江蘇省啟東市2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練7

專題強(qiáng)化訓(xùn)練71.在中，三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，已知， ，且。 （1）求角B的大小； （2）若的外接圓的半徑為1，求的面積。解(1)(2)2.已知函數(shù)f（x）=cos2（x+）3（0，0）的最大值為2，最小正周期為（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；（2）當(dāng)x0，時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域解：（1）f（x）=cos2（x+）3（0，0）=3=cos（2x+）+3，（2分）又函數(shù)f（x）的最大值為2，可得：+3=2，解得：=5，最小正周期為=，解得：=，f（x）=cos（3x+）（6分）（2），（9分），（13分），所以f（x）的值域是（14分）3.已知向量=（sin（x+），1），=（1，cos（x+）（0，0），記函數(shù)f（x）=（+）（）若函數(shù)y=f（x）的周期為4，且經(jīng)過點(diǎn)M（1，）（1）求的值；（2）當(dāng)1x1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值解：（1）f（x）=（+）（）=cos（x+2）由題意得：周期，故；（2）圖象過點(diǎn)M（1，），cos（2）=，即sin2=，而0，故2=，則f（x）=cos（）當(dāng)1x1時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，f（x）min=1，當(dāng)x=1時(shí)，4.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為，且（1）求角A的值；（2）若三角形面積為，且，求三角形ABC的周長.解:（1）因?yàn)?，由正弦定理得， 即=sin(A+C) 4分 因?yàn)锽AC，所以sinB=sin(A+C)，所以因?yàn)锽(0，)，所以sinB0， 所以，因?yàn)?，所?7分（2）ABC的面積為，且由，所以12分 周長 14分ABCxO5.如圖已知四邊形AOCB中,點(diǎn)B位于第一象限，若BOC為正三角形.（1）若求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）記向量與的夾角為，求的值. 解：（1）2分5分點(diǎn)坐標(biāo)為7分（2）向量9分12分因此，14分6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinB+acosB=c（）求角A的大??；（）已知函數(shù)f（x）=cos2（x+）3（0，0）的最大值為2，將y=f（x）的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的倍后便得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）的最小正周期為當(dāng)x0，時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域解：（）ABC中，C=（A+B），=，0A，（）由（）得：=，3=2，從而=5，從而，當(dāng)時(shí)，從而，f（x）的值域?yàn)?.如圖所示，角為鈍角，且，點(diǎn)分別在角的兩邊上（）若，求的長；（）設(shè)，且，求的值解：（）因?yàn)榻菫殁g角，且，所以2分在中，由，得5分解得或(舍)，即的長為27分（）由，得9分又，11分所以14分8.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面積為3，求b的值解：（1）A=，由余弦定理可得：，b2a2=bcc2，又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得，a2=b2=，即a=cosC=C（0，），sinC=tanC=2（2）=×=3，解得c=2=39.在銳角中,角、所對的邊長分別為、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面積為,求的值.解：(1) 為銳角三角形, , ， (2)由,得, 代入得,得 由題設(shè),得 聯(lián)立, 解得或 10. 已知函數(shù)f（x）=Asin（x+）（A0，0，|，xR），且函數(shù)f（x）的最大值為2，最小正周期為，并且函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（，0）（1）求函數(shù)f（x）解析式；（2）設(shè)ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（）=2，c=，求a+2b的取值范圍解：（1）根據(jù)題意得：A=2，=4，即f（x）=2sin（4x+），把（，0）代入得：2sin（+）=0，即sin（+）=0，+=0，即=，則f（x）=2sin（4x）；（2）由f（）=2sin（C）=2，即sin（C）=1，C=，即C=，由正弦定理得： =2R，即=2R=1，a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（A）=sinA+2sincosA2cossinA=sinA+cosAsinA=cosA，cosA1，即cosA，a+2b的范圍為（，）11. 已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），=（1，0）（1）求向量的長度的最大值；（2）設(shè)=，且（），求cos的值解：（1）=（cos1，sin），則|2=（cos1）2+sin2=2（1cos）1cos1，0|24，即0|2當(dāng)cos=1時(shí)，有|b+c|=2，所以向量的長度的最大值為2（2）由（1）可得=（cos1，sin），（）=coscos+sinsincos=cos（）cos（），（）=0，即cos（）=cos由=，得cos（）=cos，即=2k±（kZ），=2k+或=2k，kZ，于是cos=0或cos=112. 已知函數(shù)（1）設(shè)，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面積為，求sinA+sinB的值解：（1）=（3分）由 得 于是（kZ） 因?yàn)?所以 （7分）（2）因?yàn)镃（0，），由（1）知（9分）因?yàn)锳BC的面積為，所以，于是在ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對邊分別是a，b由余弦定理得，所以a2+b2=7由可得或于是（12分）由正弦定理得，所以（14分）15.在三角形中，角，所對的邊分別是，已知，（1）若，求的值；（2）若，求的值【解】（1）由余弦定理，3分將，代入，解得：6分（2）由正弦定理，由正弦定理可得，將，代入解得14分16.如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在邊的延長線上，且，.（1）求長度；（2）求的值.解：（1）設(shè)，中有余弦定理：，即；（2），中由余弦定理：，.17.如圖，在平面上，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，（）（1）若點(diǎn)，求的值；（2）若，求.（1）由于，所以， ， 所以， 所以 ；（2）由于, 所以, . 所以，所以， 所以.18.已知向量=（5cos，4），=（3，4tan），其中（，）（1）若，求sin2的值；（2）若|=5，向量=（2，0），求證：（+）（1）解：=（5cos，4），=（3，4tan），且，5cos4tan12=0，得20sin=12，sin，（，），cos=，sin2=2sincos=；（2）證明：，得cos=，則sin=，tan=，=（5cos，4）=（3，4），=（3，4tan）=（3，），則，=（2，0），（+）=0×則（+）19.已知ABC的角A，B，C的對邊依次為a，b，c，若滿足，（）求C大??；（）若c=2，且ABC為銳角三角形，求a2+b2取值范圍解：（）tanAtanBtanAtanB=，=，即tan（A+B）=tanC=，tanC=，C為三角形的內(nèi)角，則C=；（II）A與B為銳角，且A+B=C=，即B=A，A，2A，c=2，sinC=，由正弦定理=得：a=sinA，b=sinB，a2+b2=（sinA+sinB）=sinA+sin（A）=+sin（2A），2A，sin（2A）1，即+sin（2A）8，則a2+b2的范圍為（，820.已知（0，），（，），cos=，sin（+）=（1）求tan的值；（2）求sin的值解：（1），且，解得，（2），又，故，sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=21.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑，B，C為不同于P，Q的兩點(diǎn)，如圖所示，記PAB=（1）若BC=，求四邊形PBCQ的面積的最大值；（2）若BC=1，求的最大值解：（1），BAC=；由PAB=得CAQ=；S四邊形PBCQ=SPAB+SABC+SCAQ=；，當(dāng)時(shí)，S四邊形PBCQ取得最大值；（2）當(dāng)BC=1時(shí)，BAC=，PAC=；=1=；時(shí)，取得最大值江蘇省啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪專題強(qiáng)化訓(xùn)練2020.1 題型二實(shí)際應(yīng)用問題1.如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心，AB為直徑)，現(xiàn)計(jì)劃對其進(jìn)行改建在AB的延長線上取點(diǎn)D，OD80 m，在半圓上選定一點(diǎn)C，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為S m2設(shè)AOCx rad(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x)，并指出x的取值范圍； (2)試問AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值A(chǔ)BOCD (1)因?yàn)樯刃?#160;AOC的半徑為 40 m，AOCx rad，所以 扇形AOC的面積S扇形AOC800x，0x 2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面積SCOD·OC·OD·sinCOD1600sin(x)1600sinx 5分從而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x 7分2. 無錫市政府決定規(guī)劃地鐵三號線，該線起于惠山區(qū)惠山城鐵站，止于無錫新區(qū)碩放空港產(chǎn)業(yè)園內(nèi)的無錫機(jī)場站，全長28公里，目前惠山城鐵站和無錫機(jī)場站兩個(gè)站點(diǎn)已經(jīng)建好，余下的工程是在已經(jīng)建好的站點(diǎn)之間鋪設(shè)軌道和等距離修建停靠站，經(jīng)有關(guān)部門預(yù)算，修建一個(gè)?？空镜馁M(fèi)用為6400萬元，鋪設(shè)距離為公里的相鄰兩個(gè)停靠站之間的軌道費(fèi)用為，設(shè)余下工程的總費(fèi)用為萬元.（停靠站位于軌道兩側(cè)，不影響軌道總長度）（1）試將表示成的函數(shù)；（2）需要建多少個(gè)?？空静拍苁构こ藤M(fèi)用最小，并求最小值.(1)設(shè)需要修建個(gè)?？空荆瑒t個(gè)?？空緦?8公里的軌道分成相等的段，化簡得（萬元）當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號，答：需要建13個(gè)停車站才能使工程費(fèi)用最小，最小值費(fèi)用為128028萬元.3.如圖所示，某街道居委會擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中米活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長方形，上部分是以為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長不超過米，其中該太陽光線與水平線的夾角滿足.（1）若設(shè)計(jì)米，米，問能否保證上述采光要求？FABEDGC南居民樓活動(dòng)中心（2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)與的長度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？（注：計(jì)算中取3） 解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系（1）因?yàn)?，所以半圓的圓心為，半徑設(shè)太陽光線所在直線方程為，即， .2分則由，解得或（舍）.故太陽光線所在直線方程為， .5分令，得米米.所以此時(shí)能保證上述采光要求. .7分（2）設(shè)米，米，則半圓的圓心為，半徑為方法一：設(shè)太陽光線所在直線方程為，即，由，解得或（舍）. .9分故太陽光線所在直線方程為， 令，得，由，得. .11分所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號. 所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. .16分方法二：欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長EG恰為米，則此時(shí)點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)G的上述太陽光線為，則所在直線方程為y(x30)，即 .10分由直線與半圓H相切，得而點(diǎn)H(r，h)在直線的下方，則3r4h1000，即，從而 .13分又.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. .16分LABOMLLab4.如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的位于該市的某大學(xué)與市中心的距離，且現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站B，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)其中，（1）求大學(xué)與站的距離；（2）求鐵路段的長（1）在中，且， 由余弦定理得， ，即大學(xué)與站的距離為； （2），且為銳角， 在中，由正弦定理得，, 即， ， ， 又， ， 在中， 由正弦定理得，即，即鐵路段的長為 5.一個(gè)玩具盤由一個(gè)直徑為2米的半圓O和一個(gè)矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所示，小球從A點(diǎn)出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點(diǎn)記為F，設(shè)AOE=弧度，小球從A到F所需時(shí)間為T（1）試將T表示為的函數(shù)T（），并寫出定義域；（2）求時(shí)間T最短時(shí)的值6.如圖，O為總信號源點(diǎn)，A，B，C是三個(gè)居民區(qū)，已知A，B都在O的正東方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =（1）求居民區(qū)A與C的距離；（2）現(xiàn)要經(jīng)過點(diǎn)O鋪設(shè)一條總光纜直線EF（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費(fèi)用與其長度的平方成正比，比例系數(shù)為m（m為常數(shù)）設(shè)AOE = （0 <），鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用為w（元） 求w關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式； 求w的最小值及此時(shí)的值7.如圖，摩天輪的半徑為，點(diǎn)距地面的高度為，摩天輪作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處.（1）試確定在時(shí)刻（）時(shí)點(diǎn)距離地面的高度；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)距離地面超過？（1）以為原點(diǎn)建系，在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，以為始邊，為終邊的角為，故點(diǎn)縱坐標(biāo)為，距地面高度為；（2）令即，.答：一圈內(nèi)有2分鐘超過.8.如圖，有一塊矩形空地，現(xiàn)規(guī)劃在該空地四邊形建一個(gè)商業(yè)區(qū)，其中頂點(diǎn)為商業(yè)區(qū)四個(gè)入口，且入口在邊上（不包含頂點(diǎn)），入口分別在邊上，矩形內(nèi)其余區(qū)域均為綠化區(qū)。（1）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示。 求直線的方程 求的取值范圍。（2）設(shè)商業(yè)區(qū)域的面積為，綠化區(qū)域的面積為，問入口如何選址，即為何值時(shí)，可使得該商業(yè)區(qū)域的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？9.圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形是矩形，弧是半圓，凹槽的橫截面的周長為若凹槽的強(qiáng)度等于橫截面的面積與邊的乘積，設(shè)，（1）寫出關(guān)于函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；（2）求當(dāng)取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大【解】（）易知半圓的半徑為，故半圓的弧長為所以，得2分依題意知：得所以，（）6分（）依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為，橫截面的面積為，則有，9分因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，凹槽的強(qiáng)度最大13分答：所以當(dāng)，凹槽的強(qiáng)度最大14分9. 如圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為大海中一個(gè)小島，A為海岸線OM上的一個(gè)碼頭已知，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3 km， km現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個(gè)碼頭B，使得水上旅游線路AB（直線）經(jīng)過小島Q （1）求水上旅游線路AB的長；（2）若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水波P，水波生成t h時(shí)的半徑為（其中，R）強(qiáng)水波開始生成時(shí)，一游輪以 km/h的速度自碼頭A開往碼頭B，問強(qiáng)水波是否會波及游輪的航行，并說明理由解：（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示則由題設(shè)得：，直線ON的方程為 由，解得，所以2分故直線AQ的方程為，由得即，故， 5分答：水上旅游線的長為km 6分（2）設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P，由題意可得P（3，9），生成小時(shí)時(shí)，游輪在線段AB上的點(diǎn)C處，則，所以若強(qiáng)水波不會波及游輪的航行即即， 10分當(dāng)時(shí)恒成立，當(dāng). ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以當(dāng)時(shí)恒成立，即強(qiáng)水波不會波及游輪的航行14分答：在時(shí)，強(qiáng)水波不會波及游輪的航行 15分10. 如圖所示，某市準(zhǔn)備在一個(gè)湖泊的一側(cè)修建一條直路OC；另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（x+）（A0，0，|），x4，8時(shí)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B（5，），DFOC，垂足為F（I）求函數(shù)y=Asin（x+）的解析式；（II）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園PMFE，問點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí)，水上樂園的面積最大？解：（）對于函數(shù)y=Asin（x+）由圖象可知，A=，=，將（5，），代入y=sin（x+）得：，|，所以=，所以函數(shù)的解析式為y=sin（x）（）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4）從而得曲線OD的方程為y2=4x，（0x4）設(shè)點(diǎn)P（）（0t4），則矩形PMFE的面積為S=，0t4因?yàn)镾=4，由S=0得t=，且t時(shí)S0，S遞增，t時(shí)S0，S遞減，所以當(dāng)t=，S最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)11. 某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時(shí)間共60個(gè)月，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個(gè)產(chǎn)品期間第x個(gè)月的利潤（單位：萬元），為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得的利潤投入到次月的經(jīng)營中，記第x個(gè)月的當(dāng)月利潤率，例如：（1）求g（10）；（2）求第x個(gè)月的當(dāng)月利潤率g（x）；（3）該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪個(gè)月的當(dāng)月利潤率最大，并求該月的當(dāng)月利潤率解：（1）由題意得：f（1）=f（2）=f（3）=f（9）=f（10）=1g（x）=（2）當(dāng)1x20時(shí)，f（1）=f（2）f（x1）=f（x）=1g（x）=當(dāng)21x60時(shí)，g（x）=當(dāng)?shù)趚個(gè)月的當(dāng)月利潤率；（3）當(dāng)1x20時(shí)，是減函數(shù)，此時(shí)g（x）的最大值為當(dāng)21x60時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=40時(shí)，又，當(dāng)x=40時(shí)，所以，該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，第40個(gè)月的當(dāng)月利潤率最大，最大值為12.如圖，太湖一個(gè)角形湖灣（ 常數(shù)為銳角）. 擬用長度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：方案一 如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中；方案二 如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中；（1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積；（2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積；（3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應(yīng)選擇何種方案？并說明理由.（1）設(shè)，則，即，所以 .（2）設(shè).由余弦定理，得,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立.所以 ,即.答:為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大.應(yīng)選擇方案一.13.一房產(chǎn)商競標(biāo)得一塊扇形OPQ地皮，其圓心角POQ=，半徑為R=200m，房產(chǎn)商欲在此地皮上修建一棟平面圖為矩形的商住樓，為使得地皮的使用率最大，準(zhǔn)備了兩種設(shè)計(jì)方案如圖，方案一：矩形ABCD的一邊AB在半徑OP上，C在圓弧上，D在半徑OQ；方案二：矩形EFGH的頂點(diǎn)在圓弧上，頂點(diǎn)G，H分別在兩條半徑上請你通過計(jì)算，為房產(chǎn)商提供決策建議【解答】解：按方案一：如圖，連OC，設(shè)，在RtOBC中， BC=Rsinx，OB=Rcosx，則DA=Rsinx在RtOAD中，得，則，設(shè)矩形ABCD的面積為y，則y=ABBC=sin（2x+），由得所以當(dāng)，即時(shí)按方案二：如圖作POQ的平分線分別交EF，GH于點(diǎn)M，N，連OE設(shè)，在RtMOE中，ME=Rsin，OM=Rcos在RtONH中，得，則，設(shè)矩形EFGH的面積為S，則S=2MEMN=2R2sin（cossin）=R2（sin2+cos2）=由，則，所以當(dāng)，即時(shí)，即ymaxSmax江蘇省啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪專題強(qiáng)化訓(xùn)練2020.1 題型三解析幾何1. 已知橢圓C: ，離心率為，左準(zhǔn)線方程是，設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2上，且OAOB（1）求橢圓C的方程；（2）求AOB面積取得最小值時(shí)，線段AB的長度；（2）由題意，直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，若k0，則A(，0)或(，0)，B(0，2)，此時(shí)AOB面積為，AB6分若k0，則直線OA：ykx與橢圓聯(lián)立得： (12)2，可得OA 直線OB：yx與y2聯(lián)立得：B(2k，2)，則OB2， 10分SOABOA×OB，令t>1， 12分則SOAB，所以SOAB的最小值為，在k0時(shí)取得，此時(shí)AB .14分2. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，記直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的值.解：（1）因，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，又圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以橢圓的半焦距， 3分所以，即，所以橢圓的方程為. 6分（2）方法一：設(shè)，聯(lián)立，消去，得，所以，又，所以，所以， 10分. 方法二：設(shè)， 則，兩式作差，得，又，又，在直線上，又在直線上，由可得，. 10分3. 已知橢圓E： +=1過點(diǎn)D（1，），且右焦點(diǎn)為F（1，0）右頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)F的弦為BC，直線BA，直線CA分別交直線l：x=m（m2）于P、Q兩點(diǎn)（1）求橢圓方程；（2）若FPFQ，求m的值解：（1）右焦點(diǎn)為F（1，0），可得c=1，左焦點(diǎn)F'為（1，0），由橢圓的定義可得2a=|DF|+|DF'|=+=4，即有a=2，b=，則橢圓的方程為+=1；（2）當(dāng)BC垂直于x軸，即有B（1，），C（1，），設(shè)P（m，s），Q（m，t），A（2，0），F(xiàn)（1，0），由B，A，P共線，可得kAB=kAP，即為=，即有s=（m2），即有P（m，（m2），=（m1，（m2），同樣可得Q（m，（m2），=（m1，（m2），F(xiàn)PFQ即為=0，即有（m1）2（m2）2=0，解得m=4；當(dāng)直線CB與x軸不垂直，則設(shè)直線CB的斜率為k，（k0）直線CB的方程為y=k（x1），k0，又設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），P（m，y3），Q（m，y4），聯(lián)立，消y得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x11）（x21）=，又A、B、P三點(diǎn)共線，y3=（m2），同理y4=（m2），=（m1，（m2），=（m1，（m2），由于=0，即為=（m1）2+（m2）2=0，分別代入x1+x2，x1x2，y1y2，可得（m1）2（m2）2=0，解得m=4綜上可得m=44. 設(shè)橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓若圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，求的面積；（3）如圖，、是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值（1）圓的方程為， 直線與圓O相切，即，又， ， 橢圓的方程為； （2）由題意，可得， 圓的半徑， 的面積為； （3）由題意可知，的斜率為，直線的方程為，由，得，其中， 則直線的方程為，令，則， 即， 直線的方程為，由，解得， 的斜率 ， （定值）5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 已知圓，橢圓， 為橢圓右頂點(diǎn)過原點(diǎn)且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與圓的另一交點(diǎn)為，直線與圓的另一交點(diǎn)為，其中設(shè)直線的斜率分別為（1）求的值；（2）記直線的斜率分別為，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由；（3）求證：直線必過點(diǎn)6.橢圓的方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）若分別為的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且的斜率為，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，且，求面積的最大值.解：（1）設(shè)，則，兩式相減，得，即，又，代入化簡，得，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線，由方程組 ， 設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則，令，設(shè)，則：.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的面積取得最大值1.7. 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，直線與圓：均相切.（1）若橢圓的兩條準(zhǔn)線間的距離為8，焦距為2 .求橢圓的方程；若，且，求圓的方程.（2）若橢圓的離心率為，求的最小值.8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的離心率為，點(diǎn)，分別為橢圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，設(shè)直線的斜率為（1）當(dāng)時(shí)，證明直線平分線段；（2）已知點(diǎn)，則：若，求；求四邊形面積的最大值【解】（1）點(diǎn) 橢圓的方程為設(shè)，則，的直線方程為：（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則6分，即由，解得；由，解得8分，即 或10分點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離12分14分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號所以四邊形面積的最大值為16分9. 已知圓O：與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P在直線l：上，過點(diǎn)P作圓O的切線，切點(diǎn)為T.（1）若a8，切點(diǎn),求直線AP的方程；（2）若PA=2PT，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）由題意，直線PT切于點(diǎn)T，則OTPT，又切點(diǎn)T的坐標(biāo)為，所以， 3分故直線PT的方程為，即.所以解得即， 5分所以直線AP的斜率為，故直線AP的方程為，即. 7分（2）設(shè)，由PA2PT，可得，即，滿足PA2PT的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓， 11分所以，即，解得. 15分10. ）已知橢圓E：的離心率為，且過點(diǎn)，設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，橢圓的上頂點(diǎn)為B，直線AB被以原點(diǎn)為圓心的圓O所截得的弦長為（1）求橢圓E的方程及圓O的方程；（2）若M是準(zhǔn)線l上縱坐標(biāo)為t的點(diǎn)，求證：存在一個(gè)異于M的點(diǎn)Q，對于圓O上任意一點(diǎn)N，有為定值；且當(dāng)M在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上（1）解：橢圓E：的離心率為，a=2k，c=，b2=2k2，橢圓E：，把點(diǎn)代入得k2=2，橢圓E方程：圓的方程：x2+y2=4（2）證明：橢圓E的右準(zhǔn)線l的方程為x=4設(shè)l上取定的點(diǎn)M為（4，t），圓O上任意的一點(diǎn)N為（x0，y0），定點(diǎn)Q為（x，y）NM與NQ的比是常數(shù)且Q不同于M，NQ2=NM2，是正的常數(shù)（1），即（x0x）2+（y0y）2=（x04）2+（y0t）2，即x02+y022xx02yy0+x2+y2=（x02+y02+16+t28x02ty0）將x02+y02=4代入，有2xx02yy0+x2+y2+4=8x02ty0+（20+t2）又有無數(shù)組（x0，y0），由代入，得162+t22+4=（20+t2），即（16+t2）2（20+t2）+4=0，（1）（16+t2）4=0又1，=，即存在一個(gè)定點(diǎn)Q（不同于點(diǎn)M），使得對于圓O上的任意一點(diǎn)N，均有為定值將16+t2=代入，得x2+y2+4=（+4），即x2+y2=4，于是x2+y2=x，即（x）2+y2=，故點(diǎn)Q在圓心（，0），半徑為的定圓上定值為：，Q在圓心，半徑為的定圓上11.如圖所示，已知圓的圓心在直線上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，又圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)（1）求圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意6分當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，即連接，則，由，得8分直線的方程為9分所求直線的方程為或10分12. 如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為8（）求橢圓E的方程（）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（）過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為84a=8，a=2e=，c=1b2=a2c2=3橢圓E的方程為（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x0，y0）m0，=0，（8km）24×（4k2+3）×（4m212）=04k2m2+3=0此時(shí)x0=，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此時(shí)P（0，），Q（4，），以PQ為直徑的圓為（x2）2+（y）2=4，交x軸于點(diǎn)M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此時(shí)P（1，），Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x）2+（y）2=，交x軸于點(diǎn)M3（1，0）或M4（4，0）故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），證明如下故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)M（1，0）13.已知橢圓1(ab0)上頂點(diǎn)A(0，2)，右焦點(diǎn)F(1，0)，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,6)的距離為d （1）求d的最大值； （2）過點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)S，T兩點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),l為橢圓的右準(zhǔn)線 若PFST，求證：直線OP平分線段ST； 設(shè)直線PS，PF，PT的斜率分別為k1，k2，k3，問：k1，k2，k3能否成等差數(shù)列？xOyPFTAlS已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn)，P到直線l1：x=2的距離為d1，到點(diǎn)F（1，0）的距離為d2，且=（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B（A，B都在x軸上方），且OFA+OFB=180°（i）當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；（ii）是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論OFA如何變化，直線l總過該定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn)，P到直線l1：x=2的距離為d1，到點(diǎn)F（1，0）的距離為d2，且=，d1=|x+2|，d2=，=，化簡，得=1橢圓C的方程為=1（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（1，0），kAF=1，OFA+OFB=180°，kBF=1，直線BF的方程為：y=（x+1）=x1，代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，代入y=x1，得（舍），或，B（，），kAB=，直線AB的方程為y=（ii）OFA+OFB=180°，kAF+kBF=0，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入=1，得，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，kAF+kBF=+=+=0，（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k×（k+b）×+2b=0，b2k=0，直線AB的方程為y=k（x+2），直線AB總經(jīng)過定點(diǎn)M（2，0） 15. 已知橢圓的離心率為，一個(gè)交點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為3，圓N的方程為為半焦距）直線與橢圓M和圓N均只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別設(shè)為A、B。 （1）求橢圓方程和直線方程； （2）試在圓N上求一點(diǎn)P，使。16.如圖，已知單位圓（為直角坐標(biāo)原點(diǎn)），是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且為正三角形.（1）若點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的最小值.解： 由題意，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為. 2分（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，且，. 4分由已知得， 6分解得，或 ，即的坐標(biāo)為或. 8分（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，且，. 10分所以 江蘇省啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪專題強(qiáng)化訓(xùn)練2020.1 題型四函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1. 已知函數(shù)f（x）=x22alnx（aR），g（x）=2ax（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若a0，函數(shù)h（x）=f（x）g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若0a1，對于區(qū)間1，2上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求a的取值范圍【解答】解：（1）f（x）=，當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，f（x）在（0，+）遞增，f（x）無極值，當(dāng)a0時(shí)，x（0，）時(shí)，f（x）0，f（x）遞減，x（，+）時(shí)，f（x）0，f（x）遞增，f（x）有極小值f（）=aalna，綜上：a0時(shí)，f（x）無極值，a0時(shí)，f（x）極小值=aalna，無極大值；（2）令h（x）=x22alnx2ax，則h（x）=，a0，令h（x）=0，解得x0=，h（x）在（0，）遞減，在（，+）遞增，h（x）在x0處取得極小值h（x0）=0，2alnx02ax0=0且22ax02a=0，聯(lián)立可得：2lnx0+x01=0，令m（x）=2lnx+x1得m（x）=+10，故m（x）在（0，+）遞增又m（1）=0，x0=1，即=1，解得：a=；（3）不妨令1x1x22，則由（1）得f（x1）f（x2）|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）f（x2）f（x1）g（x2）g（x1）f（x2）g（x2）f（x1）g（x1），則h（x）在1，2遞增，h（x）=0在1，2恒成立，即2x22ax2a0在1，2恒成立，a在1，2恒成立，令t=x+12，3，則=t+2，0a，a的范圍是（0，2. 已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an=（nN*）若an為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）設(shè)cn=（nN*）記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn （i）求Sn； （ii）求正整數(shù)k，使得對任意nN*均有SkSn【解答】解：（）a1a2a3an=（nN*） ，當(dāng)n2，nN*時(shí)，由知：，令n=3，則有b3=6+b2，a3=8an為等比數(shù)列，且a1=2，an的公比為q，則=4，由題意知an0，q0，q=2（nN*）又由a1a2a3an=（nN*）得：，bn=n（n+1）（nN*）（）（i）cn=Sn=c1+c2+c3+cn=；（ii）因?yàn)閏1=0，c20，c30，c40；當(dāng)n5時(shí)，而=0，得，所以，當(dāng)n5時(shí)，cn0，綜上，對任意nN*恒有S4Sn，故k=4 3. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.求. (2) 由 且 所以：，則：， ，（7分）以上n-1個(gè)等式相加得： 則：2，又 （9分） 所以： （10分）（3） 由題意知 （11分）則 以上兩式相減得 （13分） 則 恒成立， （16分）4.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，即，（1）若數(shù)列為首項(xiàng)為2020，公比為的等比數(shù)列，求的表達(dá)式；當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值；（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列都有且成立，求證：為等比數(shù)列.解（1）由題意知，所以，（3分）記，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的最大值是,(6分)此時(shí)，而，,所以,而，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，（9分）（2）當(dāng)2時(shí)，所以，即，（10分）已知當(dāng)時(shí)，兩式相除得，化簡得，又因?yàn)閮墒较喑?，?2分）式可化為，令，所以，所以,即，都成立，所以為等比數(shù)列.(16分)（當(dāng)然令，則轉(zhuǎn)而證明為等差數(shù)列，方法雷同，不再贅述）5. 設(shè)函數(shù)，（）.（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，）解：（1）當(dāng)時(shí)，方程即為，去分母，得，解得或， 2分故所求方程的根為或. 4分（2）因?yàn)?，所以（）?6分當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；時(shí)，的增區(qū)間為. .10分（3）方法一：當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增，所以存在唯一，使得，即， .12分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增， .14分所以，即，由，且為整數(shù)，得，所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .16分 方法二：當(dāng)時(shí)，所以，由得，當(dāng)時(shí)，不等式有解， .12分下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，即證恒成立.顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，只需證明當(dāng)時(shí)，恒成立.即證明.令，所以，由，得， .14分當(dāng)，；當(dāng)，；所以.所以當(dāng)時(shí)，恒成立.綜上所述，存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .16分6.若存在常數(shù)、，使得無窮數(shù)列滿足 則稱數(shù)列為“段比差數(shù)列”，其中常數(shù)、分別叫做段長、段比、段差. 設(shè)數(shù)列為“段比差數(shù)列”.（1）若的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、3.當(dāng)時(shí)，求；當(dāng)時(shí)，設(shè)的前項(xiàng)和為，若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，試寫出所有滿足條件的，并說明理由.（1）方法一：的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、0、3，. 3分方法二：的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、0、3，當(dāng)時(shí)，是周期為3的周期數(shù)列. 方法一：的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、1、3，是以為首項(xiàng)、6為公差的等差數(shù)列，又， ，設(shè)，則，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 9分 方法二：的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、1、3，是首項(xiàng)為、公差為6的等差數(shù)列，易知中刪掉的項(xiàng)后按原來的順序構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列， 6分以下同方法一.（2）方法一：設(shè)的段長、段比、段差分別為、，則等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有，當(dāng)時(shí)，即恒成立， 12分若，則，；若，則，則為常數(shù)，則，為偶數(shù)，；經(jīng)檢驗(yàn)，滿足條件的的通項(xiàng)公式為或. 16分方法二：設(shè)的段長、段比、段差分別為、，若，則，由，得；由，得，聯(lián)立兩式，得或，則或，經(jīng)檢驗(yàn)均合題意.