2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第7篇 第7節(jié) 立體幾何的向量方法課時訓(xùn)練 理 新人教A版

2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第7篇 第7節(jié) 立體幾何的向量方法課時訓(xùn)練 理 新人教A版 一、選擇題1若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，有可能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，則a·n0.而選項A中a·n2.選項B中a·n156.選項C中a·n1，選項D中a·n330，故選D.答案：D2直線l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量為n(2，x2x，x)，若直線l平面，則x的值為()A2BC D±解析：線面平行時，直線的方向向量垂直于平面的法向量，故1×21×(x2x)1×(x)0，解得x±.答案：D3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，則()AEF至多與A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF與BD1相交DEF與BD1異面解析：以D點為坐標(biāo)原點，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，··0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC.故選B.答案：B4如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為6的正方體，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AEBF.當(dāng)A1、E、F、C1共面時，平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為()A BC D解析：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知當(dāng)E(6，3,0)、F(3，6,0)時，A1、E、F、C1共面，設(shè)平面A1DE的法向量為n1(a，b，c)，依題意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面C1DF的一個法向量為n2(2，1，1)，故平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為.故選B.答案：B5在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為()A BC D解析：取AC中點E，連接BE，則BEAC，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A，D(0,0,1)，則.平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEAC，BE平面AA1C1C，為平面AA1C1C的一個法向量，cos，設(shè)AD與平面AA1C1C所成的角為，則sin |cos，|.故選A.答案：A6(xx年高考大綱卷)已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值是()A BC D解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA12AB2，則B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則得令z1，則y2，x2，所以平面BDC1的一個法向量為n(2，2,1)設(shè)直線CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，|.故選A.答案：A二、填空題7平面的一個法向量n(0,1，1)，如果直線l平面，則直線l的單位方向向量是_解析：直線l的方向向量平行于平面的法向量，故直線l的單位方向向量是±±0，.答案：0，或0，8如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E是A1B1上的點，則點E到平面ABC1D1的距離是_解：法一以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在射線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點E(1，a,1)(0a1)，連接D1E，則(1，a,0)連接A1D，易知A1D平面ABC1D1，則(1,0,1)為平面ABC1D1的一個法向量點E到平面ABC1D1的距離是d.法二點E到平面ABC1D1的距離，即B1到BC1的距離，易得點B1到BC1的距離為.答案：9(xx合肥月考)等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角CABD的余弦值為，M、N分別是AC、BC的中點，則EM、AN所成角的余弦值等于_解析：過C點作CO平面ABDE，垂足為O，取AB中點F，連接CF、OF，則CFO為二面角CABD的平面角，設(shè)AB1，則CF，OFCF·cosCFO，OC，則O為正方形ABDE的中心，如圖所示建立直角坐標(biāo)系Oxyz，則E，M，A，N，cos，.答案：10空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF，設(shè)M，N分別是BD，AE的中點，給出如下命題：ADMN；MN平面CDE；MNCE；MN，CE異面則所有的正確命題為_解析：如圖設(shè)a，b，c，則|a|c|且a·bc·b0.(bc)(ab)(ca)，·(ca)·b(c·ba·b)0，故ADMN；ca2，故MNCE，故MN平面CDE，故正確；正確時一定不正確答案：三、解答題11(xx陜西西安五校三模)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點E在棱AB上 (1)求異面直線D1E與A1D所成的角；(2)若二面角D1ECD的大小為45°，求點B到平面D1EC的距離解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(1)由A1(1,0,1)，得(1,0,1)，設(shè)E(1，a,0)，又D1(0,0,1)，則(1，a，1)·1010，則異面直線D1E與A1D所成的角為90°.(2)m(0,0,1)為平面DEC的法向量，設(shè)n(x，y，z)為平面CED1的法向量，則cosm，ncos 45°，z2x2y2由C(0,2,0)，得(0,2，1)，則n，即n·0，2yz0由、，可取n(，1,2)，又(1,0,0)，所以點B到平面D1EC的距離d.12(xx福建廈門聯(lián)考)如圖所示，在三棱錐PABC中，ABBC，平面PAC平面ABC，PDAC于點D，AD1，CD3，PD. (1)證明PBC為直角三角形；(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值(1)證明：以點E(AC中點)為坐標(biāo)原點，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz，則B(，0,0)，C(0,2,0)，P(0，1，)于是(，1，)，(，2,0)因為·(，1，)·(，2,0)0，所以，所以BPBC.所以PBC為直角三角形(2)解：由(1)可得，A(0，2,0)于是(0,1，)，(，1，)，(0,3，)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則即取y1，則z，x.所以平面PBC的一個法向量為n(，1，)設(shè)直線AP與平面PBC所成的角為，則sin |cos，n|.所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.