《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)例題與習(xí)題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)例題與習(xí)題（34頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)例題和習(xí)題第一章 矢量和張量分析第一節(jié) 矢量與張量代數(shù)一、矢量代數(shù)令, , 則有又因為: ; ;則: 習(xí)題:1、證明下列恒等式：1）2) 2、請判斷下列矢量是否線性無關(guān)？ .其中為單位正交基矢量。3、試判斷是否有逆矩陣；如有，請求出其逆陣。二、張量代數(shù)例1：令是一個張量，其使得矢量，經(jīng)其變換后變?yōu)?，假定一個矢量，求。解：利用張量的線性性質(zhì)，有：=例2：假定一個張量將基矢變換成以下形式： 那么該張量將變換成什么樣的結(jié)果？解：由對基矢量的變換張量可知的矩陣表示為： 則有：即 例3：利用張量的變換定義證明：1）若為一個二階張量，則為一四階張量；2）若為一矢量，則對任意坐標(biāo)系滿足的為一矢量
2、。 證明：1）因為為一二階張量，由張量的變換定義有： 則有 令 則有 即為一四階張量。2）由于和分別是矢量和張量，則有 由此可得： （*）又因為對于任意坐標(biāo)系都成立，則有 由（*）式可得： 等式兩邊同時乘以可得： 又因為 ，則 或 所以 由于上式對任一張量都成立，則有 即這即是矢量的定義所滿足的方程變換，因此是一個矢量的分量。習(xí)題 1、證明：如果和為任意二階張量和的分量，且對任意坐標(biāo)系都成立，則為一四階張量。例4：已知張量的矩陣形式為：，求張量的特征值和特征向量。解：由求特征值和特征向量的特征方程有：由此，可得三個不同的特征值： 對，由可得： （為待求的特征向量） 利用可解得： 則與對應(yīng)的特征
3、向量為：對于，同理有： 同樣利用可解得： 則與對應(yīng)的特征向量為： 同理，對應(yīng)的特征向量為： 習(xí)題：1、令一張量可用矩陣形式表示，則：a)求的主值和主方向；b)求的主不變量；c)如果、是的主方向，則寫出d)針對同樣的基矢量，矩陣能否表示同樣的張量？2、令和是任意兩個張量，試證明：a)是一個張量；b)；c）3、令一張量的矩陣形式為：，則：a)求張量的對稱部分和反對稱部分；b)求的反對稱部分的對偶矢量（或軸矢量）。第二節(jié) 矢量和張量的分析例1:利用指標(biāo)定義證明下列等式：1），2），p是整數(shù)；3），F(xiàn)為任一標(biāo)量函數(shù)。證明：（1）對于任意矢量，有。 則 由此也可得： （2）對 (3）因為 且關(guān)于i和j對
4、稱，則對于該矢量的第k個分量有 （i，j互換） （重新將i變?yōu)閖，j變?yōu)閕） (利用其對稱性)則 例2：證明證明：令為任一二階張量，則有： 其中 ；因為 結(jié)合二階張量的主不變量的定義可得： 這表明： 由張量的標(biāo)量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義有： （對任一二階張量） 則 又因為： 則有 由的任意性可得：習(xí)題1、令和為矢量場，為標(biāo)量場，證明下列不等式：a）b）c） （）d）2、對于，其中為一常值二階張量，證明：3、考慮一張量值函數(shù)，證明： （其中為一任意二階張量） 第二章 運動學(xué)第一節(jié) 物體的運動例1：考慮如下運動：，其中是質(zhì)點P在t時刻的位置矢量，而是質(zhì)點P在t=0時刻的位置矢量。請畫出初始時刻（t=0）具有
5、如下圖所示邊長為單位1的立方體形狀的物體在t時刻的構(gòu)型。解：由已知運動可得： ，a）在t=0時刻，質(zhì)點O位于原點（0, 0, 0），對該點t=0坐標(biāo)為：, , 由此可得對任意時刻，質(zhì)點O的坐標(biāo)保持為：換句話說，該點在整個運動中保持在（0, 0, 0）點處。同樣，對質(zhì)點A，t=0時刻有： 而t時刻為： 這也表明了質(zhì)點A在整個運動中也保持不動。實際上，在OA線段上所有的點都保持不動。b）然而對線段CB上的點，t=0時刻的坐標(biāo)為： 而由給定的運動方程可得t時刻的坐標(biāo)為： 這表明線段CB在水平方向上移動一個距離kt。c）對于線段OC上的點，t=0時刻的坐標(biāo)為：而t時刻的坐標(biāo)則為：表示直線OC在t時刻還
6、是一條直線，即如圖所示的d）同樣，線段AB在t時刻也保持為一條直線，即。這一個運動實際上就是距形平面在面內(nèi)的簡單剪切運動。第二節(jié) 變形梯度例1、一個連續(xù)體變形以后的構(gòu)形為： ，求其位移場。 解： 這表示受壓縮過程。 例2、在直角坐標(biāo)系下給定一個運動為：， 。求t=0,和時刻的變形梯度。 解：因為 所以t=0時刻， 時刻，例3、如果，求a)、變形梯度；b)、右伸長張量；c）、旋轉(zhuǎn)張量；d)、左伸長張量解：（a） （b）因為 所以 （因為上式一個正定的根） （c） （d） 或者 例4：給定在t時刻的運動： ，。求如圖所示的材料線段：（a）OP，（b）、OQ，（c）、OB的伸長。解：由給定的運動方程
7、可得變形梯度張量為： （對稱的定張量）可見給定的變形是均勻的純伸長變形。其特征向量為、，而對應(yīng)的特征值分別為：3、4、1。由此可得：（a）對OP線段，其伸長即為3（b）對OQ線段，其伸長即為4（c）對材料線段OB，有變形后為： 則 即 其伸長為： 變形前，線段OB和軸的夾角為，但變形后該夾角變?yōu)?。?：對簡單的剪切變形：，。 求：1）Lagrange應(yīng)變張量； 2）線段OB變形后的長度； 3）比較和線段OB變形后的長度值關(guān)系。 解：1）因為 所以 則由可得： 2）由圖所示的幾何關(guān)系可得OB段的長度變形后為，即 3) 因為，則有 因為，則有： 可見和有關(guān)，當(dāng)k很小時，有。例6：考慮如下單軸應(yīng)變場
8、對應(yīng)的位移分量為： ， （a）計算其Lagrange應(yīng)變張量和無限小張量； （b）利用和來計算，變形前后的伸長； （c）對線段，利用和分別計算其。解：（a） （b）由，有，則有， 即 另外，由=k，有，也可得 （c）令，則 則 （這可以由如圖所示的幾何關(guān)系而得）同樣，對，有： 則 注意到，當(dāng)k很小時，兩者一致。例7：對簡單的剪切變形：， （a）求Caudy-Green變形張量和； （b）利用驗證對這一變形， ； （c）驗證： （d）計算和 （e）畫出線元和變形前后的位置。由圖計算這兩個線元的伸長并與和比較。 解：（a）因為 所以 ， （b）因為 所以給出的滿足要求。 （c）因為 所以給出的正確
9、。 （d）由前面給出的可得為： 則可得： 令 （e）由圖可見，由表示，變形后變?yōu)椤?由于E和點之間的距離為kd，其保證是關(guān)于線段的 鏡像，其長度與相同，則該線元的伸長為1，這與的值相同。 同樣，由表示，變形后為，則長度的平方為： 而的長度dS=1，則有： 習(xí)題：1、對于一運動，其中為一個小的常數(shù)張量（即其分量值小且與無關(guān)），證明其無限小應(yīng)變張量可寫為：2、考慮如下運動：；令和為求變形構(gòu)形中的兩個微材料線元。（a）求變形后的和；（b）計算這些線元的伸長，以及它們之間的夾角的變化；（c）令和，重復(fù)（b）的計算；（d）比較（c）的結(jié)果和由小應(yīng)變張量得到的結(jié)果。3、給定如下運動：，求：（a）；（b）和；（c）；（d）；（e）Lagrange應(yīng)變；（f）Euler應(yīng)變；（g）變形前后的體積比；（h）法向矢量為，大小為1的單位面積變形后的大小和法向量。4、給定如下大小的剪切變形：，（a）求伸長張量，并驗證（右Caudy-Green張量）；（b）方向為上線元的伸長為多少？（c）計算方向為上的線元的伸長；（d）線元和變形后的夾角為多少？5、給定位移場：，。確定如圖所示的對角線線段OA的長度增加量：（a）利用應(yīng)變張量；（b）利用幾何關(guān)系。已知：的方向為。
連續(xù)介質(zhì)力學(xué)例題與習(xí)題
