2018年高中數(shù)學 第二章 幾個重要的不等式章整合提升課件 北師大版選修4-5.ppt

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,,,,,,,,,,,,,,,,,第一章不等關系與基本不等式,本章整合提升,[考情分析]由于柯西不等式是用綜合法證明不等式的重要依據(jù)，因此，柯西不等式的考查常出現(xiàn)在用綜合法證明含有冪、根式的和、積、商的不等式中．高考中一般在選考題中考查．,專題一利用柯西不等式證明不等式,[高考沖浪]1．(2017江蘇卷)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求證：ac＋bd≤8.證明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64.所以ac＋bd≤8.,2．(2014福建卷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.,(1)解：因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當且僅當－1≤x≤2時等號成立，所以函數(shù)f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)證明：由(1)，知p＋q＋r＝3.因為p，q，r是正實數(shù)，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p1＋q1＋r1)2＝(p＋q＋r)2＝9.所以p2＋q2＋r2≥3.,[考情分析]柯西不等式是除平均值不等式之外求解含多個變量式子的最值的一種重要方法，是某些求最值問題的唯一工具，應用的關鍵是根據(jù)題設條件，對目標函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結果．高考中一般在選考題中考查．,專題二利用柯西不等式求函數(shù)的最值,2．(湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________.解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a1＋2b1＋3c1)2＝36.故a2＋4b2＋9c2≥12.從而a2＋4b2＋9c2的最小值為12.答案：12,[考情分析]排序不等式是用綜合法證明與字母順序有關的不等式的重要依據(jù)，因而成為證明不等式的一種重要工具．高考中對排序不等式不做要求．,專題三利用排序不等式證明不等式,解析：不妨設a≥b≥c>0，則a2≥b2.∴a3＋b3＝a2a＋b2b≥a2b＋b2a＝ab(a＋b)．,答案：≤,2．設a，b，c為某一個三角形的三條邊，a≥b≥c，求證：(1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)；(2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.證明：(1)用比較法證明如下．c(a＋b－c)－b(c＋a－b)＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．,因為b≥c，b＋c－a≥0，所以c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0，即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．同理可證b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．綜上，c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．,(2)由題設及(1)，知a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．由逆序和≤亂序和，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)，①,a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋cb(b－c)．②將①和②相加再除以2，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.,[考情分析]數(shù)學歸納法一般用于解決與正整數(shù)n(n∈N＋)有關的等式、不等式以及大小比較、探索性等問題，常與數(shù)列交匯命題．高考中一般在解答題中的某一問中考查．,專題四數(shù)學歸納法的應用,2．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4并猜想an，bn的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想．,,謝謝觀看！,