(jié)論：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠1+∠3=∠2+∠4中正確的是（ ） A.只有（1） B.只有（2） C.（1）和（2） C.（1）（2）（3） 5.如圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，則圖中與∠1相等的角（不包括∠1）的個數(shù)是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 6.如圖，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=1100，則∠ECD的度數(shù)為（ ） A.110 B.70 C.55 D.35 7.如圖，如果DE∥BC，那么圖中互補(bǔ)的角的對數(shù)是（ ） A. 2對 B. 3對 C. 4對 D. 5對 8.如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少300，那么這兩個角是（ ） A.420,1380 B. 都是100 C.420,1380 或420,100 D.以上都不對 9.已知：如圖，∠1+∠2=180，求證：∠3=∠4． 證明思路分析：欲證∠3=∠4，只要證______//______. 證明：∵∠1＋∠2=180，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠3=∠4．( ， ) 10.已知：如圖，∠A=∠C，求證：∠B=∠D． 證明思路分析：欲證∠B=∠D，只要證______//______. 證明：∵∠A=∠C，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠B＝∠D．( ， ) 11.已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠B，求證：CD是∠BCE的平分線． 證明思路分析：欲證CD是∠BCE的平分線，只要證______//______. 證明：∵AB∥CD，( ) ∴∠2=______.( ， ) 但∠1=∠B，( ) ∴______=______.(等量代換) 即CD是_______________________. 12.已知：如圖，AB∥CD，∠B＝35，∠1＝75，求∠A的度數(shù)． 解題思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大?。? 解：∵CD∥AB，∠B=35，( ) ∴∠2＝∠______=______( ， ) 而∠1＝75， ∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______。 ∵CD∥AB，( ) ∴∠A＋______＝180．( ， ) ∴∠A＝______=______. 13.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B=50．求∠D的度數(shù)． 分析：可利用∠DCE作為中間量過渡． 解：∵AB∥CD，∠B=50，( ) ∴∠DCE=∠______=______(_________，_________) 又∵AD∥BC，( ) ∴∠D＝∠______=______(_________，_________) 想一想：如果以∠A作為中間量，如何求解? 解法2：∵AD∥BC，∠B=50，( ) ∴∠A＋∠B=______.(_________，_________) 即∠A＝______-______=______-______=______. ∵DC∥AB，( ) ∴∠D＋∠A=______.(_________，_________) 即∠D＝______-______=______-______=______. 14.已知：如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數(shù)． 解：過P點(diǎn)作PM∥AB交AC于點(diǎn)M． ∵AB∥CD，( ) ∴∠BAC＋∠______=180( ) ∵PM∥AB， ∴∠1=∠______，( ) 且PM∥______。(平行于同一直線的兩直線也互相平行) ∴∠3=∠______。(兩直線平行，內(nèi)錯角相等) ∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，( ) ( ) ( ) ∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90( ) 總結(jié)：兩直線平行時，同旁內(nèi)角的角平分線______。 15.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，你能發(fā)現(xiàn)BE和CF有怎樣的位置關(guān)系么？并證明你的結(jié)論。 16.如圖：（1）若AE平分∠CAD，AE∥BC，則∠B=∠C。（2）若∠B=∠C，AE∥BC，則AE平分∠CAD。 17.求證：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線互相平行． 課后練習(xí)： 1.如圖，AD∥BC，∠1=600，∠2=500，則∠A=（ ），∠CBD=（ ），∠ADB=（ ）， ∠A＋∠ADB＋∠2=（ ） 2.如圖，AB∥CD，直線l平分∠AOE，∠1=40，則∠2=________ 3.如圖，a∥b，AB⊥a垂足為O，BC與b相交于點(diǎn)E，若∠1=43，則∠2= 4.如圖,直線a、b被C所截,a⊥L于M,b⊥L于N,∠1=66,則∠2=_______ 5.在同一平面內(nèi)有三條直線a、b、c，已知a∥b，且c⊥a，則b與c的位置關(guān)系是 。 6.如圖，由A測B的方向是 ，由B測A的方向是 7.某人在廣場上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛方向與原來相同，這兩次拐彎的角度可能是( ) A.第一次左拐30，第二次右拐30 B.第一次右拐50，第二次左拐130 C.第一次右拐50，第二次右拐130 D.第一次向左拐50，第二次向左拐130 8.如圖，∵∠1=∠2∴ ∥ （ ） ∴∠D= （ ） 又∵∠D=∠3（已知） ∴∠ =∠ （ ） ∴ ∥ （ ） 9.如圖所示，已知∠AOB=50，PC∥OB，PD平分∠OPC，則∠APC=___，∠PDO=______ 10.如圖,MN⊥AB,垂足為M點(diǎn),MN交CD于N,過M點(diǎn)作MG⊥CD,垂足為G,EF 過點(diǎn)N點(diǎn),且EF∥AB,交MG于H點(diǎn),其中線段GM的長度是________到________的距離, 線段MN的長度是________到________的距離,又是_______的距離,點(diǎn)N到直線MG 的距離是___. 11.如圖,AD∥BC,EF∥BC,BD平分∠ABC,圖中與∠ADO相等的角有_______ 個,分別是___________. 12.已知：如圖，已知DE∥BC，∠D:∠DBC=2:1，∠1:∠2，求∠E的度數(shù)． 13.小張從家（圖中A處）出發(fā)，向南偏東40方向走到學(xué)校（圖中B處），再從學(xué)校出發(fā)，向北偏西75的方向走到小明家（圖中C處），試問∠ABC為多少度？說明你的理由。 14.如圖，AB∥CD，∠ABE=∠FCD，∠F=40，求∠E的度數(shù)。 15.已知，∠DBF：∠ABF：∠BFC=1：2：3，AB∥CD，說明：BA平分∠EBF. 能力提高： 1.如圖，AB∥CD，∠E=40，∠C=65，則∠EAB的度數(shù)為（ ） A．65 B．75