第四講分類討論型問題

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1、 分類討論型問題的解題策略 數(shù)學(xué)思想和方法屬于基礎(chǔ)知識(shí)的范疇，分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想方法。近年各地中考試題都加強(qiáng)了數(shù)學(xué)思想方法的考查，其中分類討論思想的應(yīng)用最為廣泛，成為檢測(cè)學(xué)生分析問題和解決問題能力的常見題型。 分類討論是在解題過程中，將某一數(shù)學(xué)對(duì)象根據(jù)它本身的本質(zhì)屬性，按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后逐類進(jìn)行討論解決，再把這幾類的結(jié)論匯總，得出問題的答案的一種思想方法；其作用是克服思維的片面性，防止漏解。常見的分類討論題有：按數(shù)分類（絕對(duì)值概念，實(shí)數(shù)的分類等）；按字母的取值范圍分類（二次根式的化簡(jiǎn)，一元二次方程概念中二次項(xiàng)不為0等）；按圖形的位置分類（如點(diǎn)與直線，

2、直線與圓的位置關(guān)系等）。考查方式有填空題，選擇題，綜合題，特別是在中考?jí)狠S題中，往往涉及分類討論思想。 【例題講解】 例1 、若是關(guān)于x的一元二次方程，求a、b的值 解答：當(dāng) 或或 或或時(shí)，原方程為關(guān)于x的一元二次方程，因此，得 或或或或 解析： 結(jié)合方程特點(diǎn)，由于 x2a+b項(xiàng)的次數(shù)是2a+b ， -2x a -b項(xiàng)的次數(shù)是a – b,因而考慮這兩個(gè)次數(shù)至少有一個(gè)為2即可，共有五種情況。按題目的要求解決問題時(shí)，考慮問題要全面周到，要把所有可能的情況進(jìn)行窮舉，避免出現(xiàn)少解或漏解的情況。 例2、（04年貴陽(yáng)市）如圖，AB是半圓O的直徑，BC是弦，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以每

3、秒1㎝的速度移動(dòng)，若AB長(zhǎng)為10㎝，點(diǎn)O到BC的距離為4㎝。 （1） 求弦BC的長(zhǎng)； （2） 問經(jīng)過幾秒后，△BPC是等腰三角形。 點(diǎn)拔：第（2）問中P為動(dòng)點(diǎn)，使得線段PB、PC的長(zhǎng)是變化的，由于在“△BPC是等腰三角形”的條件中，沒有指明哪兩條邊為腰，所以要分三種不同情況進(jìn)行討論才能將問題回答完整。 解答：（1）過O作OD⊥BC于D，則BD=CD， 在Rt△OBD中，用勾股定理求得BD=3 ∴BC=6 （2設(shè)經(jīng)過x秒，△BPC為等腰三角形，∵PA= x， ∴PB=10 – x ① 當(dāng)PB=BC時(shí)，10 – x = 6，∴x = 4 ② 當(dāng)PB=PC時(shí)，則P與O點(diǎn)重合，PB=

4、5 ，10 – x=5 ∴x =5 ③ 當(dāng)PC=BC時(shí)，過C點(diǎn)作CE⊥AB于E點(diǎn)，連結(jié)AC，在Rt△ABC中，求得AC=8， 由AC2 – AE2 = BC2 – BE2，得x =2.8 綜上所述：經(jīng)過2.8秒、4秒、5秒時(shí)△BPC是等腰三角形。 解析：1、本題的第（1）問過O作OD⊥BC于D，OD是“弦心距”線段，見弦作出“弦心距”線段，使用勾股定理和垂徑定理解題是圓中常用的作輔助線方法。 2、本題的第（2）問是分別將△PBC固定，再求解，體現(xiàn)了由動(dòng)到靜的轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想。與等腰三角形、直角三角形、三角形全等或相似有關(guān)的分類討論的考題是近年中考的熱點(diǎn)題型。 例3、（04年

5、濟(jì)南市） 如圖，已知直線的圖象與、軸交于A、B兩點(diǎn)．直線經(jīng)過原點(diǎn)，與線段AB交于點(diǎn)C，把△AOB的面積分為2∶1的兩部分．求直線的解析式． 解答：先求得 A( -3, 0) , B(0 , 3) . 如圖（1），當(dāng)直線 l 把△ABO的面積分為 S△AOC∶S△BOC =2∶1時(shí),作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E， S△AOB= . 則S△AOC ， ∴AO·CF=3 . 即 ∴CF=2 . 同理，解得 CE = 1 .∴ C( -1 ,2)

6、 . ∴直線l的解析式為 如圖（2），當(dāng)直線 l 把△ABO的面積分為 S△AOC∶S△BOC=1∶2時(shí), 同理求得C( - 2 ,1) . ∴直線l的解析式為 y= - 0 .5x 　　　.　 解析：本題是由語言的模糊性導(dǎo)致分類情況的產(chǎn)生，△AOB是定三角形， “直線OC把△AOB的面積分為2∶1的兩部分”時(shí)，C點(diǎn)的位置并不確定，出現(xiàn)兩種情況，畫出符合題意的兩種圖形分別進(jìn)行求解即可。本題要求學(xué)生通過分析題意畫出符合要求的圖形，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)。 例4、已知：在△ABC中，∠C=90，AC=BC=8，要在△ABC中剪出一個(gè)扇形，使扇形的半徑都

7、在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切。 （1） 請(qǐng)畫出符合題意的設(shè)計(jì)方案示意圖； （2） 若用剪下的扇形作圓錐的側(cè)面，請(qǐng)計(jì)算出此圓錐的底面半徑。 解：（1）有四種設(shè)計(jì)方案， (2)如圖（a），取AB中點(diǎn)M，以點(diǎn)C為圓心，CM長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BC、AC于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)CM。求得l =2π ∵l=2πr，∴2πr=2π，∴r= 如圖（b），作∠B的平分線交AC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E，作OM⊥AB于M，則CO=OM，求得l = (8– 8) π，∵l=2πr，∴2πr = 2 (8– 8) π，解得r = 4 – 4 如圖（c），以A為圓

8、心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于D，求得l=2π ∴r=1 如圖(d)，取AB中點(diǎn)O，作OD⊥AC于D，O為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于E、F兩點(diǎn)求得l = 4π，∴r= 2 綜上所述：r= 或r = 44或r=1或r= 2 解析：這是一道考查學(xué)生動(dòng)手作圖能力的設(shè)計(jì)題。要使扇形的半徑都在△ABC的邊上，則有兩種情況：其一為扇形的頂點(diǎn)在Rt△ABC的一邊上，由于直角三角形有直角邊、斜邊之分；有銳角頂點(diǎn)、直角頂點(diǎn)之分，所以它們又各有兩種情況。求圓錐的底面半徑時(shí)只需注意扇形的弧長(zhǎng)是圓錐底面的周長(zhǎng)。 例5、如圖，等腰△ABC的兩直角邊AB=AC=6cm,⊙O的半徑為rcm，圓心O從點(diǎn)A出發(fā)，沿

9、著線路AB—BC—CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A時(shí)，⊙O隨著點(diǎn)O所運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)。 （1）若r=cm,求⊙O第一次與BC邊相切時(shí)，AO的長(zhǎng)； （2）在⊙O移動(dòng)過程中，自A點(diǎn)出發(fā)再移動(dòng)到與A點(diǎn)重 合，與各邊共相切幾次？請(qǐng)寫出不同情況下r的取值范圍及相切的次數(shù)； （3）設(shè)⊙O在整個(gè)移動(dòng)過程中，在△ABC內(nèi)部，⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S（cm2），在S＞0時(shí)，求S關(guān)于r的函數(shù)解析式。 解答：（1）設(shè)⊙O首次與BC相切于點(diǎn)D，則有OD⊥BC，且OD= r =， 在R t△BDO中，∵∠OBD=45°∴ ∴AO= AB - OB=（6–2）cm， （2）由等腰直角三角形的直角邊AB=6cm,所

10、以作斜邊BC上的高AF，則AF=AB·Sin45°= 6× ①當(dāng)r＞6 cm時(shí)，⊙O與△ABC各邊不相切； ②當(dāng)r = 6 cm時(shí)，⊙O與△ABC各邊共相切2次； ③當(dāng)6＜r＜6 cm時(shí)，⊙O與△ABC各邊共相切4次； ④當(dāng)r = 6 cm時(shí)，⊙O與△ABC各邊共相切5次； ⑤當(dāng)0＜r＜6 cm時(shí)，⊙O與△ABC各邊共相切6次； （3）如圖，已知在S＞0時(shí)，⊙O在移動(dòng)中，在Rt△ABC內(nèi)部未經(jīng)過的部分為等腰直角三角形，這個(gè)Rt△A′B′C′的三邊分別與原Rt△ABC三邊平行，且平行線間距離等于r。 設(shè)B′C′與AF交于E點(diǎn)，則AE⊥B′C′，又過點(diǎn)A′作A′G⊥AB于點(diǎn)G， 則

11、A′G= r ∴ AA′=r ， A′E=AF –r r= 6（+1）r。 B′C′=2[6 –（+1）r] ∴S = B′C′·A′E=×2[6 （+1）r]·[6–（+1）r ] =[6 –（+1）r]2=（3+2）r2 – 12（+1）r+36 [0＜r＜6（ –1）] 解析：第（2）問是動(dòng)圓與直線相切的問題，想象出動(dòng)圓與三角形各邊相切的情況，針對(duì)每一種可能出現(xiàn)的情況來求解，方能保證解題的完整性，體現(xiàn)了分類討論思想的重要性。第（3）問關(guān)鍵是能畫出未經(jīng)過部分的圖形形狀。此題綜合性強(qiáng)，難度大，應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。 【鞏固練習(xí)】 1、如圖1，在△ABC 中，∠B

12、、∠C 均為銳角，其對(duì)邊分別為b、c,求證：=； （2）在△ABC 中，AB=，AC=，∠B =450,問滿足這樣的△ABC 有幾個(gè)?在圖2中作出來(不寫作法,不述理由)并利用(1)的結(jié)論求出∠ACB的大小。 2、（04年廣東茂名市）已知：△ABC的兩邊AB、BC的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊長(zhǎng)為10。 問當(dāng)為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形。 3、閱讀下面的例題： 解方程 解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為x2 – x –2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合題意，舍去） （2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為x2 + x

13、–2=0，解得：x1=1,（不合題意，舍去）x2= -2∴原方程的根是x1=2, x2= - 2 請(qǐng)參照例題解方程 4、（04年云南）如圖已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AE切⊙O于點(diǎn)A，BC∥AE。 （1）求證：△ABC是等腰三角形； （2）設(shè)，，點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn)，若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，問這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？并求AP的長(zhǎng)； 5、（01咸寧市）如圖已點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），動(dòng)點(diǎn)P在直線y=x－3上，求使△PAO為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)。 B D C A 6、（04浙江省衢州市）如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm

14、，BC=20cm.P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，分別以1cm/秒和2cm/秒的速度沿A—B—C—D—A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)回到A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。 （1） 當(dāng)P、Q分別在AB邊和BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形面積為s，請(qǐng)寫出s關(guān)于t的函數(shù)解析式及自變量t的取值范圍。 （2） 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t取何值時(shí)，PQ與BD垂直。 【參考答案】 1、

15、 2、由已知方程得： 不妨設(shè)AB=，BC=，顯然AB≠BC。而△ABC的第三邊長(zhǎng)AC為10。 （1）若AB=AC，則=10，得=8，即=8時(shí)，△ABC為等腰三角形； （2）若BC=AC，則=10，即=10時(shí)。△ABC為等腰三角形； 3

16、、x1= 0 ，x2= －2 4、（1）∵BC∥AE，∴∠BCA=∠CAE，又∵AE切⊙O于點(diǎn)A，∴∠CAE=∠ABC， ∴∠BCA=∠ABC ，∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形。 （2）射線AE上滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè) ① 過點(diǎn)C作CP1∥AB交AE于點(diǎn)P1，此時(shí)△A P1C∽△BCA，又AC=AB， ∴△AP1C≌△BCA，這時(shí)A P1=BC=8 ② 過點(diǎn)C作⊙O的切線交AE于點(diǎn)P2，則A P2=C P2 ，∵∠AC P2=∠CA P2=∠BCA=∠CBA，∴△A P2C∽△BAC，可求得，∴AP的長(zhǎng)為8㎝或㎝ 5、（0，－3）或（2，－2） 6、(1)s=-t2+15t-50 (5