高考數(shù)學(xué) 浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) Word版含解析

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1、 第4講冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱1.了解冪函數(shù)的概念；掌握冪函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，y的圖象和性質(zhì)；2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.知 識 梳 理1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1定義域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0， )y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)，

2、頂點坐標(biāo)為(m，n).零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0時，冪函數(shù)yxn在(0，)上是增函數(shù).()(3)二次函數(shù)yax2bxc(xR)不可能是偶函數(shù).()(4)二次函數(shù)yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()解析(1)由于冪函數(shù)的解析式為f(x)x，故y2x不是冪函數(shù)，(1)錯.(3)由于當(dāng)b0時，yax2bxcax2c為偶函數(shù)，故(3)錯.(4)對稱軸x，當(dāng)小于a或大于b時，最值不是，故(4)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.(20xx全國卷)已知a2，b3，

3、c25，則()A.bac B.abcC.bca D.caab.答案A3.已知f(x)x2pxq滿足f(1)f(2)0，則f(1)的值是()A.5 B.5 C.6 D.6解析由f(1)f(2)0知方程x2pxq0的兩根分別為1，2，則p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案C4.(20xx杭州測試)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，則f(1)_，若滿足f(4)8f(2)，則f_.解析由題意可設(shè)f(x)x，則f(1)1，由f(4)8f(2)得482，解得3，所以f(x)x3，故f.答案15.若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過原點，則實數(shù)m的值為_.解析由解得m1或2.經(jīng)檢驗m1或2都適合

4、.答案1或26.若函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_.解析二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸是x1a，由題意知1a3，a2.答案(，2考點一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】 (1)(20xx濟南診斷測試)已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點，則k等于()A. B.1 C. D.2(2)若(2m1)(m2m1)，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B.C.(1，2) D.解析(1)由冪函數(shù)的定義知k1.又f，所以，解得，從而k.(2)因為函數(shù)yx的定義域為0，)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價于解得即m0時，圖象過原點和(1，1)，在第一象限的圖象上升；當(dāng)0，二次函數(shù)f

5、(x)ax2bxc的圖象可能是()(2)(20xx武漢模擬)若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域為(，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_.解析(1)由A，C，D知，f(0)c0，所以ab0，知A，C錯誤，D滿足要求；由B知f(0)c0，所以ab0，所以xxk在區(qū)間3，1上恒成立，試求k的取值范圍.解(1)由題意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1.(2)由題意知，x22x1xk在區(qū)間3，1上恒成立，即kx2x1在區(qū)間3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)知g(x)在區(qū)間3，

6、1上是減函數(shù)，則g(x)ming(1)1，所以k1，故k的取值范圍是(，1).規(guī)律方法(1)對于函數(shù)yax2bxc，若是二次函數(shù)，就隱含著a0，當(dāng)題目未說明是二次函數(shù)時，就要分a0和a0兩種情況討論.(2)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.【訓(xùn)練3】 (20xx九江模擬)已知f(x)x22(a2)x4，如果對x3，1，f(x)0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_.解析因為f(x)x22(a2)x4，對稱軸x(a2)，對x3，1，f(x)0恒成立，所以討論對稱軸與區(qū)間3，1的位置關(guān)系得：或或解得a或1

7、a4或a1，所以a的取值范圍為.答案命題角度二二次函數(shù)的零點問題【例32】 (20xx全國卷)已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(2x)，若函數(shù)y|x22x3|與yf(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則xi()A.0 B.m C.2m D.4m解析由f(x)f(2x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱.又y|x22x3|(x1)24|的圖象也關(guān)于直線x1對稱，所以這兩函數(shù)的交點也關(guān)于直線x1對稱.不妨設(shè)x1x20時，圖象過原點和(1，1)點，在第一象限的部分“上升”；f(1)，則()A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以函數(shù)圖象應(yīng)開口

8、向上，即a0，且其對稱軸為x2，即2，所以4ab0.答案A3.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)yxa(a0)和yax的圖象可能是()解析若a0，yxa的圖象知排除A，B選項，但yax的圖象均不適合，綜上選B.答案B4.若函數(shù)f(x)x2axa在區(qū)間0，2上的最大值為1，則實數(shù)a等于()A.1 B.1C.2 D.2解析函數(shù)f(x)x2axa的圖象為開口向上的拋物線，函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.答案B5.若關(guān)于x的不等式x24x2a0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(，2) B.(2，)C.(6，) D.(，6)解析不等式x24x2a0在區(qū)間(1，

9、4)內(nèi)有解等價于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1，4)，所以f(x)f(4)2，所以a，得，即PRQ.答案PRQ7.若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是_.解析由f(x)x22ax在1，2上是減函數(shù)可得1，2a，)，a1.y在(1，)上為減函數(shù)，由g(x)在1，2上是減函數(shù)可得a0，故0f(a1)的實數(shù)a的取值范圍.解冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.f(x)x，則函數(shù)的定義域為0，)，并且在定義域上為增函數(shù).由f(2a)f(a1)得解得1a1，即a時，f(x

10、)maxf(1)2a1，2a11，即a1滿足題意.綜上可知，a或1.能力提升題組(建議用時：25分鐘)11.(20xx浙江卷)已知函數(shù)f(x)x2bx，則“b0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析f(x)x2bx，當(dāng)x時，f(x)min.又f(f(x)(f(x)2bf(x)，當(dāng)f(x)時，f(f(x)min，當(dāng)時，f(f(x)可以取到最小值，即b22b0，解得b0或b2，故“b0，若a，bR，且ab0，則f(a)f(b)的值()A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無法判斷解析依題意，冪

11、函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，解得m2，則f(x)x2 015.函數(shù)f(x)x2 015在R上是奇函數(shù)，且為增函數(shù).由ab0，得ab，f(a)f(b)，則f(a)f(b)0.答案A13.已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是_.解析作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖.則當(dāng)0k0，bR，cR).(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(xiàn)(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0，1上恒成立，試求b的取值范圍.解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(

12、21)28.(2)由a1，c0，得f(x)x2bx，從而|f(x)|1在區(qū)間(0，1上恒成立等價于1x2bx1在區(qū)間(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立.又x的最小值為0，x的最大值為2.2b0.故b的取值范圍是2，0.15.(20xx嘉興模擬)已知mR，函數(shù)f(x)x2(32m)x2m.(1)若0m，求|f(x)|在1，1上的最大值g(m)；(2)對任意的m(0，1，若f(x)在0，m上的最大值為h(m)，求h(m)的最大值.解(1)f(x)，則對稱軸為x，由0m，得02m1，則1，故函數(shù)f(x)在1，1上為增函數(shù)，則當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)取得最大值，f(1)4m；當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)取得最小值f(1)3m2.又0m，03m，2|f(1)|，即|f(x)|在1，1上的最大值g(m)f(1)4m.(2)由(1)知函數(shù)的對稱軸為x，且函數(shù)開口向下，由0m1，則02m2，所以，若m，即0，即m1時，函數(shù)f(x)在0，m上不單調(diào)，此時當(dāng)x時，函數(shù)f(x)取得最大值h(m)m22m，即h(m)當(dāng)0m時，h(m)3m24m2的對稱軸為m，即當(dāng)m時，函數(shù)h(m)取得最大值h342.當(dāng)m1時，h(m)m22m的對稱軸為m1，此時函數(shù)h(m)在上為減函數(shù)，則函數(shù)h(m)h2.所以h(m)的最大值為.