2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第7篇 第7節(jié) 立體幾何的向量方法課時訓(xùn)練 理 新人教A版
2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第7篇 第7節(jié) 立體幾何的向量方法課時訓(xùn)練 理 新人教A版 一、選擇題1若直線l的方向向量為a,平面的法向量為n,有可能使l的是()Aa(1,0,0),n(2,0,0)Ba(1,3,5),n(1,0,1)Ca(0,2,1),n(1,0,1)Da(1,1,3),n(0,3,1)解析:若l,則a·n0.而選項A中a·n2.選項B中a·n156.選項C中a·n1,選項D中a·n330,故選D.答案:D2直線l的方向向量s(1,1,1),平面的法向量為n(2,x2x,x),若直線l平面,則x的值為()A2BC D±解析:線面平行時,直線的方向向量垂直于平面的法向量,故1×21×(x2x)1×(x)0,解得x±.答案:D3如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別在A1D、AC上,且A1EA1D,AFAC,則()AEF至多與A1D,AC之一垂直BEFA1D,EFACCEF與BD1相交DEF與BD1異面解析:以D點為坐標(biāo)原點,以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F(xiàn),B(1,1,0),D1(0,0,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),··0,從而EFBD1,EFA1D,EFAC.故選B.答案:B4如圖所示,ABCDA1B1C1D1是棱長為6的正方體,E、F分別是棱AB、BC上的動點,且AEBF.當(dāng)A1、E、F、C1共面時,平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為()A BC D解析:以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,易知當(dāng)E(6,3,0)、F(3,6,0)時,A1、E、F、C1共面,設(shè)平面A1DE的法向量為n1(a,b,c),依題意得可取n1(1,2,1),同理可得平面C1DF的一個法向量為n2(2,1,1),故平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為.故選B.答案:B5在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB1,D在棱BB1上,且BD1,則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為()A BC D解析:取AC中點E,連接BE,則BEAC,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則A,D(0,0,1),則.平面ABC平面AA1C1C,平面ABC平面AA1C1CAC,BEAC,BE平面AA1C1C,為平面AA1C1C的一個法向量,cos,設(shè)AD與平面AA1C1C所成的角為,則sin |cos,|.故選A.答案:A6(xx年高考大綱卷)已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值是()A BC D解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AA12AB2,則B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故(1,1,0),(0,1,2),(0,1,0)設(shè)平面BDC1的法向量為n(x,y,z),則得令z1,則y2,x2,所以平面BDC1的一個法向量為n(2,2,1)設(shè)直線CD與平面BDC1所成的角為,則sin |cosn,|.故選A.答案:A二、填空題7平面的一個法向量n(0,1,1),如果直線l平面,則直線l的單位方向向量是_解析:直線l的方向向量平行于平面的法向量,故直線l的單位方向向量是±±0,.答案:0,或0,8如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E是A1B1上的點,則點E到平面ABC1D1的距離是_解:法一以點D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在射線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點E(1,a,1)(0a1),連接D1E,則(1,a,0)連接A1D,易知A1D平面ABC1D1,則(1,0,1)為平面ABC1D1的一個法向量點E到平面ABC1D1的距離是d.法二點E到平面ABC1D1的距離,即B1到BC1的距離,易得點B1到BC1的距離為.答案:9(xx合肥月考)等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角CABD的余弦值為,M、N分別是AC、BC的中點,則EM、AN所成角的余弦值等于_解析:過C點作CO平面ABDE,垂足為O,取AB中點F,連接CF、OF,則CFO為二面角CABD的平面角,設(shè)AB1,則CF,OFCF·cosCFO,OC,則O為正方形ABDE的中心,如圖所示建立直角坐標(biāo)系Oxyz,則E,M,A,N,cos,.答案:10空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF,設(shè)M,N分別是BD,AE的中點,給出如下命題:ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE異面則所有的正確命題為_解析:如圖設(shè)a,b,c,則|a|c|且a·bc·b0.(bc)(ab)(ca),·(ca)·b(c·ba·b)0,故ADMN;ca2,故MNCE,故MN平面CDE,故正確;正確時一定不正確答案:三、解答題11(xx陜西西安五校三模)如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB2,點E在棱AB上 (1)求異面直線D1E與A1D所成的角;(2)若二面角D1ECD的大小為45°,求點B到平面D1EC的距離解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(1)由A1(1,0,1),得(1,0,1),設(shè)E(1,a,0),又D1(0,0,1),則(1,a,1)·1010,則異面直線D1E與A1D所成的角為90°.(2)m(0,0,1)為平面DEC的法向量,設(shè)n(x,y,z)為平面CED1的法向量,則cosm,ncos 45°,z2x2y2由C(0,2,0),得(0,2,1),則n,即n·0,2yz0由、,可取n(,1,2),又(1,0,0),所以點B到平面D1EC的距離d.12(xx福建廈門聯(lián)考)如圖所示,在三棱錐PABC中,ABBC,平面PAC平面ABC,PDAC于點D,AD1,CD3,PD. (1)證明PBC為直角三角形;(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值(1)證明:以點E(AC中點)為坐標(biāo)原點,以EB,EC所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz,則B(,0,0),C(0,2,0),P(0,1,)于是(,1,),(,2,0)因為·(,1,)·(,2,0)0,所以,所以BPBC.所以PBC為直角三角形(2)解:由(1)可得,A(0,2,0)于是(0,1,),(,1,),(0,3,)設(shè)平面PBC的法向量為n(x,y,z),則即取y1,則z,x.所以平面PBC的一個法向量為n(,1,)設(shè)直線AP與平面PBC所成的角為,則sin |cos,n|.所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.