2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式章整合提升課件 北師大版選修4-5.ppt

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,,,,,,,,,,,,,,,,,第一章不等關(guān)系與基本不等式,本章整合提升,[考情分析]由于柯西不等式是用綜合法證明不等式的重要依據(jù)，因此，柯西不等式的考查常出現(xiàn)在用綜合法證明含有冪、根式的和、積、商的不等式中．高考中一般在選考題中考查．,專題一利用柯西不等式證明不等式,[高考沖浪]1．(2017江蘇卷)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求證：ac＋bd≤8.證明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因?yàn)閍2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64.所以ac＋bd≤8.,2．(2014福建卷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.,(1)解：因?yàn)閨x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)證明：由(1)，知p＋q＋r＝3.因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p1＋q1＋r1)2＝(p＋q＋r)2＝9.所以p2＋q2＋r2≥3.,[考情分析]柯西不等式是除平均值不等式之外求解含多個(gè)變量式子的最值的一種重要方法，是某些求最值問題的唯一工具，應(yīng)用的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果．高考中一般在選考題中考查．,專題二利用柯西不等式求函數(shù)的最值,2．(湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________.解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a1＋2b1＋3c1)2＝36.故a2＋4b2＋9c2≥12.從而a2＋4b2＋9c2的最小值為12.答案：12,[考情分析]排序不等式是用綜合法證明與字母順序有關(guān)的不等式的重要依據(jù)，因而成為證明不等式的一種重要工具．高考中對(duì)排序不等式不做要求．,專題三利用排序不等式證明不等式,解析：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2.∴a3＋b3＝a2a＋b2b≥a2b＋b2a＝ab(a＋b)．,答案：≤,2．設(shè)a，b，c為某一個(gè)三角形的三條邊，a≥b≥c，求證：(1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)；(2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.證明：(1)用比較法證明如下．c(a＋b－c)－b(c＋a－b)＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．,因?yàn)閎≥c，b＋c－a≥0，所以c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0，即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．同理可證b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．綜上，c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．,(2)由題設(shè)及(1)，知a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．由逆序和≤亂序和，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)，①,a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋cb(b－c)．②將①和②相加再除以2，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.,[考情分析]數(shù)學(xué)歸納法一般用于解決與正整數(shù)n(n∈N＋)有關(guān)的等式、不等式以及大小比較、探索性等問題，常與數(shù)列交匯命題．高考中一般在解答題中的某一問中考查．,專題四數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,2．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4并猜想an，bn的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．,,謝謝觀看！,