高三數學一輪復習第六章數列第三節(jié)等比數列及其前n項和課件文.ppt
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文數 課標版,第三節(jié) 等比數列及其前n項和,1.等比數列的定義 如果一個數列從① 第二項 起,每一項與前一項的比等于 ② 同一個常數 ,那么這個數列就叫做等比數列,這個常數 叫做等比數列的③ 公比 ,通常用字母④ q 表示,定義的 表達式為 =q(n∈N*).,教材研讀,2.等比數列的通項公式 等比數列{an}的通項公式為an=⑤ a1qn-1 .,3.等比中項 若⑥ G2=ab(ab≠0) ,那么G叫做a與b的等比中項.,4.等比數列的常用性質 (1)通項公式的推廣:an=am·⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}為等比數列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則⑧ akal=aman . (3)若{an},{bn}(項數相同)是等比數列,則{λan}(λ≠0), ,{ },{an·bn}, 仍是等比數列.,5.等比數列的前n項和公式 等比數列{an}的公比為q(q≠0),其前n項和為Sn, 當q=1時,Sn=⑨ na1 ; 當q≠1時,Sn=⑩ = .,6.等比數列前n項和的性質 公比不為-1的等比數列{an}的前n項和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數列,其公比為 qn .,判斷下列結論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數)的數列{an}為等比數列.(×) (2)G為a,b的等比中項?G2=ab. (×) (3)如果數列{an}為等比數列,bn=a2n-1+a2n是等差數列. (×) (4)如果數列{an}為等比數列,則數列{ln an}是等差數列. (×) (5)數列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和為Sn= . (×),1.已知{an}是等比數列,a2=2,a5= ,則公比q=( ) A.- B.-2 C.2 D. 答案 D 由通項公式及已知得a1q=2①,a1q4= ②,由②÷①得q3= ,解得 q= .故選D.,,2.已知等比數列{an}的前三項依次為a-1,a+1,a+4,則an= ( ) A.4× B.4× C.4× D.4× 答案 B 由題意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以q= ,則 an=4× .,,3.在等比數列{an}中,已知a7a12=5,則a8a9a10a11= ( ) A.10 B.25 C.50 D.75 答案 B ∵a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.,,4.已知在等比數列{an}中,a2= ,a3= ,ak= ,則k= . 答案 7 解析 設{an}的公比為q.∵a2= ,a3= ,∴q= = ,∴a1=1,由ak=a1· = ,解得k=7.,,5.設Sn為等比數列{an}的前n項和,8a2+a5=0,則 = . 答案 -11 解析 設數列{an}的公比為q,則8a1q+a1q4=0,又a1≠0,q≠0,∴q=-2, ∴ = = =-11.,,考點一 等比數列的基本運算 典例1 (1)(2016山西太原一模)已知等比數列{an}單調遞減,若a3=1,a2+a4 = ,則a1= ( ) A.2 B.4 C. D.2 (2)在等比數列{an}中,a3=7,前3項之和S3=21,則公比q的值為 ( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或 (3)(2015課標Ⅰ,13,5分)在數列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和. 若Sn=126,則n= . 答案 (1)B (2)C (3)6,考點突破,,方法指導 解決等比數列有關問題的常用思想方法 (1)方程的思想:等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”. (2)分類討論的思想:等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論, 當q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當q≠1時,{an}的前n項和Sn= = .,1-1 已知等比數列{an}的前n項和為Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,則 = ( ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1 答案 D 設等比數列{an}的公比為q,∵ ∴ 由①÷②可得 =2, ∴q= ,代入①解得a1=2,,,∴an=2× = ,Sn= =4 , ∴ = =2n-1,選D.,1-2 設數列{an}的前n項和Sn滿足6Sn+1=9an(n∈N*). (1)求數列{an}的通項公式; (2)若數列{bn}滿足bn= ,求數列{bn}的前n項和Tn. 解析 (1)當n=1時,由6a1+1=9a1, 得a1= . 當n≥2時,由6Sn+1=9an, 得6Sn-1+1=9an-1, 兩式相減得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1), 即6an=9(an-an-1), ∴an=3an-1.,,∴數列{an}是首項為 ,公比為3的等比數列,其通項公式為an= ×3n-1=3n-2. (2)∵bn= = , ∴{bn}是首項為3,公比為 的等比數列, ∴Tn=b1+b2+…+bn= = .,考點二 等比數列的性質及應用 典例2 (1)(2016廣東廣州綜合測試)已知數列{an}為等比數列,若a4+a6= 10,則a7(a1+2a3)+a3a9的值為 ( ) A.10 B.20 C.100 D.200 (2)(2016吉林長春調研)在正項等比數列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an -1anan+1=324,則n= . (3)設等比數列{an}的前n項和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3= . 答案 (1)C (2)14 (3)3∶4 解析 (1)a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9= +2a4a6+ =(a4+a6)2=102=100, 故選C. (2)設數列{an}的公比為q,由a1a2a3=4= q3與a4a5a6=12= q12可得q9=3,由,,于an-1anan+1= q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,解得n=14. (3)由題意可知q≠-1,故由等比數列的性質知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比數列, 于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6), 將S6= S3代入可得 = .,易錯警示 (1)在解決等比數列的有關問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質,特別 是“若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),則am·an=ap·aq”,可以減少運算量,提 高解題速度.(2)在應用相應性質解題時,要注意性質成立的前提,有時需 要進行適當變形.此外,解題時注意對設而不求思想的運用.,2-1 已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比數列,則xyz的值為 ( ) A.-3 B.±3 C.-3 D.±3 答案 C 由題意知y2=3,∴y=± , 又∵y與-1,-3符號相同, ∴y=- ,又y2=xz, 所以xyz=y3=-3 .,,,考點三 等比數列的判定與證明 典例3 設數列{an}的前n項和為Sn,n∈N*.已知a1=1,a2= ,a3= ,且當n≥2 時,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值; (2)證明: 為等比數列. 解析 (1)當n=2時,4S4+5S2=8S3+S1, 即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1, 整理得a4= , 因為a2= ,a3= ,,,所以a4= . (2)證明:當n≥2時,有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1, 即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1, 所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1), 即an+2=an+1- an(n≥2). 經檢驗,當n=1時,上式成立. 因為 = = = ,為常數,且a2- a1=1, 所以數列 是以1為首項, 為公比的等比數列.,方法技巧 證明數列{an}(各項不為零)是等比數列的常用方法:一是定義法,證明 =q(n≥2,q為非零常數);二是等比中項法,證明 =an-1·an+1(n≥2).若判 定一個數列不是等比數列,則可以舉反例,也可以用反證法.,3-1 在數列{an}中,“an=2an-1,n=2,3,4,…”是“{an}是公比為2的等比數 列”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 因為當an=0時,也有an=2an-1,n=2,3,4,…,但{an}是等差數列,不 是等比數列,因此充分性不成立.當{an}是公比為2的等比數列時,有 = 2,n=2,3,4,…,即an=2an-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立.,,3-2 設數列{an}的前n項和為Sn,數列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2).若an+ Sn=n. (1)設cn=an-1,求證:數列{cn}是等比數列; (2)求數列{bn}的通項公式. 解析 (1)證明:由an+Sn=n, 得an-1+Sn-1=n-1(n≥2), 兩式相減得2an-an-1=1(n≥2),,即2(an-1)=an-1-1(n≥2), 所以cn= cn-1(n≥2). 又由 解得a1= ,,,所以c1=a1-1=- ≠0, 所以數列{cn}是等比數列. (2)由(1)知cn= · =- , 所以an=cn+1=1- , 所以bn=an-an-1= (n≥2). 又b1=a1= 適合上式, 所以bn= .,- 配套講稿:
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- 數學 一輪 復習 第六 數列 三節(jié) 等比數列 及其 課件
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