2019年高考數學二輪復習 直線與圓.doc
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2019年高考數學二輪復習 直線與圓 1．(xx浙江高考)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數a的值是( ) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 【解析】 圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a ∴圓心坐標(－1,1) 半徑r2＝2－a，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離 d＝＝ ∴22＋()2＝2－a，解得a＝－4. 【答案】 B 2．(xx福建高考)直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則“k＝1”是“△OAB的面積為”的( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 【解析】 若k＝1，則S△ABC＝，若S△ABC＝，則k＝1或k＝－1，故選A. 【答案】 A 3．(xx湖南高考)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11 【解析】 C1的圓心為(0,0)，半徑r＝1，C2的圓心為(3,4)，半徑R＝，又∵|C1C2|＝5， 由題意知5＝1＋， ∴m＝9，故選C. 【答案】 C 4．(xx陜西高考)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關于直線y＝x對稱，則圓C的標準方程為________． 【解析】 因為點(1,0)關于直線y＝x的對稱點為(0,1)，即圓心C為(0,1)，又半徑為1，∴圓C的標準方程為x2＋(y－1)2＝1. 【答案】 x2＋(y－1)2＝1 5．(xx四川高考)設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|＋|PB|的取值范圍是________． 【解析】 根據直線方程分別確定定點A，B的坐標，根據兩條動直線的方程可知兩直線垂直，從而可確定點P滿足的條件，最后根據基本不等式求|PA|＋|PB|的取值范圍． 由動直線x＋my＝0知定點A的坐標為(0,0)，由動直線mx－y－m＋3＝0知定點B的坐標為(1,3)，且兩直線互相垂直，故點P在以AB為直徑的圓上運動．故當點P與點A或點B重合時，|PA|＋|PB|取得最小值，(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝ .當點P與點A或點B不重合時，在Rt△PAB中，有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.因為|PA|2＋|PB|2≥2 |PA| |PB|，所以2(|PA|2＋|PB|2)≥(|PA|＋|PB|)2，當且僅當|PA|＝|PB|時取等號，所以|PA|＋|PB|≤ ＝ ＝2 ，所以 ≤|PA|＋|PB|≤2 ，所以|PA|＋|PB|的取值范圍是[ ，2 ]． 【答案】 [ ，2 ] 從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點考向為： 1．直線方程與兩條直線的位置關系 ①該考向?？純热萦兄本€的傾斜角、斜率、方程，兩直線垂直、平行關系及交點的求解；試題設計常與圓錐曲線交匯命題，先求直線方程，再進一步解答其他方面的內容． ②從題型上看，單獨考查時以選擇題為主，突出考查學生的基礎知識、基本技能，屬中、低檔題． 2．圓的方程 ①該考向主要考查求圓的方程及圓的性質的應用，待定系數法在此有時會有所體現(xiàn)． ②主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，很少出現(xiàn)在解答題中，屬中、低檔題． 3．直線與圓、圓與圓的位置關系 ①該考向主要考查直線與圓的相交、相切、相離關系的判斷與應用，弦長、面積的求法等及圓與圓的位置關系，并常與圓的幾何性質交匯． ②從題型上主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，屬于中、低檔題. 【例1】 (1)直線2xcos α－y－3＝0(α∈[，])的傾斜角的變化范圍是( ) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] (2)(xx福建高考)已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是( ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 (3)(xx遼寧高考)已知點O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有( ) A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0 【解析】 (1)∵2xcos α－y－3＝0，∴y＝2cos αx－3. ∵≤α≤，∴≤cos α≤， ∴1≤2cos α≤.∴k∈[1，]． ∴θ∈[，]．故選B. (2)所求直線過圓心(0,3)，且斜率k為1，∴直線l的方程為y－3＝1(x－0)，整理得x－y＋3＝0，故選D. (3)根據直角三角形的直角的位置求解． 若以O為直角頂點，則B在x軸上，則a必為0，此時O，B重合，不符合題意； 若∠A＝，則b＝a3≠0. 若∠B＝，根據斜率關系可知a2＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0. 以上兩種情況皆有可能，故只有C滿足條件． 【答案】 (1)B (2)D (3)C 【規(guī)律方法】 1.區(qū)別直線的斜率與傾斜角： 每條直線都有傾斜角，但不是每條直線都有斜率；斜率和傾斜角都反映了直線相對于x軸正方向的傾斜程度． 2．求直線方程的方法： (1)直接法：直接選用恰當的直線方程的形式，寫出方程． (2)待定系數法：即先由直線滿足的一個條件設出直線方程，使方程中含有一待定系數，再由題目中另一條件求出待定系數． 3．兩條直線平行與垂直的判定： (1)若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1. (2)兩條不重合的直線a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的充要條件為a1b2－a2b1＝0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1. (3)垂直的充要條件為a1a2＋b1b2＝0.判定兩直線平行與垂直的關系時，如果給出的直線方程中存在字母系數，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況． [創(chuàng)新預測] 1．(1)(xx浙江名校聯(lián)考)已知直線l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，則“a＝－1”是“l(fā)1⊥l2”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(xx廣州檢測)一條光線沿直線2x－y＋2＝0入射到直線x＋y－5＝0后反射，則反射光線所在的直線方程為________． 【解析】 (1)一方面，若a＝－1，則l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，顯然兩條直線垂直；另一方面，若l1⊥l2，則(a－2)＋a(a－2)＝0，∴a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件，故選A. (2)取直線2x－y＋2＝0上一點A(0,2)，設點A(0,2)關于直線x＋y－5＝0對稱的點為B(a，b)，則 解得∴B(3,5)． 由解得∴直線2x－y＋2＝0與直線x＋y－5＝0的交點為P(1,4)，∴反射光線在經過點B(3，5)和點P(1,4)的直線上，其直線方程為y－4＝(x－1)，整理得x－2y＋7＝0. 【答案】 x－2y＋7＝0 【例2】 (1)(xx山東高考)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標準方程為________． (2)(xx全國新課標Ⅱ高考)在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2. ①求圓心P的軌跡方程； ②若P點到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． 【解】 (1)∵圓心在直線x－2y＝0上， ∴可設圓心為C(2b，b)． ∴r＝2b(b＞0)． 設圓C與x軸交于A，B兩點，作CD⊥x軸垂足為D， ∴CD＝b，CB＝2b. 在Rt△CBD中，|BD|＝＝b， ∴|AB|＝2|BD|＝2. ∴2b＝2. ∴b＝1. ∴C(2,1)，r＝2. ∴圓的標準方程為：(x－2)2＋(y－1)2＝4 (2)①設P(x，y)，圓P的半徑為r. 由題設y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.從而y2＋2＝x2＋3. 故P點的軌跡方程為y2－x2＝1. ②設P(x0，y0)，由已知得 ＝. 又P在雙曲線y2－x2＝1上，從而得 由得此時，圓P的半徑r＝. 由得此時，圓P的半徑r＝. 故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3. 【答案】 (1)(x－2)2＋(y－1)2＝4 (2)見解析 【規(guī)律方法】 圓的方程的求法： (1)幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，從而求得圓的基本量和方程； (2)代數法，用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數．從而求得圓的方程一般采用待定系數法． 注意：根據條件，設圓的方程時要盡量減少參數，這樣可減少運算量． [創(chuàng)新預測] 2．(1)(xx北京西域區(qū)期末)若坐標原點在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內部，則實數m的取值范圍是( ) A．－1
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