2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.2 雙曲線及其性質 理 .doc

2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.2 雙曲線及其性質 理考點一雙曲線的標準方程1.(xx天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個焦點在直線l上,則雙曲線的方程為()A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案A考點二雙曲線的幾何性質2.(xx課標,4,5分)已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為()A. B.3 C.m D.3m答案A3.(xx山東,10,5分)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為()A.xy=0 B.xy=0C.x2y=0 D.2xy=0答案A4.(xx廣東,4,5分)若實數(shù)k滿足0<k<9,則曲線-=1與曲線-=1的()A.焦距相等 B.實半軸長相等C.虛半軸長相等 D.離心率相等答案A5.(xx重慶,8,5分)設F1、F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3答案B6.(xx大綱全國,9,5分)已知雙曲線C的離心率為2,焦點為F1、F2,點A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cosAF2F1=()A. B. C. D.答案A7.(xx北京,11,5分)設雙曲線C經(jīng)過點(2,2),且與-x2=1具有相同漸近線,則C的方程為;漸近線方程為.答案-=1;y=2x8.(xx浙江,16,4分)設直線x-3y+m=0(m0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是.答案9.(xx福建,19,13分)已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求雙曲線E的離心率;(2)如圖,O為坐標原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且OAB的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程;若不存在,說明理由.解析解法一:(1)因為雙曲線E的漸近線分別為y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,從而雙曲線E的離心率e=.(2)由(1)知,雙曲線E的方程為-=1.設直線l與x軸相交于點C.當lx軸時,若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點,則|OC|=a,|AB|=4a,又因為OAB的面積為8,所以|OC|AB|=8,因此a4a=8,解得a=2,此時雙曲線E的方程為-=1.若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為-=1.以下證明:當直線l不與x軸垂直時,雙曲線E:-=1也滿足條件.設直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<-2,則C.記A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由SOAB=|OC|y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因為4-k2<0,所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因為m2=4(k2-4),所以=0,即l與雙曲線E有且只有一個公共點.因此,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為-=1.解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,雙曲線E的方程為-=1.設直線l的方程為x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依題意得-<m<.由得y1=,同理得y2=.設直線l與x軸相交于點C,則C(t,0).由SOAB=|OC|y1-y2|=8,得|t|=8,所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因為4m2-1<0,直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0,所以a2=4,因此,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為-=1.解法三:(1)同解法一.(2)當直線l不與x軸垂直時,設直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依題意得k>2或k<-2.由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因為4-k2<0,>0,所以x1x2=,又因為OAB的面積為8,所以|OA|OB|sinAOB=8,又易知sinAOB=,所以=8,化簡得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得雙曲線E的方程為-=1,由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因為4-k2<0,直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以雙曲線E的方程為-=1.當lx軸時,由OAB的面積等于8可得l:x=2,又易知l:x=2與雙曲線E:-=1有且只有一個公共點.綜上所述,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為-=1.10.(xx江西,20,13分)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a>0)的右焦點為F,點A,B分別在C的兩條漸近線上,AFx軸,ABOB,BFOA(O為坐標原點).(1)求雙曲線C的方程;(2)過C上一點P(x0,y0)(y00)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點M,與直線x=相交于點N.證明:當點P在C上移動時,恒為定值,并求此定值.解析(1)設F(c,0),因為b=1,所以c=,直線OB的方程為y=-x,直線BF的方程為y=(x-c),解得B.又直線OA的方程為y=x,則A,kAB=.又因為ABOB,所以=-1,解得a2=3,故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y00),即y=.因為直線AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點為M;直線l與直線x=的交點為N,則=.因為P(x0,y0)是C上一點,則-=1,代入上式得=,所求定值為=.