2019年高考數(shù)學(xué) 3.8正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例課時提升作業(yè) 理 北師大版.doc

2019年高考數(shù)學(xué) 3.8正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例課時提升作業(yè) 理 北師大版一、選擇題1.某水庫大壩的外斜坡的坡度為,則坡角的正弦值為( )(A)(B)(C)(D)2.(xx太原模擬)如圖,D,C,B三點在地面同一直線上,DC=a,從C,D兩點測得A點的仰角分別是,(<),則A點離地面的高度AB等于( )(A)(B)(C) (D)3.在ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若角A,B,C依次成等差數(shù)列,且a=1,b=,則SABC等于( )(A)(B)(C)(D)24.(xx咸陽模擬)如圖所示,在山底A處測得山頂B的仰角CAB=45,沿傾斜角為30的山坡向山頂走1000米到達S點,又測得山頂仰角DSB=75,則山高BC為( )(A)500m(B)200m(C)1000m(D)1000m5.如圖,一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15,與貨輪相距20海里,隨后貨輪按北偏西30的方向航行,30分鐘后又測得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪航行的速度為( )(A)20(+)海里/小時(B)20(-)海里/小時(C)20(+)海里/小時(D)20(-)海里/小時6.(xx宜春模擬)從某電視塔的正東方向的A處,測得塔頂仰角是60,從電視塔的西偏南30的B處,測得塔頂仰角為45,A,B間距離是35m,則此電視塔的高度是( )(A)5m(B)10m(C)m(D)35m二、填空題7.(xx延安模擬)在ABC中,A=60,AC=8,SABC=4,則BC=.8.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45和60,而且兩條船與炮臺底部連線成30角,則兩條船相距m.9.(xx長沙模擬)如圖,一艘船上午9:30在A處測得燈塔S在它的北偏東30方向上,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達B處,且與燈塔S相距8n mile.此船的航速是32n mile/h,則燈塔S對于點B的方向角是.三、解答題10.(xx寶雞模擬)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2b-c)cosA-acosC=0.(1)求角A的大小.(2)求sinB+sinC的取值范圍.(3)若a=,SABC=,試判斷ABC的形狀,并說明理由.11.如圖,某觀測站C在城A的南偏西20的方向,從城A出發(fā)有一條走向為南偏東40的公路,在C處觀測到距離C處31km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路向A城駛?cè)?行駛了20km后到達D處,測得C,D兩處的距離為21km,這時此車距離A城多少千米?12.(能力挑戰(zhàn)題)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/時,試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明理由.答案解析1.【思路點撥】坡角的正切值是坡度,故利用此關(guān)系可解.【解析】選B.由tan=,得sin=cos,代入sin2+cos2=1,得sin=.2.【解析】選A.由已知得DAC=-,由正弦定理得,=,所以AC=,故AB=ACsin=.3.【思路點撥】由角A,B,C依次成等差數(shù)列可得B,由正弦定理得A,從而得C,再用面積公式求解即可.【解析】選C.角A,B,C依次成等差數(shù)列,A+C=2B,B=60.又a=1,b=,=,sinA=.又a<b,A<B,A=30,C=90.SABC=1=.【變式備選】在ABC中三條邊a,b,c成等比數(shù)列,且b=,B=,則ABC的面積為( )(A)(B)(C)(D)【解析】選C.由已知可得b2=ac,又b=,則ac=3,又B=,SABC=acsinB=3=.4.【解析】選D.SAB=45-30=15,SBA=ABC-SBC=45-(90-75)=30,在ABS中,AB=1000,BC=ABsin45=1000=1000(m).5.【解析】選B.由題意知SM=20,SNM=105,NMS=45,MSN=30.在MNS中利用正弦定理可得,=,MN=10(-)(海里),貨輪航行的速度v=20(-)(海里/小時).6.【思路點撥】畫出示意圖,將條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊和角,然后利用三角函數(shù)和余弦定理求解.【解析】選A.作出示意圖(如圖所示).設(shè)塔高為hm.在RtAOC中,tanOAC=,OA=.在AOB中,AOB=150,OB=h,AB=35.由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB,即352=()2+h2-2hcos150,整理得h2=352,解得h=5.【方法技巧】測量高度的一般思路解決高度的問題主要是根據(jù)條件確定出所利用的三角形,準(zhǔn)確地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相對應(yīng);分清已知和待求的關(guān)系,正確地選擇定理和公式,特別注意高度垂直地面構(gòu)成的直角三角形.7.【解析】由條件知SABC=bcsinA=bcsin60=bc=4.bc=16.又b=AC=8,c=2.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=82+22-282cos60=52.a=2,即BC=2.答案:28.【解析】如圖,OM=OAtan45=30,ON=AOtan30=30=10,由余弦定理得MN=10(m).答案:109.【解析】由已知可得,AB=32n mile/hh=16n mile,BS=8n mile,BAS=30,由正弦定理得=,sinASB=.又0<ASB<180,得ASB=45或135,若ASB=45,則ABS=105,此時,S在點B的北偏東75方向上;若ASB=135,則ABS=15,此時,S在點B的南偏東15方向上.答案:北偏東75或南偏東15【方法技巧】測量角度問題的一般步驟(1)在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實際問題的圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離.(2)用正弦定理或余弦定理解三角形.(3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.同時注意把所求量放在有關(guān)三角形中,有時直接解此三角形時條件不具備,需要先在其他三角形中求解相關(guān)量.10.【解析】(1)(2b-c)cosA-acosC=0,由正弦定理得,(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,2sinBcosA-sin(A+C)=0,即sinB(2cosA-1)=0.0<B<,sinB0,cosA=.0<A<,A=.(2)sinB+sinC=sinB+sin(-B)=sin(B+).B(0,),B+(,),sin(B+)(,1,<sinB+sinC.(3)SABC=bcsinA=.即bcsin=,bc=3a2=b2+c2-2bccosA,b2+c2=6由得b=c=,a=b=c,ABC為等邊三角形.11.【解析】在BCD中,BC=31,DB=20,DC=21,由余弦定理得cosBDC=-.所以cosADC=,故sinADC=.在ACD中,由條件知CD=21,BAC=60,所以sinACD=sin(60+ADC)=+=.在ACD中,由正弦定理得=,即=,所以AD=15(km).所以此車距離A城15千米.12.【思路點撥】第(1)問建立航行距離與時間的函數(shù)關(guān)系式.第(2)問建立速度與時間的函數(shù)關(guān)系式.【解析】(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為s海里,則s=,故當(dāng)t=時,smin=10(海里),此時v=30(海里/時),即小艇以30海里/時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小.(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇,則v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),故v2=900-,0<v30,900-900,即-0,解得t.又t=時,v=30海里/時,故v=30海里/時時,t取得最小值,且最小值等于.此時,在OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可設(shè)計航行方案如下:航行方向為北偏東30,航行速度為30海里/時,小艇能以最短時間與輪船相遇.