高一數(shù)學（人教A版）必修2能力強化提升：3-2-2 直線的兩點式方程

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一、選擇題 1．過(x1，y1)和(x2，y2)兩點的直線方程是(　　) A.＝ B.＝ C．(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 D．(x2－x1)(x－x1)－(y2－y1)(y－y1)＝0 [答案]　C 2．直線＋＝1在y軸上的截距是(　　) A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b [答案]　C 3．直線＋＝1過一、二、三象限，則(　　) A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<0 [答案]　C 4．(2012－2013·邯鄲高一檢測)下列說法正確的是(　　) A.＝k是過點(x1，y1)且斜率為k的直線 B．在x軸和y軸上的截距分別是a、b的直線方程為＋＝1 C．直線y＝kx＋b與y軸的交點到原點的距離是b D．不與坐標軸平行或重合的直線方程一定可以寫成兩點式或斜截式 [答案]　D 5．已知△ABC三頂點A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB中點，N為AC中點，則中位線MN所在直線方程為(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 [答案]　A [解析]　點M的坐標為(2,4)，點N的坐標為(3,2)，由兩點式方程得＝，即2x＋y－8＝0. 6．過兩點(－1,1)和(3,9)的直線在x軸上的截距為(　　) A．－ B．－ C. D．2 [答案]　A [解析]　直線方程為＝， 化為截距式為＋＝1，則在x軸上的截距為－. 7．已知2x1－3y1＝4,2x2－3y2＝4，則過點A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線l的方程是(　　) A．2x－3y＝4 B．2x－3y＝0 C．3x－2y＝4 D．3x－2y＝0 [答案]　A [解析]　∵(x1，y1)滿足方程2x1－3y1＝4，則(x1，y1)在直線2x－3y＝4上．同理(x2，y2)也在直線2x－3y＝4上．由兩點決定一條直線，故過點A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線l的方程是2x－3y＝4. [點評]　利用直線的截距式求直線的方程時，需要考慮截距是否為零． 8．過P(4，－3)且在坐標軸上截距相等的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 [答案]　B [解析]　解法一：設直線方程為y＋3＝k(x－4)(k≠0)． 令y＝0得x＝，令x＝0得y＝－4k－3. 由題意，＝－4k－3，解得k＝－或k＝－1. 因而所求直線有兩條，∴應選B. 解法二：當直線過原點時顯然符合條件，當直線不過原點時，設直線在坐標軸上截距為(a,0)，(0，a)，a≠0，則直線方程為＋＝1，把點P(4，－3)的坐標代入方程得a＝1. ∴所求直線有兩條，∴應選B. 二、填空題 9．直線－＝1在兩坐標軸上的截距之和為________． [答案]?。? [解析]　直線－＝1在x軸上截距為4，在y軸上截距為－5，因此在兩坐標軸上截距之和為－1. 10．過點(0,1)和(－2,4)的直線的兩點式方程是________． [答案]?。?或＝) 11．過點(0,3)，且在兩坐標軸上截距之和等于5的直線方程是________． [答案]　3x＋2y－6＝0 [解析]　設直線方程為＋＝1，則 解得a＝2，b＝3，則直線方程為＋＝1， 即3x＋2y－6＝0. 12．直線l過點P(－1,2)，分別與x，y軸交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則直線l的方程為________． [答案]　2x－y＋4＝0 [解析]　設A(x,0)，B(0，y)． 由P(－1,2)為AB的中點， ∴　∴ 由截距式得l的方程為 ＋＝1，即2x－y＋4＝0. 三、解答題 13．求過點P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程． [解析]　設直線方程的截距式為＋＝1. 則＋＝1，解得a＝2或a＝1， 則直線方程是＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 14．已知三角形的頂點是A(8,5)、B(4，－2)、C(－6,3)，求經(jīng)過每兩邊中點的三條直線的方程． [解析]　設AB、BC、CA的中點分別為D、E、F，根據(jù)中點坐標公式得D(6，)、E(－1，)、F(1,4)．由兩點式得DE的直線方程為＝.整理得2x－14y＋9＝0，這就是直線DE的方程． 由兩點式得＝， 整理得7x－4y＋9＝0，這就是直線EF的方程． 由兩點式得＝ 整理得x＋2y－9＝0 這就是直線DF的方程． 15．△ABC的三個頂點分別為A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)． (1)分別求邊AC和AB所在直線的方程； (2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程； (3)求AC邊的中垂線所在直線的方程； (4)求AC邊上的高所在直線的方程； (5)求經(jīng)過兩邊AB和AC的中點的直線方程． [解析]　(1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直線AC的截距式方程為＋＝1，即x－2y＋8＝0. 由A(0,4)，B(－2,6)可得直線AB的兩點式方程為＝，即x＋y－4＝0. (2)設AC邊的中點為D(x，y)，由中點坐標公式可得x＝－4，y＝2，所以直線BD的兩點式方程為＝，即2x－y＋10＝0. (3)由直線AC的斜率為kAC＝＝，故AC邊的中垂線的斜率為k＝－2.又AC的中點D(－4,2)， 所以AC邊的中垂線方程為y－2＝－2(x＋4)， 即2x＋y＋6＝0. (4)AC邊上的高線的斜率為－2，且過點B(－2,6)，所以其點斜式方程為y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0. (5)AB的中點M(－1,5)，AC的中點D(－4,2)， ∴直線DM方程為＝， 即x－y＋6＝0. 16．求分別滿足下列條件的直線l的方程： (1)斜率是，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積是6； (2)經(jīng)過兩點A(1,0)，B(m,1)； (3)經(jīng)過點(4，－3)，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等． [分析]欲求直線的方程，關鍵是根據(jù)已知條件選擇一種最合適的形式． [解析](1)設直線l的方程為y＝x＋b. 令y＝0，得x＝－b， ∴|b·(－b)|＝6，b＝±3. ∴直線l的方程為y＝x±3 (2)當m≠1時，直線l的方程是 ＝，即y＝(x－1) 當m＝1時，直線l的方程是x＝1. (3)設l在x軸、y軸上的截距分別為a、b. 當a≠0，b≠0時，l的方程為＋＝1； ∵直線過P(4，－3)，∴－＝1. 又∵|a|＝|b|， ∴解得或 當a＝b＝0時，直線過原點且過(4，－3)， ∴l(xiāng)的方程為y＝－x. 綜上所述，直線l的方程為x＋y＝1或＋＝1或y＝x. [點評]明確直線方程的幾種特殊形式的應用條件，如(2)中m的分類，再如(3)中，直線在兩坐標軸上的截距相等包括截距都為零的情況．