高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件文.ppt

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文數(shù) 課標(biāo)版,第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,1.等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從① 第二項(xiàng) 起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于 ② 同一個(gè)常數(shù) ,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù) 叫做等比數(shù)列的③ 公比 ,通常用字母④ q 表示,定義的 表達(dá)式為 =q(n∈N*).,教材研讀,2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=⑤ a1qn-1 .,3.等比中項(xiàng) 若⑥ G2=ab(ab≠0) ,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).,4.等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am·⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則⑧ akal=aman . (3)若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0), ,{ },{an·bn}, 仍是等比數(shù)列.,5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),其前n項(xiàng)和為Sn, 當(dāng)q=1時(shí),Sn=⑨ na1 ; 當(dāng)q≠1時(shí),Sn=⑩ = .,6.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為 qn .,判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(×) (2)G為a,b的等比中項(xiàng)?G2=ab. (×) (3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n是等差數(shù)列. (×) (4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列. (×) (5)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為Sn= . (×),1.已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5= ,則公比q=( ) A.- B.-2 C.2 D. 答案 D 由通項(xiàng)公式及已知得a1q=2①,a1q4= ②,由②÷①得q3= ,解得 q= .故選D.,,2.已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a-1,a+1,a+4,則an= ( ) A.4× B.4× C.4× D.4× 答案 B 由題意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以q= ,則 an=4× .,,3.在等比數(shù)列{an}中,已知a7a12=5,則a8a9a10a11= ( ) A.10 B.25 C.50 D.75 答案 B ∵a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.,,4.已知在等比數(shù)列{an}中,a2= ,a3= ,ak= ,則k= . 答案 7 解析 設(shè){an}的公比為q.∵a2= ,a3= ,∴q= = ,∴a1=1,由ak=a1· = ,解得k=7.,,5.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,8a2+a5=0,則 = . 答案 -11 解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則8a1q+a1q4=0,又a1≠0,q≠0,∴q=-2, ∴ = = =-11.,,考點(diǎn)一 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 典例1 (1)(2016山西太原一模)已知等比數(shù)列{an}單調(diào)遞減,若a3=1,a2+a4 = ,則a1= ( ) A.2 B.4 C. D.2 (2)在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項(xiàng)之和S3=21,則公比q的值為 ( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或 (3)(2015課標(biāo)Ⅰ,13,5分)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項(xiàng)和. 若Sn=126,則n= . 答案 (1)B (2)C (3)6,考點(diǎn)突破,,方法指導(dǎo) 解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的常用思想方法 (1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”. (2)分類(lèi)討論的思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論, 當(dāng)q=1時(shí),{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),{an}的前n項(xiàng)和Sn= = .,1-1 已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,則 = ( ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1 答案 D 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵ ∴ 由①÷②可得 =2, ∴q= ,代入①解得a1=2,,,∴an=2× = ,Sn= =4 , ∴ = =2n-1,選D.,1-2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn+1=9an(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析 (1)當(dāng)n=1時(shí),由6a1+1=9a1, 得a1= . 當(dāng)n≥2時(shí),由6Sn+1=9an, 得6Sn-1+1=9an-1, 兩式相減得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1), 即6an=9(an-an-1), ∴an=3an-1.,,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為 ,公比為3的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an= ×3n-1=3n-2. (2)∵bn= = , ∴{bn}是首項(xiàng)為3,公比為 的等比數(shù)列, ∴Tn=b1+b2+…+bn= = .,考點(diǎn)二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 典例2 (1)(2016廣東廣州綜合測(cè)試)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,若a4+a6= 10,則a7(a1+2a3)+a3a9的值為 ( ) A.10 B.20 C.100 D.200 (2)(2016吉林長(zhǎng)春調(diào)研)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an -1anan+1=324,則n= . (3)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3= . 答案 (1)C (2)14 (3)3∶4 解析 (1)a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9= +2a4a6+ =(a4+a6)2=102=100, 故選C. (2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由a1a2a3=4= q3與a4a5a6=12= q12可得q9=3,由,,于an-1anan+1= q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,解得n=14. (3)由題意可知q≠-1,故由等比數(shù)列的性質(zhì)知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比數(shù)列, 于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6), 將S6= S3代入可得 = .,易錯(cuò)警示 (1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別 是“若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),則am·an=ap·aq”,可以減少運(yùn)算量,提 高解題速度.(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提,有時(shí)需 要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外,解題時(shí)注意對(duì)設(shè)而不求思想的運(yùn)用.,2-1 已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比數(shù)列,則xyz的值為 ( ) A.-3 B.±3 C.-3 D.±3 答案 C 由題意知y2=3,∴y=± , 又∵y與-1,-3符號(hào)相同, ∴y=- ,又y2=xz, 所以xyz=y3=-3 .,,,考點(diǎn)三 等比數(shù)列的判定與證明 典例3 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N*.已知a1=1,a2= ,a3= ,且當(dāng)n≥2 時(shí),4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值; (2)證明: 為等比數(shù)列. 解析 (1)當(dāng)n=2時(shí),4S4+5S2=8S3+S1, 即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1, 整理得a4= , 因?yàn)閍2= ,a3= ,,,所以a4= . (2)證明:當(dāng)n≥2時(shí),有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1, 即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1, 所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1), 即an+2=an+1- an(n≥2). 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)n=1時(shí),上式成立. 因?yàn)?= = = ,為常數(shù),且a2- a1=1, 所以數(shù)列 是以1為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列.,方法技巧 證明數(shù)列{an}(各項(xiàng)不為零)是等比數(shù)列的常用方法:一是定義法,證明 =q(n≥2,q為非零常數(shù));二是等比中項(xiàng)法,證明 =an-1·an+1(n≥2).若判 定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,則可以舉反例,也可以用反證法.,3-1 在數(shù)列{an}中,“an=2an-1,n=2,3,4,…”是“{an}是公比為2的等比數(shù) 列”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 因?yàn)楫?dāng)an=0時(shí),也有an=2an-1,n=2,3,4,…,但{an}是等差數(shù)列,不 是等比數(shù)列,因此充分性不成立.當(dāng){an}是公比為2的等比數(shù)列時(shí),有 = 2,n=2,3,4,…,即an=2an-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立.,,3-2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2).若an+ Sn=n. (1)設(shè)cn=an-1,求證:數(shù)列{cn}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. 解析 (1)證明:由an+Sn=n, 得an-1+Sn-1=n-1(n≥2), 兩式相減得2an-an-1=1(n≥2),,即2(an-1)=an-1-1(n≥2), 所以cn= cn-1(n≥2). 又由 解得a1= ,,,所以c1=a1-1=- ≠0, 所以數(shù)列{cn}是等比數(shù)列. (2)由(1)知cn= · =- , 所以an=cn+1=1- , 所以bn=an-an-1= (n≥2). 又b1=a1= 適合上式, 所以bn= .,