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2019-2020年高中數(shù)學 2.3 圓的方程 2.3.3 直線與圓的位置關系教案 新人教B版必修2
教學分析
教材通過兩個例題介紹了用代數(shù)方法研究直線和圓的位置關系，值得注意的是在教學中要引導學生對比例1的兩種解法，使學生真正體會到解法2(幾何法)的簡便．
三維目標
1．掌握直線與圓的位置關系及其判定方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力．
2．能解決與直線和圓的位置關系有關的問題，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想．
重點難點
教學重點：直線與圓的位置關系．
教學難點：求圓的切線方程．
課時安排
1課時
導入新課
設計1.我們已經(jīng)學習了直線、圓的方程，那么如何用方程來討論直線與圓的位置關系呢？教師點出課題．
設計2.早晨起來，站在海邊上向東方觀看：太陽從海平面上緩緩升起．如果把遠處的海平面抽象成直線，把太陽抽象成圓，那么其中呈現(xiàn)直線與圓的什么位置關系？今天，我們用方程來討論，教師點出課題．
推進新課
討論結果：
(1)相離、相切、相交．如下圖所示．
(2)方法一：根據(jù)公共點的個數(shù)
方法二：根據(jù)圓心到直線距離d與半徑r的大小關系．
如下表所示：
直線與圓的位置關系
公共點個數(shù)
圓心到直線的距離d
與半徑r的關系
相交
兩個
d
r
(3)方法一，判斷直線l與圓的位置關系，就是看由它們的方程組成的方程組解的個數(shù)；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷直線與圓的位置關系．
思路1
例1已知圓的方程是x2＋y2＝2，直線方程是y＝x＋b，當b為何值時，圓與直線有兩個公共點？只有一個公共點？沒有公共點？
解法一：所求曲線公共點問題可轉化為b為何值時，方程組
有兩組不同實數(shù)解；有兩組相同實數(shù)解；無實數(shù)解的問題．
②代入①，整理，得
2x2＋2bx＋b2－2＝0，③
方程③的根的判別式
Δ＝(2b)2－42(b2－2)
＝－4(b＋2)(b－2)．
當－20，方程組有兩組不同實數(shù)解，因此直線與圓有兩個公共點；
當b＝2或b＝－2時，Δ＝0，方程組有兩組相同的實數(shù)解，因此直線與圓只有一個公共點；
當b<－2或b>2時，Δ<0，方程組沒有實數(shù)解，因此直線與圓沒有公共點．
以上分別就是直線與圓相交、相切、相離的三種情況(如下圖)．
解法二：圓與直線有兩個公共點、只有一個公共點、無公共點的問題，可以轉化為b取何值時圓心到直線的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問題．
圓的半徑r＝，圓心O(0,0)到直線y＝x＋b的距離為d＝.
當dr，|b|>2，即b<－2或b>2時，圓與直線相離，圓與直線無交點．
點評：解法一稱為代數(shù)法，解法二稱為幾何法．幾何法是判定直線與圓的位置關系的最優(yōu)解法．
代數(shù)法步驟：
①將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組；
②利用消元法，得到關于另一個元的一元二次方程；
③求出其判別式Δ的值；
④比較Δ與0的大小關系，若Δ>0，則直線與圓相交；若Δ＝0，則直線與圓相切；若Δ<0，則直線與圓相離．
幾何法步驟：
①把直線方程化為一般式，求出圓心和半徑；
②利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離；
③作判斷：當d>r時，直線與圓相離；當d＝r時，直線與圓相切；當dr，可知直線與圓相離．
(2)點C到直線x＋2y－1＝0的距離為d2＝＝＝.
因為d20，
∴直線與圓相交，有兩個交點．
解法二：圓的方程可化為x2＋(y－1)2＝5，
其圓心的坐標為(0,1)，半徑長為.
圓心到直線的距離為d＝<.
∴直線與圓相交，有兩個交點．
由x2－3x＋2＝0得x1＝2，x2＝1.當x1＝2時，y1＝6－32＝0；
當x2＝1時，y2＝6－31＝3，
得交點坐標為(2,0)、(1,3)．
點評：利用幾何法判斷比利用代數(shù)方法要快．但求交點坐標時仍需聯(lián)立方程．
直線與圓的位置關系的判定：法一：看由它們的方程組成的方程組有解的個數(shù)；法二：可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關系．
變式訓練
1．直線l：3x＋4y＋6＝0與圓x2＋y2＝4的交點個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．不確定
解析：圓心(0,0)到直線l的距離d＝＝0)，如下圖．
則弦長p＝2，其中d為圓心到直線x－y－1＝0的距離，
∴p＝2＝2.∴r2＝4.
∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
由解得弦的兩端點坐標是(2,1)、(0，－1)．
∴過弦兩端點的該圓的切線方程是y＝1和x＝0.
知能訓練
1．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程．
答案：(x＋3)2＋(y＋1)2＝9或(x－3)2＋(y－1)2＝9.
2．圓x2＋y2＝2上的點到直線3x＋4y＋25＝0的距離的最小值為( )
A．5－ B．5＋
C．3 D.－
答案：A
3．以M(－4,3)為圓心的圓與直線2x＋y－5＝0相離，那么圓M的半徑r的取值范圍是( )
A．04，所以點P在圓(x－2)2＋y2＝4外．設切線斜率為k，則切線方程為y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0.又圓心坐標為(2,0)，r＝2.因為圓心到切線的距離等于半徑，即＝2，k＝.
所以切線方程為21x－20y＋16＝0.當直線的斜率不存在時還有一條切線是x＝4.
7．圓x2＋y2＝8內有一點P0(－1,2)，AB為過點P0且傾斜角為α的弦．
(1)當α＝135時，求AB的長；(2)當AB的長最短時，求直線AB的方程．
解：(1)當α＝135時，直線AB的斜率為k＝tan135＝－1，所以直線AB的方程為
y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1.
弦心距d＝，半徑r＝2，弦長|AB|＝2＝2＝.
(2)當AB的長最短時，OP0⊥AB，因為kOP0＝－2，所以kAB＝，直線AB的方程為y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
(1)已知直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝有兩個不同的公共點，求實數(shù)b的取值范圍；
(2)若關于x的不等式 >x＋b解集為R，求實數(shù)b的取值范圍．
解：(1)如下圖，方程y＝x＋b表示斜率為1，在y軸上截距為b的直線l；
方程y＝ 表示單位圓在x軸上及其上方的半圓，
當直線過B點時，它與半圓交于兩點，此時b＝1，直線記為l1；
當直線與半圓相切時，b＝，直線記為l2.
直線l要與半圓有兩個不同的公共點，必須滿足l在l1與l2之間(包括l1但不包括l2)，
所以1≤b<，即所求的b的取值范圍是[1，)．
(2)不等式>x＋b恒成立，即半圓y＝在直線y＝x＋b上方，
當直線l過點(1,0)時，b＝－1，所以所求的b的取值范圍是(－∞，－1)．
1．判斷直線與圓的位置關系的方法：幾何法和代數(shù)法．
2．求切線方程．
本節(jié)練習B 2,3,4題．
本節(jié)教學設計以例題教學為主，突出了圓的幾何性質的應用．滲透了數(shù)形結合的思想．在設計過程中，考慮到高考要求，例題的難度有所增加，在實際教學中可選擇應用．
備選習題
1．圓(x－1)2＋(y＋)2＝1的切線方程中有一個是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x＝0 D．y＝0
解析：圓心為(1，－)，半徑為1，故此圓必與y軸(x＝0)相切．
答案：C
2．圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為的點共有( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
答案：C
3．已知圓x2－4x－4＋y2＝0的圓心是點P，則點P到直線x－y－1＝0的距離是________．
答案：
4．已知圓C的圓心與點P(－2,1)關于直線y＝x＋1對稱．直線3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝6，則圓C的方程為__________．
解析：設圓心為C(a，b)，
則由
∴C(0，－1)．
設C半徑為r，點C到直線3x＋4y－11＝0的距離為d，
則d＝＝3.
∴r2＝()2＋d2＝9＋9＝18.
∴x2＋(y＋1)2＝18.
答案：x2＋(y＋1)2＝18
5．直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交；(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程．
(1)證明：設圓心C到直線l的距離為d，則有d＝，整理可得4(d2－1)m2＋12m＋d2－9＝0?、伲瑸槭股厦骊P于m的方程有實數(shù)解，需要Δ＝122－16(d2－1)(d2－9)≥0，解得0≤d≤，可得d<5.故不論m為何實數(shù)值，直線l與圓C總相交；
(2)解：由(1)可知0≤d≤，即d的最大值為.根據(jù)平面幾何知識可知：當圓心到直線l的距離最大時，直線l被圓C截得的線段長度最短．所以當d＝時，線段(即弦長)的最小長度為2＝2.將d＝代入①可求得m＝－，代入直線l的方程得直線與圓C截得最短線段時的方程為x＋3y＋5＝0.
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