2018-2019高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 1.2.3 空間幾何體的直觀(guān)圖學(xué)案 新人教A版必修2.doc

1.2.3空間幾何體的直觀(guān)圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖.2.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)以及簡(jiǎn)單組合體的直觀(guān)圖知識(shí)點(diǎn)斜二測(cè)畫(huà)法思考邊長(zhǎng)2 cm的正方形ABCD水平放置的直觀(guān)圖如下，在直觀(guān)圖中，AB與CD有何關(guān)系？AD與BC呢？在原圖與直觀(guān)圖中，AB與AB相等嗎？AD與AD呢？答案ABCD，ADBC，ABAB，ADAD.梳理水平放置的平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法(1)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖的規(guī)則(2)立體圖形直觀(guān)圖的畫(huà)法規(guī)則畫(huà)立體圖形的直觀(guān)圖，在畫(huà)軸時(shí)，要多畫(huà)一條與平面xOy垂直的軸Oz，且平行于Oz的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，其他同平面圖形的畫(huà)法1用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的A時(shí)，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90，則在直觀(guān)圖中，A45.()2用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀(guān)圖時(shí)，平行的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中仍平行，且長(zhǎng)度不變()3在斜二測(cè)畫(huà)法中平行于y軸的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中長(zhǎng)度保持不變()類(lèi)型一平面圖形的直觀(guān)圖例1畫(huà)出如圖水平放置的直角梯形的直觀(guān)圖考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線(xiàn)為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系畫(huà)出相應(yīng)的x軸和y軸，使xOy45，如圖(1)(2)所示(2)在x軸上截取OBOB，在y軸上截取ODOD，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)l，在l上沿x軸正方向取點(diǎn)C使得DCDC.連接BC，如圖(2)所示(3)所得四邊形OBCD就是直角梯形OBCD的直觀(guān)圖，如圖(3)所示引申探究例1中的直角梯形改為等腰梯形，畫(huà)出其直觀(guān)圖解畫(huà)法：(1)如圖所示，取AB所在直線(xiàn)為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系xOy，使xOy45. (2)以O(shè)為中點(diǎn)在x軸上取ABAB，在y軸上取OEOE，以E為中點(diǎn)畫(huà)出CDx軸，并使CDCD.(3)連接BC，DA，所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀(guān)圖反思與感悟在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn)原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段可以通過(guò)作平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段來(lái)作出其對(duì)應(yīng)線(xiàn)段關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可跟蹤訓(xùn)練1已知正五邊形ABCDE，如圖，試畫(huà)出其直觀(guān)圖考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖解畫(huà)法：(1)在圖(1)中作AGx軸于點(diǎn)G，作DHx軸于點(diǎn)H.(2)在圖(2)中畫(huà)相應(yīng)的x軸與y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，使xOy45.(3)在圖(2)中的x軸上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y軸上取OEOE，分別過(guò)G和H作y軸的平行線(xiàn)，并在相應(yīng)的平行線(xiàn)上取GAGA，HDHD.(4)連接AB，AE，ED，DC，并擦去輔助線(xiàn)GA，HD，x軸與y軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀(guān)圖ABCDE(如圖(3)類(lèi)型二直觀(guān)圖的還原與計(jì)算例2如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀(guān)圖若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.試畫(huà)出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)由直觀(guān)圖還原平面圖形解如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取ODOD11，OCOC12.在過(guò)點(diǎn)D的y軸的平行線(xiàn)上截取DA2D1A12.在過(guò)點(diǎn)A的x軸的平行線(xiàn)上截取ABA1B12.連接BC，即得到了原圖形由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB2，CD3，直角腰的長(zhǎng)度AD2，所以面積為S25.反思與感悟(1)由直觀(guān)圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x軸，y軸平行的直線(xiàn)或線(xiàn)段，且平行于x軸的線(xiàn)段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段還原時(shí)放大為直觀(guān)圖中相應(yīng)線(xiàn)段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可(2)若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀(guān)圖的面積為S，則有SS或S2S.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀(guān)圖面積或由直觀(guān)圖面積求原圖形面積跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀(guān)圖是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面積是()A. B. C. D2考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算答案C解析直觀(guān)圖中等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，因此面積為，又直觀(guān)圖與原平面圖形面積比為4，所以原圖形的面積為，故選C.(2)如圖所示，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀(guān)圖，其中OA6 cm，CD2 cm，則原圖形是_(填四邊形的形狀)考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)由直觀(guān)圖還原平面圖形答案菱形解析如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有OAOA6(cm)，OD2OD224(cm)，CDCD2(cm)，OC6(cm)，OAOC，故四邊形OABC是菱形類(lèi)型三空間幾何體的直觀(guān)圖例3如圖所示，已知幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀(guān)圖考點(diǎn)空間幾何體的直觀(guān)圖題點(diǎn)簡(jiǎn)單組合體的直觀(guān)圖解(1)作出長(zhǎng)方體的直觀(guān)圖ABCDA1B1C1D1，如圖1所示(2)再以上底面A1B1C1D1的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為原點(diǎn)建立x軸、y軸，z軸，使xOy45如圖2所示，在z上取點(diǎn)V，使得VO的長(zhǎng)度為棱錐的高，連接VA1，VB1，VC1，VD1，得到四棱錐的直觀(guān)圖，如圖2. (3)擦去輔助線(xiàn)和坐標(biāo)軸，遮住部分用虛線(xiàn)表示，得到幾何體的直觀(guān)圖，如圖3.反思與感悟空間幾何體的直觀(guān)圖的畫(huà)法：(1)對(duì)于一些常見(jiàn)幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的直觀(guān)圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準(zhǔn)確地畫(huà)出(2)畫(huà)空間幾何體的直觀(guān)圖時(shí)，比畫(huà)平面圖形的直觀(guān)圖增加了一個(gè)z軸，表示豎直方向(3)z軸方向上的線(xiàn)段，方向與長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致跟蹤訓(xùn)練3用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出六棱錐PABCDEF的直觀(guān)圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點(diǎn)P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)考點(diǎn)空間幾何體的直觀(guān)圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀(guān)圖解畫(huà)法：(1)畫(huà)出六棱錐PABCDEF的底面在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線(xiàn)為x軸，對(duì)稱(chēng)軸MN所在的直線(xiàn)為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，如圖(1)，畫(huà)出相應(yīng)的x軸、y軸、z軸，三軸相交于O，使xOy45，xOz90，如圖(2)；在圖(2)中，以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取ADAD，在y軸上取MNMN，以點(diǎn)N為中點(diǎn)，畫(huà)出BC平行于x軸，并且等于BC，再以M為中點(diǎn)，畫(huà)出EF平行于x軸，并且等于EF；連接AB，CD，DE，F(xiàn)A得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀(guān)圖ABCDEF.(2)畫(huà)出正六棱錐PABCDEF的頂點(diǎn)，在z軸正半軸上截取點(diǎn)P，點(diǎn)P異于點(diǎn)O.(3)成圖連接PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去x軸、y軸和z軸，便可得到六棱錐PABCDEF的直觀(guān)圖PABCDEF，如圖(3)1用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖，對(duì)其中的線(xiàn)段說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A原來(lái)相交的仍相交B原來(lái)垂直的仍垂直C原來(lái)平行的仍平行D原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖答案B解析根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，原來(lái)垂直的未必垂直2利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出邊長(zhǎng)為3 cm的正方形的直觀(guān)圖，正確的是圖中的()考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖答案C解析正方形的直觀(guān)圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為21.3如圖所示為一平面圖形的直觀(guān)圖，則此平面圖形可能是下圖中的()考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)由直觀(guān)圖還原平面圖形答案C解析在x軸上或與x軸平行的線(xiàn)段在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度不變，在y軸上或平行于y軸的線(xiàn)段在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，并注意到xOy90，xOy45，因此由直觀(guān)圖還原成原圖形為C.4有一個(gè)長(zhǎng)為5 cm，寬為4 cm的矩形，則其用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀(guān)圖的面積為_(kāi)cm2.考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算答案5解析該矩形直觀(guān)圖的面積為545.5畫(huà)出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀(guān)圖考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖解(1)過(guò)點(diǎn)C作CEx軸，垂足為點(diǎn)E，如圖(1)所示，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x軸，y軸，使xOy45，如圖(2)所示(2)如圖(2)所示，在x軸上取點(diǎn)B，E，使得OBOB，OEOE；在y軸上取一點(diǎn)D，使得ODOD；過(guò)點(diǎn)E作ECy軸，使ECEC.(3)連接BC，CD，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線(xiàn)，如圖(3)所示，四邊形OBCD就是所求的直觀(guān)圖1畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖，關(guān)鍵是確定直觀(guān)圖的頂點(diǎn)確定點(diǎn)的位置，可采用直角坐標(biāo)系建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀(guān)圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，并讓頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)上2用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)圖時(shí)要緊緊把握住“一斜”、“二測(cè)”兩點(diǎn)：(1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox，Oy軸，在直觀(guān)圖中畫(huà)成Ox，Oy軸，使xOy45或135.(2)二測(cè)：在直觀(guān)圖中平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度取一半，記為“橫不變，縱折半”.一、選擇題1根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，把Ox，Oy，Oz軸畫(huà)成對(duì)應(yīng)的Ox，Oy，Oz，則xOy與xOz的度數(shù)分別為()A90，90 B45，90C135，90 D45或135，90考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖答案D解析根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，xOy的度數(shù)應(yīng)為45或135，xOz指的是畫(huà)立體圖形時(shí)的橫軸與縱軸的夾角，所以度數(shù)為90.2水平放置的ABC的直觀(guān)圖如圖所示，其中BOCO1，AO，那么原ABC是一個(gè)()A等邊三角形B直角三角形C三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D三邊互不相等的三角形考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)由直觀(guān)圖還原平面圖形答案A解析由圖形，知在原ABC中，AOBC.AO，AO.BOCO1，BC2，ABAC2，ABC為等邊三角形故選A.3下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()相等的角在直觀(guān)圖中對(duì)應(yīng)的角仍然相等；相等的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段仍然相等；互相垂直的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段仍然垂直；線(xiàn)段的中點(diǎn)在直觀(guān)圖中仍然是線(xiàn)段的中點(diǎn)A1 B2 C3 D4考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖答案A解析如圖，由正方形的直觀(guān)圖是平行四邊形可知錯(cuò)誤，易知正確，故選A.4下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正ABC的直觀(guān)圖不是全等三角形的一組是()考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖答案C解析可分別畫(huà)出各組圖形的直觀(guān)圖，觀(guān)察可得結(jié)論5已知一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長(zhǎng)方體，且四棱錐的底面與長(zhǎng)方體的上底面尺寸一樣，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為20 m,5 m,10 m，四棱錐的高為8 m如果按1500的比例畫(huà)出它的直觀(guān)圖，那么在直觀(guān)圖中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為()A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmD4 cm,0.5 cm,1cm,0.8 cm考點(diǎn)空間幾何體的直觀(guān)圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀(guān)圖答案B解析由比例尺可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再結(jié)合直觀(guān)圖，圖形的尺寸應(yīng)為4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6已知一個(gè)正方形的直觀(guān)圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積為()A16 B64C16或64 D無(wú)法確定考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.7如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖為一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是()考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)由直觀(guān)圖還原平面圖形答案A解析直觀(guān)圖中正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，故在平面圖形中平行四邊形的高為2，只有A項(xiàng)滿(mǎn)足條件，故A正確8如圖所示，AOB表示水平放置的AOB的直觀(guān)圖，B在x軸上，AO與x軸垂直，且AO2，則AOB的邊OB上的高為()A2 B4C2 D4考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)由直觀(guān)圖還原平面圖形答案D解析設(shè)AOB的邊OB上的高為h，因?yàn)镾原圖形2S直觀(guān)圖，所以O(shè)Bh22OB.又OBOB，所以h4.二、填空題9在斜二測(cè)畫(huà)法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀(guān)圖中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖答案(4,2)解析由直觀(guān)圖畫(huà)法“橫不變，縱折半”可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,2)10在如圖所示的直觀(guān)圖中，四邊形OABC為菱形且邊長(zhǎng)為2 cm，則在坐標(biāo)系xOy中原四邊形OABC為_(kāi)(填形狀)，面積為_(kāi) cm2.考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算答案矩形8解析由題意結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法，可得四邊形OABC為矩形，其中OA2 cm，OC4 cm，四邊形OABC的面積為S248(cm2)11如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45的等腰梯形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出這個(gè)梯形的直觀(guān)圖OABC，則直觀(guān)圖中梯形的高為_(kāi)考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算答案解析作CD，BEOA于點(diǎn)D，E，則ODEA2，CDOD2，在直觀(guān)圖中梯形的高為2.12水平放置的ABC的斜二測(cè)直觀(guān)圖如圖所示，已知BC4，AC3，BCy軸，則ABC中AB邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為_(kāi)考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算答案解析由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知ACBC，即ABC為直角三角形，其中AC3，BC8，所以AB，AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)度為.三、解答題13如圖所示，在A(yíng)BC中，AC12 cm，AC邊上的高BD12 cm，求其水平放置的直觀(guān)圖的面積考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算解方法一畫(huà)x軸，y軸，兩軸交于O，使xOy45，作ABC的直觀(guān)圖如圖所示，則ACAC12 cm，BDBD6 cm，故ABC的高為BD3 cm，所以SABC12318(cm2)即水平放置的直觀(guān)圖的面積為18 cm2.方法二ABC的面積為ACBD121272(cm2)由平面圖形的面積與直觀(guān)圖的面積間的關(guān)系，可得ABC水平放置的直觀(guān)圖的面積是7218(cm2)四、探究與拓展14如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，又知它是某個(gè)四邊形按斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀(guān)圖，請(qǐng)畫(huà)出該四邊形的原圖形，并求出原圖形的面積考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算解由已知，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，又知它是某個(gè)四邊形按斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀(guān)圖，可得該四邊形的原圖形，如圖所示，這是一個(gè)底邊長(zhǎng)為2，高為的平行四邊形，故原圖形的面積為2.15由下列幾何體的三視圖畫(huà)出直觀(guān)圖考點(diǎn)空間幾何體的直觀(guān)圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀(guān)圖解由幾何體的三視圖，知這個(gè)幾何體是一個(gè)三棱柱(1)畫(huà)軸如圖，畫(huà)出x軸，y軸，z 軸，三軸相交于點(diǎn)O，使xOy45，xOz90.(2)畫(huà)底面作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀(guān)圖ABC.(3)畫(huà)側(cè)棱過(guò)A，B，C各點(diǎn)分別作z軸的平行線(xiàn)，并在這些平行線(xiàn)上分別截取線(xiàn)段AA，BB，CC.(4)成圖順次連接A，B，C，并擦去輔助線(xiàn)，將被遮住的部分改為虛線(xiàn)，得到的圖形就是幾何體的直觀(guān)圖