中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專(zhuān)題 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

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1、初三第一輪復(fù)習(xí) 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 動(dòng)點(diǎn)題是近年來(lái)中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，解這類(lèi)題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問(wèn)題，變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解。一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬(wàn)變，首先根據(jù)題意理清題目中兩個(gè)變量X、Y的變化情況并找出相關(guān)常量，第二，按照?qǐng)D形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個(gè)基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個(gè)自變量的表達(dá)式表達(dá)出來(lái)，然后再根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識(shí)解出。第三，確定自變量的取值范圍，畫(huà)出相應(yīng)的圖象。 一、例題: 如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)

2、PM，使PM⊥AD . (1) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PM與AD相交于點(diǎn)E，求△APE的面積； (2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，且在A(yíng)B上以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng). 過(guò)Q作直線(xiàn)QN，使QN∥PM. 設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤10)，直線(xiàn)PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm2 . ① 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；② (附加題) 求S的最大值。 解題思路： 第（1）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，就是一個(gè)靜態(tài)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，AP=2 cm， 由∠A=60°，知AE=1，PE=. ∴ SΔAPE

3、= 第（2）問(wèn)就是一個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題了，題目要求面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，這就需要我們根據(jù)題目，綜合分析，分類(lèi)討論. P點(diǎn)從A→B→C一共用了12秒，走了12 cm， Q 點(diǎn)從A→B用了8秒，B→C用了2秒， 所以t的取值范圍是 0≤t≤10 不變量：P、Q 點(diǎn)走過(guò)的總路程都是12cm，P點(diǎn)的速度不變，所以AP始終為：t+2 若速度有變化，總路程 =變化前的路程+變化后的路程=變化前的速度×變化點(diǎn)所用時(shí)間+變化后的速度×（t－變化點(diǎn)所用時(shí)間）. 如當(dāng)8≤t≤10時(shí)，點(diǎn)Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8 ① 當(dāng)0≤t≤6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q都在A(yíng)B上運(yùn)動(dòng)， 設(shè)PM與AD

4、交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F， 則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=. ∴ 此時(shí)兩平行線(xiàn)截平行四邊形ABCD是一個(gè)直角梯形， 其面積為（PG + QF）×AG÷2 S=. 當(dāng)6≤t≤8時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q仍在A(yíng)B上運(yùn)動(dòng). 設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F， 則AQ=t，AF=，DF=4-（總量減部分量）， QF=，AP=t+2，BP=t-6（總量減部分量）， CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（總量減部分量）， PG=，而B(niǎo)D=， 故此時(shí)兩平行線(xiàn)截平行四邊形ABCD的面積為 平行四邊形的面積減去兩個(gè)三角形面積S=.

5、 當(dāng)8≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在BC上運(yùn)動(dòng). 設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與DC交于點(diǎn)F， 則AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8）=20-2t，（難點(diǎn)） QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=. ∴ 此時(shí)兩平行線(xiàn)截平行四邊形ABCD的面積為S=. ②(附加題)當(dāng)0≤t≤6時(shí)，S的最大值為； 當(dāng)6≤t≤8時(shí)，S的最大值為； 當(dāng)8≤t≤10時(shí)，S的最大值為； 所以當(dāng)t=8時(shí)，S有最大值為 . 二、練習(xí)： 1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，F(xiàn)G＝4cm，EG＝3cm，且點(diǎn)B、

6、F、C、G在直線(xiàn)上，△EFG由F、C重合的位置開(kāi)始，以1cm/秒的速度沿直線(xiàn)按箭頭所表示的方向作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)． （1）當(dāng)△EFG運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)E分別運(yùn)動(dòng)到CD上和AB上的時(shí)間； （2）設(shè)x（秒）后，△EFG與正方形ABCD重合部分的面積為y（cm），求y與x的函數(shù)關(guān)系式； （3）在下面的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出0≤x≤2時(shí)（2）中函數(shù)的大致圖象；如果以O(shè)為圓心的圓與該圖象交于點(diǎn)P（x，），與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左側(cè)），求∠PAB的度數(shù)． 2.已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、

7、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線(xiàn)移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒， （1）動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△APD的面積為S，試寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量的取值范圍，并求出S的最大值 （2）動(dòng)點(diǎn)P從出發(fā)，幾秒鐘后線(xiàn)段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo) 3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，0），（3，4）。動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)。其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC

8、向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)。過(guò)點(diǎn)N作NP⊥AC，交AC于P，連結(jié)MP。已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒。 （1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）；（用含x的代數(shù)式表示） （2）試求 ⊿MPA面積的最大值，并求此時(shí)x的值。 （3）請(qǐng)你探索：當(dāng)x為何值時(shí)，⊿MPA是一個(gè)等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫(xiě)出你的研究成果。 4.如圖，在中，，，厘米，質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)路作勻速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)Q從AC的中點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)沿線(xiàn)路作勻速運(yùn)動(dòng)逐步靠近質(zhì)點(diǎn)P，設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)P、Q的速度分別為1厘米/秒、厘米/秒（），它們?cè)诿牒笥贐C邊上的某一點(diǎn)E相遇。（1）求出AC與BC的

9、長(zhǎng)度；（2）試問(wèn)兩質(zhì)點(diǎn)相遇時(shí)所在的E點(diǎn)會(huì)是BC的中點(diǎn)嗎？為什么？（3）若以D、E、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，試分別求出與的值； 5.在三角形ABC中, .現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿射線(xiàn)AB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿射線(xiàn)CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng).如果點(diǎn)P的速度是/秒,點(diǎn)Q的速度是/秒,它們同時(shí)出發(fā),求:(1)幾秒鐘后,ΔPBQ的面積是ΔABC的面積的一半? (2)在第(1)問(wèn)的前提下,P,Q兩點(diǎn)之間的距離是多少? 6.如圖,已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=

10、3cm，BC=9cm．⊙O1的圓心O1從點(diǎn)A開(kāi)始沿A—D—C折線(xiàn)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，⊙O2的圓心O2從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，如果⊙O1半徑為2cm，⊙O2的半徑為4cm，若O1、O2分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts （1）請(qǐng)求出⊙O2與腰CD相切時(shí)t的值； （2）在0s

11、 （1）填空：0C=________，k=________； （2）求經(jīng)過(guò)O，C，B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，D同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OB由O→B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿DC由D→C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥CD交BC于點(diǎn)M，連結(jié)PM，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)你探索：當(dāng)t為何值時(shí)，△PMB是直角三角形。 - 6 -