高考數(shù)學一輪復習 69 復數(shù)學案 理
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第六十九課時 復數(shù)的概念與運算 （課前預習案） 考綱要求 1.了解復數(shù)的有關概念及復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義。 2.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除的運算法則。 3.了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關系及擴充的基本思想。 基礎知識梳理 1．復數(shù)：形如 的數(shù)叫做復數(shù)，其中a , b分別叫它的 和 ． 2．分類：設復數(shù)： (1) 當 ＝0時，z為實數(shù)； (2) 當 0時，z為虛數(shù)； (3) 當 ＝0, 且 0時，z為純虛數(shù). 3．復數(shù)相等：如果兩個復數(shù) 相等且 相等就說這兩個復數(shù)相等. 4．共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)實部 ，虛部 時．這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)．(當虛部不為零時，也可說成互為共軛虛數(shù))． 5．若z＝a＋bi, (a, bR), 則 | z |＝ ； z＝ . 6．復平面：建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面, x軸叫做 ， 叫虛軸． 7．復數(shù)z＝a＋bi(a, bR)與復平面上的點 建立了一一對應的關系． 8．兩個實數(shù)可以比較大小、但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)，就 比較它們的大小. 9. 復數(shù)的運算： （1）(a+bi) (c+di)= ； （2）(a+bi)(c+di)= ； （3）(a+bi)(c+di)= ； （4）①i具有周期性:4n+1= ；4n+2= ； 4n+3= ； 4n= ； n+n+1+n+2+n+3 = （nN） ②(1+i)2＝ ; (1-i)2＝ ; ③＝ ；＝ . 預習自測 1． i是虛數(shù)單位，則＋i＝________. 2． 若復數(shù)(1＋i)(1＋ai)是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝________. 3． 復數(shù)(3＋4i)i(其中i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4． 把復數(shù)z的共軛復數(shù)記作，i為虛數(shù)單位．若z＝1＋i，則(1＋z)等于( ) A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3 5． 設a，b∈R.“a＝0”是“復數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的 ( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 第六十九課時 復數(shù)的概念與運算（課堂探究案） 典型例題 考點1.復數(shù)的概念 【典例1】 (1)已知a∈R，復數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數(shù)，則復數(shù)的虛部為( ) A．1 B．i C. D．0 (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【變式1】（1）設,是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則m=____ （2）已知a, b∈R, i是虛數(shù)單位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 則a + bi = ______. 考點2.復數(shù)的運算 【典例2】 （1）設復數(shù)滿足,則 （ ?。? A． B． C． D． （2）復數(shù)的模為 （ ?。? A． B． C． D． （3）已知是虛數(shù)單位,則 （ ?。? A． B． C． D． 【變式2】 (1)已知復數(shù)z＝，是z的共軛復數(shù)，則z＝________. (2)復數(shù)的值是________． (3)已知復數(shù)z滿足＝2－i，則z＝__________. 考點3.復數(shù)的幾何意義 【典例3】（1）若復數(shù)滿足,則在復平面內,對應的點的坐標是 （ ?。? A． B． C． D． （2）復數(shù)在復平面上對應的點位于 （ ?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （3）在復平面內,復數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于 （ ?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （4）已知復數(shù)的共軛復數(shù)(i為虛數(shù)單位),則在復平面內對應的點位于 （ ?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【變式3】 已知z是復數(shù)，z＋2i、均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復數(shù)(z＋ai)2在復平面內對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍． 當堂檢測 1． 設i為虛數(shù)單位，則復數(shù)等于 ( ) A．6＋5i B．6－5i C．－6＋5i D．－6－5i 2． 若復數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為 ( ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 3． 若復數(shù)z滿足zi＝1－i，則z等于 ( ) A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i 4． 若＝1－bi，其中a，b都是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a＋bi|等于 ( ) A. B. C. D．1 5． 計算：＝________(i為虛數(shù)單位)． 第六十九課時 復數(shù)的概念與運算(課后鞏固案) A組全員必做題 1． 方程x2＋6x＋13＝0的一個根是 ( ) A．－3＋2i B．3＋2i C．－2＋3i D．2＋3i 2． 設f(n)＝n＋n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為 ( ) A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)個 3． 對任意復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是 ( ) A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 4．已知復數(shù)z＝(3＋i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________. 5．設復數(shù)z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z的實部是________． 6．設a，b∈R，a＋bi＝(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________． B組提高選做題 1． 已知復數(shù)z滿足＝1－2i，則復數(shù)z＝____________. 2．已知復數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為_____________________________． 3.已知復數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實數(shù)，求z2. 4．復數(shù)z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是實數(shù)，求實數(shù)a的值． 5.已知復數(shù)z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值時的z. 第六十九課時復數(shù)的概念與運算 參考答案 預習自測 1． 答案 ＋i 解析?。玦＝＋i＝＝＋i. 2． 答案 1 解析 由(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(a＋1)i是純虛數(shù)得，由此解得a＝1. 3．答案 B 解析 由于(3＋4i)i＝－4＋3i，因此該復數(shù)在復平面上對應的點的坐標是(－4,3)，相對應的點位于第二象限，選B. 4．答案 A 解析 (1＋z)＝(2＋i)(1－i)＝3－i. 5．答案 B 解析 當a＝0，且b＝0時，a＋bi不是純虛數(shù)；若a＋bi是純虛數(shù)，則a＝0. 故“a＝0”是“復數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件. 典型例題 【典例1】【答案】 (1)A (2)A 解析 (1)由＝＝＝＋i是純虛數(shù)，得a＝1，此時＝i，其虛部為1. (2)由， 解得m＝－2或m＝1， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件． 【變式1】（1）m=-2. （2） 【典例2】（1）A；（2）B ；（3）B 【變式2】答案 (1) (2)－16 (3)－－i 解析 (1)方法一 |z|＝＝， z＝|z|2＝. 方法二 z＝＝－＋， z＝＝. (2)＝ ＝24＝－16. (3)由＝2－i， 得z＝－i＝－i＝i－－i＝－－i. 【典例3】（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D 【變式3】 解 設z＝x＋yi(x、y∈R)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i， 由題意得x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根據(jù)條件，可知，解得2
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