《三維設(shè)計(jì)》2012屆高三數(shù)學(xué) 第8章 第7節(jié) 課時限時檢測 新人教A版[5頁]

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1、 第8章 第7節(jié) (時間60分鐘，滿分80分) 一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分) 1．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．－2 C．4或－4 D．12或－2 解析：設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)， 由定義知P到準(zhǔn)線距離為4， 故＋2＝4，∴p＝4， ∴方程為x2＝－8y，代入P點(diǎn)坐標(biāo)得m＝4. 答案：C 2．(2011東北三校)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到雙曲線－＝1的漸近線的距離為(　　) A．1

2、 B. C. D. 解析：由題意可知，拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，雙曲線－＝1的漸近線為y＝x，所以焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為＝1. 答案：A 3．過點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(diǎn)(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)． 答案：C 4．已知過拋物線y2＝6x焦點(diǎn)的弦長為12，則此弦所在直線的傾斜角是(

3、　　) A.或 B.或 C.或 D. 解析：由焦點(diǎn)弦長公式|AB|＝得＝12，∴sinθ＝，∴θ＝或. 答案：B 5．(2011濟(jì)南第二次診斷)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：由題可知拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，于是過焦點(diǎn)且斜率為2的直線的方程為y＝2(x－)，令x＝0，可得A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)，所以S△OAF＝＝

4、4，∴a＝8. 答案：B 6．已知拋物線y2＝4x上兩個動點(diǎn)B、C和點(diǎn)A(1,2)，且∠BAC＝90，則動直線BC必過定點(diǎn)(　　) A．(2,5) B．(－2,5) C．(5，－2) D．(5,2) 解析：設(shè)B(，y1)，C(，y2)，BC的中點(diǎn)為D(x0，y0)，則y1＋y2＝2y0，直線BC：＝，即：4x－2y0y＋y1y2＝0?、伲挥郑?，∴y1y2＝－4y0－20，代入①式得：2(x－5)－y0(y＋2)＝0，則動直線BC恒過x－5＝0與y＋2＝0的交點(diǎn)(5，－2)． 答案：C 二、填空題(共3個小題，每小題5分，滿分15分)

5、7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過點(diǎn)P(2,4)，則該拋物線的方程是______________． 解析：由題意設(shè)拋物線的方程為y2＝2ax(a>0)，由于其過點(diǎn)P(2,4)，所以42＝2a2?a＝4，故該拋物線的方程是y2＝8x. 答案：y2＝8x 8．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為________． 解析：雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)F(3,0)是拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)，所以＝3，p＝6. 答案：6 9．(2011南京調(diào)研)已知點(diǎn)M是拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在圓C：(x－4)2＋(y－1)2

6、＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值為________． 解析：依題意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由拋物線的定義知|MF|等于點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線x＝－1的距離，結(jié)合圖形不難得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圓心C(4,1)到拋物線的準(zhǔn)線x＝－1的距離，即為5，因此所求的最小值為4. 答案：4 三、解答題(共3個小題，滿分35分) 10．已知動圓過定點(diǎn)P(1,0)，且與定直線l：x＝－1相切，點(diǎn)C在l上． (1)求動圓圓心的軌跡M的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)． 問△ABC能否為正三角形？若能，

7、求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由．解：(1)依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物 線，所以曲線M的方程為y2＝4x.如圖所示． (2)由題意得，直線AB的方程為y＝－(x－1)， 由 消y得 3x2－10x＋3＝0. 解得A(，)，B(3，－2)． 若△ABC能為正三角形， 設(shè)C(－1，y)，則|AC|＝|AB|＝|BC|，即 ①②組成的方程組無解，因此直線l上不存在點(diǎn)C使△ABC是正三角形． 11．(2010淄博模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點(diǎn)． (1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值； (2)如果＝－4，證

8、明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)． 解：(1)由題意：拋物線焦點(diǎn)為(1,0)， 設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)設(shè)l：x＝ty＋b代入拋物線y2＝4x，消去x得 y2－4ty－4b＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋

9、b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直線l過定點(diǎn)(2,0)． ∴若＝－4，則直線l必過一定點(diǎn)． 12.如圖：直線y＝x與拋物線y＝x2－4交于A、B兩點(diǎn)，直線l與直線y＝x和y＝－5分別交于M、Q，且＝0，＝(＋)． (1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線上且位于線段AB下方(含點(diǎn)A、B)的動點(diǎn)時，求△OPQ面積的最大值． 解：(1)聯(lián)立，解得或， 即A(－4，－2)，B(8,4)． ∵＝0，∴QM⊥AB， 又＝(＋

10、)，∴M是AB的中點(diǎn)，即M(2,1)． ∴l(xiāng)是線段AB的垂直平分線， 又kAB＝，∴l(xiāng)的方程為y－1＝－2(x－2)， 即2x＋y－5＝0，令y＝－5，得x＝5， ∴Q＝(5，－5)． (2)直線OQ的方程為：x＋y＝0. 由題意可設(shè)P(x，x2－4)，－4≤x≤8，且O、P、Q不共線， 則點(diǎn)P到直線OQ的距離為： d＝＝|x2＋8x－32|. 又|OQ|＝5， ∴S△OPQ＝|OQ|d＝|x2＋8x－32|＝|(x＋4)2－48|， 其中x∈[－4,8]，且O、P、Q不共線， 令f(x)＝(x＋4)2－48， 則當(dāng)x∈[－4,8]時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增． 又當(dāng)x＝－4時，|x2＋8x－32|＝48， 當(dāng)x＝8時，|x2＋8x－32|＝96. ∴當(dāng)x＝8時，(S△QPO)max＝96＝30. 用心 愛心 專心