2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 5 平行關(guān)系 5.1 平行關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2

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1、5．1　平行關(guān)系的判定 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理的含義，會判斷線面、面面平行．(重點) 2．會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．(重點、易錯點) 3．能運(yùn)用直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理證明空間線面關(guān)系．(難點) 1.通過理解線面、面面平行的判定定理，培養(yǎng)直觀想象數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過運(yùn)用判定定理證明空間線面關(guān)系，提升邏輯推理素養(yǎng). 1．直線與平面平行的判定定理 　　　定理 表示　　 直線與平面平行的判定定理 文字?jǐn)⑹? 若平面外

2、一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行 符號表示 ?l∥α 圖形表示 思考1：若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個平面平行嗎？ 提示：由線面平行的判定定理知，該結(jié)論錯誤．應(yīng)是平面外的一條直線． 2．平面與平面平行的判定定理 　　　定理 表示　 平面與平面平行的判定定理 文字?jǐn)⑹? 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 符號表示 ?α∥β 思考2：如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面也平行嗎？ 提示：不一定．這條直線與另一個平面平行或在另一個平面內(nèi)． 1．能保證直線a

3、與平面α平行的條件是(　　) A．bα，a∥b B．bα，c∥α，a∥b，a∥c C．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD D．a(chǎn)α，bα，a∥b D　[若bα，a∥b，則a∥α或aα，故A錯； 若bα，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或aα，故B錯； 若bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD， 則a∥α或aα，或a與α相交，故C錯； 而D項是線面平行的判定定理不可缺少的三個條件．] 2．正六棱柱的底面和側(cè)面中互相平行的面有(　　) A．1對　　　B．2對　　　C．3對　　　D．4對 D　[正六棱柱兩底面互相平行，六個側(cè)面中，相對的側(cè)面互相平行，故共有4對互相

4、平行的面．] 3．若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關(guān)系是(　　) A．一定平行　　　　 B．一定相交 C．平行或相交 D．以上都不對 C　[當(dāng)每個平面內(nèi)的兩條直線都是相交直線時，可推出兩個平面一定平行，否則，兩個平面有可能相交．] 4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中點，則和平面C1D1E平行的棱為________． CD和A1B1　[∵CD∥C1D1且C1D1平面C1D1E，CD平面D1C1E， 故CD∥平面C1D1E，同理A1B1∥平面C1D1E， 而AB雖然與C1D1平行，但AB平面C1D1E.]

5、 線面平行的判定 【例1】　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC的中點，連接AD，DC1，A1B，AC1，求證：A1B∥平面ADC1. [證明]　連接A1C，設(shè)A1C∩AC1＝O，再連接OD.由題意知，A1ACC1是平行四邊形，所以O(shè)是A1C的中點，又D是CB的中點，因此OD是△A1CB的中位線，即OD∥A1B. 又A1B平面ADC1，OD平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1. 1．利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知直線平行的直線． 2．證線線平行常用三角形中位線定理、平行四邊形性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平行公理等．

6、 1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為SC的中點，求證：SA∥平面MDB. [解]　連接AC交BD于點O，連接MO， ∵M(jìn)為SC中點，O為AC中點， ∴MO∥SA. 又SA平面MDB， MO平面MDB， ∴SA∥平面MDB. 面面平行的判定 【例2】　已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC. [證明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP. ∵BP平面PBC，NQ平面PBC， ∴NQ∥

7、平面PBC. 又底面ABCD為平行四邊形， ∴BC∥AD，∴MQ∥BC， ∵BC平面PBC， MQ平面PBC， ∴MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ＝Q， 根據(jù)平面與平面平行的判定定理， 得平面MNQ∥平面PBC. 1．要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面即可． 2．判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線． 2.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中點，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.

8、 [解]　連接A1C交AC1于點E， ∵四邊形A1ACC1是平行四邊形， ∴E是A1C的中點．連接ED， 則ED是△A1BC的中位線， ∴ED∥A1B. ∵ED平面A1BD1，A1B平面A1BD1， ∴ED∥平面A1BD1. ∵C1D1綊BD，∴四邊形BDC1D1是平行四邊形， ∴C1D∥BD1. ∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1， ∴C1D∥平面A1BD1. 又C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D. 線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是

9、BC，DC，SC的中點，試判斷直線EG與平面BDD1B1是否平行？ 提示：連接SB(圖略)， ∵E，G分別是BC，SC的中點，∴EG∥SB. 又∵SB平面BDD1B1， EG平面BDD1B1， ∴直線EG∥平面BDD1B1. 2．在上述問題中，平面EFG∥平面BDD1B1嗎？ 提示：平行．連接SD， ∵F，G分別是DC，SC的中點， ∴FG∥SD. 又∵SD平面BDD1B1， FG平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1， ∵EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 【例3】　如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在

10、平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點． (1)求證：MN∥平面PAD； (2)在PB上確定一個點Q，使平面MNQ∥平面PAD. [思路探究]　(1)由于N為PC的中點，故可取PD的中點H，證明四邊形MNHA為平行四邊形，進(jìn)而利用判定定理證明MN∥平面PAD. (2)若平面MNQ∥平面PAD，又M為AB的中點，從而可確定Q的位置． [解]　(1)證明：如圖，取PD的中點H，連接AH，NH.由N是PC的中點，知NH∥DC，NH＝DC. 由M是AB的中點，知AM∥DC，AM＝DC， ∴NH∥AM，NH＝AM，∴四邊形AMNH為平行四邊形， ∴MN∥AH. ∵M(jìn)N平面PA

11、D，AH平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)若平面MNQ∥平面PAD，則應(yīng)有MQ∥PA， ∵M(jìn)是AB中點，∴Q是PB的中點， 即當(dāng)Q為PB的中點時，平面MNQ∥平面PAD. 將證明面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題，而將證線面平行問題，轉(zhuǎn)化為線線平行問題.在立體幾何中，通過線線、線面、面面間的位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，可使問題順利得到解決.熟練掌握這種轉(zhuǎn)化的思想方法，就能找到解題的突破口，這是高考重點考查證明平行的方法，應(yīng)引起重視. 3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論． [

12、解]　如圖，取線段AB的中點為M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點．由已知得，O為AC1的中點， 連接MD，OE， 則MD，OE分別為△ABC， △ACC1的中位線， 所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC， 因此MD∥OE且MD＝OE. 連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO. 因為直線DE平面A1MC， MO平面A1MC， 所以直線DE∥平面A1MC. 即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)， 使直線DE∥平面A1MC. 1．判斷或證明線面平行的常用方法 (1)定義法：證明直線與平面無公共點(不易操作)

13、． (2)判定定理法：aα，bα，a∥b?a∥α. (3)排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內(nèi)． 2．證明線線平行的常用方法 (1)利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)． (2)利用平行四邊形的性質(zhì)． (3)利用平行線分線段成比例定理． 3．證明面面平行的方法 (1)面面平行的定義． (2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行． (3)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行． 1．思考辨析 (1)若一條直線與一個平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則這條直線與這個平面平行． (　　) (2)若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線都與

14、平面β平行，則平面α與平面β平行． (　　) (3)若平面α內(nèi)的任意一條直線都與平面β平行，則平面α與平面β平行． (　　) [解析]　(1)×，此直線也可能在平面內(nèi)． (2)×，兩平面也可能相交． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．若直線a∩直線b＝A，a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是________． 平行或相交　[∵a∥平面α，∴a與平面α沒有公共點， 若bα，則A∈α，又A∈a，此種情況不可能， ∴b∥α或b與α相交．] 3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是________(填序號)． ①AD1∥BC1； ②平面AB1

15、D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1. ①②④　[如圖，∵四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴AD1∥BC1，故①④正確；又AD1與DC1為異面直線，故③錯誤；又由B1D1∥BD，可知②正確．] 4．如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點． 求證：AF∥平面PCE. [證明]　取PC的中點M，連接ME，MF，則FM∥CD且FM＝CD. 又∵AE∥CD且AE＝CD，∴FM綊AE， 即四邊形AFME是平行四邊形， ∴AF∥ME.又∵AF平面PCE，EM平面PCE， ∴AF∥平面PCE. - 8 -