2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)40 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法 理（含解析）新人教版

課時(shí)作業(yè)40直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1已知函數(shù)f(x)x，a，b為正實(shí)數(shù)，Af，Bf()，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為(A)AABC BACBCBCA DCBA解析：因?yàn)?，又f(x)x在R上是單調(diào)減函數(shù)，故ff()f，即ABC.2若a、bR，則下面四個(gè)式子中恒成立的是(B)Alg(1a2)>0 Ba2b22(ab1)Ca23ab>2b2 D.<解析：在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20.a2b22(ab1)恒成立3已知p3q32，求證pq2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)pq2；已知a，bR，|a|b|<1，求證方程x2axb0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|1.以下正確的是(D)A與的假設(shè)都錯(cuò)誤B與的假設(shè)都正確C的假設(shè)正確；的假設(shè)錯(cuò)誤D的假設(shè)錯(cuò)誤；的假設(shè)正確解析：反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對于，其結(jié)論的反面是pq>2，所以不正確；對于，其假設(shè)正確4分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且abc0，求證<a”索的因應(yīng)是(C)Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0解析：由題意知<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.5用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n1，n的第一個(gè)取值應(yīng)是(C)A1 B2C3 D4解析：n1時(shí)，212,2×113,2n>2n1不成立；n2時(shí)，224,2×215,2n>2n1不成立；n3時(shí)，238,2×317,2n>2n1成立n的第一個(gè)取值應(yīng)是3.6設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：ab>1；ab2；ab>2；a2b2>2；ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是(C)A BC D解析：若a，b，則ab>1.但a<1，b<1，故推不出；若ab1，則ab2，故推不出；若a2，b3，則a2b2>2，故推不出；若a2，b3，則ab>1，故推不出；對于，即ab>2.則a，b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a1且b1，則ab2與ab>2矛盾，因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個(gè)大于1.二、填空題7設(shè)a2，b2，則a，b的大小關(guān)系為a<b.解析：a2，b2兩式的兩邊分別平方，可得a2114，b2114，顯然，<.a<b.8用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，acbd>1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：a，b，c，d全是負(fù)數(shù)解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”9用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為(k21)(k22)(k1)2.解析：當(dāng)nk時(shí)左端為123k(k1)(k2)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，左端為123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的項(xiàng)為(k21)(k22)(k1)2.三、解答題10等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列解：(1)解：由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，即(pr)20.pr，與pr矛盾假設(shè)不成立，即數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列11(2019·河北八校一模)已知f(n)1(nN*)，g(n)2(1)(nN*)(1)當(dāng)n1,2,3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)；(2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)2(1)，f(1)>g(1)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)1，g(2)2(1)，f(2)>g(2)，當(dāng)n3時(shí)，f(3)1，g(3)2，f(3)>g(3)(2)猜想：f(n)>g(n)(nN*)，即1>2(1)(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，上面已證假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即1>2(1)則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)1>2(1)22；而g(k1)2(1)22，下面轉(zhuǎn)化為證明：2>2.只要證：2(k1)12k3>2即可，需證：(2k3)2>4(k2)(k1)，即證：4k212k9>4k212k8，此式顯然成立，所以，當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立綜上可知：對nN*，猜想都成立，即1>2(1)(nN*)成立12已知f(x)，ab，則|f(a)f(b)|與|ab|的大小關(guān)系為(B)A|f(a)f(b)|>|ab|B|f(a)f(b)|<|ab|C|f(a)f(b)|ab|D不確定解析：|f(a)f(b)|<|ab|，所以|f(a)f(b)|<|ab|，故選B.13設(shè)函數(shù)f(x)x3，x0,1，證明：(1)f(x)1xx2；(2)<f(x).證明：(1)因?yàn)?xx2x3，由于x0,1，有，即1xx2x3，所以f(x)1xx2.(2)由0x1得x3x，故f(x)x3xx，所以f(x).由(1)得f(x)1xx22，又因?yàn)閒>，所以f(x)>.綜上，<f(x).14.已知兩個(gè)半徑不等的圓盤疊放在一起(有一軸穿過它們的圓心)，兩圓盤上分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個(gè)區(qū)域，小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為x1，x2，x3，x4，大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為y1，y2，y3，y4，如圖所示將小圓盤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)i(i1,2,3,4)次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)90°，記Ti(i1,2,3,4)為轉(zhuǎn)動(dòng)i次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和，例如T1x1y2x2y3x3y4x4y1.若x1x2x3x4<0，y1y2y3y4<0，則以下結(jié)論正確的是(A)AT1，T2，T3，T4中至少有一個(gè)為正數(shù)BT1，T2，T3，T4中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)CT1，T2，T3，T4中至多有一個(gè)為正數(shù)DT1，T2，T3，T4中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)解析：根據(jù)題意知(x1x2x3x4)(y1y2y3y4)>0，又(x1x2x3x4)(y1y2y3y4)T1T2T3T4，所以T1，T2，T3，T4中至少有一個(gè)為正數(shù)，故選A.6