2018-2019高中數(shù)學 第一章 空間幾何體 1.2.3 空間幾何體的直觀圖學案 新人教A版必修2.doc

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1.2.3　空間幾何體的直觀圖 學習目標　1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖． 知識點　斜二測畫法 思考　邊長2 cm的正方形ABCD水平放置的直觀圖如下，在直觀圖中，A′B′與C′D′有何關(guān)系？A′D′與B′C′呢？在原圖與直觀圖中，AB與A′B′相等嗎？AD與A′D′呢？ 答案　A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝AD. 梳理　水平放置的平面圖形的斜二測畫法 (1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的規(guī)則 (2)立體圖形直觀圖的畫法規(guī)則 畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面x′O′y′垂直的軸O′z′，且平行于O′z′的線段長度不變，其他同平面圖形的畫法． 1．用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90，則在直觀圖中，∠A＝45.() 2．用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長度不變．() 3．在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變．() 類型一　平面圖形的直觀圖 例1　畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 解　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標系．畫出相應的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45，如圖(1)(2)所示． (2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖(2)所示． (3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)所示． 引申探究 例1中的直角梯形改為等腰梯形，畫出其直觀圖． 解　畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，畫對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45. (2)以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝OE，以E′為中點畫出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD. (3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖． 反思與感悟　在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段．關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可． 跟蹤訓練1　已知正五邊形ABCDE，如圖，試畫出其直觀圖． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 解　畫法： (1)在圖(1)中作AG⊥x軸于點G，作DH⊥x軸于點H. (2)在圖(2)中畫相應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45. (3)在圖(2)中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應的平行線上取G′A′＝GA，H′D′＝HD. (4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖(3))． 類型二　直觀圖的還原與計算 例2　如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 解　如圖，建立直角坐標系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. 在過點D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2. 在過點A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2. 連接BC，即得到了原圖形． 由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長度AD＝2， 所以面積為S＝2＝5. 反思與感悟　(1)由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可． (2)若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝S或S＝2S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積． 跟蹤訓練2　(1)如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是(　　) A. B. C. D．2 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關(guān)的計算 答案　C 解析　直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1，因此面積為，又直觀圖與原平面圖形面積比為∶4，所以原圖形的面積為，故選C. (2)如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，則原圖形是________．(填四邊形的形狀) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 答案　菱形 解析　如圖所示，在原圖形OABC中，應有OA＝O′A′＝6(cm)，OD＝2O′D′＝22＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形． 類型三　空間幾何體的直觀圖 例3　如圖所示，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖． 考點　空間幾何體的直觀圖 題點　簡單組合體的直觀圖 解　(1)作出長方體的直觀圖ABCD－A1B1C1D1，如圖1所示． (2)再以上底面A1B1C1D1的對角線交點為原點建立x′軸、y′軸，z′軸，使∠x′O′y′＝45如圖2所示，在z′上取點V′，使得V′O的長度為棱錐的高，連接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱錐的直觀圖，如圖2. (3)擦去輔助線和坐標軸，遮住部分用虛線表示，得到幾何體的直觀圖，如圖3. 反思與感悟　空間幾何體的直觀圖的畫法： (1)對于一些常見幾何體(柱、錐、臺、球)的直觀圖，應該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準確地畫出． (2)畫空間幾何體的直觀圖時，比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z′軸，表示豎直方向． (3)z′軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致． 跟蹤訓練3　用斜二測畫法畫出六棱錐P－ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定) 考點　空間幾何體的直觀圖 題點　柱、錐、臺的直觀圖 解　畫法： (1)畫出六棱錐P－ABCDEF的底面．①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點O，如圖(1)，畫出相應的x′軸、y′軸、z′軸，三軸相交于O′，使∠x′O′y′＝45，∠x′O′z′＝90，如圖(2)；②在圖(2)中，以O′為中點，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝MN，以點N′為中點，畫出B′C′平行于x′軸，并且等于BC，再以M′為中點，畫出E′F′平行于x′軸，并且等于EF；③連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′. (2)畫出正六棱錐P－ABCDEF的頂點，在z′軸正半軸上截取點P′，點P′異于點O′. (3)成圖．連接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′軸、y′軸和z′軸，便可得到六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′，如圖(3)． 1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是(　　) A．原來相交的仍相交 B．原來垂直的仍垂直 C．原來平行的仍平行 D．原來共點的仍共點 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　B 解析　根據(jù)斜二測畫法，原來垂直的未必垂直． 2．利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的(　　) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　C 解析　正方形的直觀圖應是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1. 3．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的(　　) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 答案　C 解析　在x軸上或與x軸平行的線段在新坐標系中的長度不變，在y軸上或平行于y軸的線段在新坐標系中的長度變?yōu)樵瓉淼?，并注意到∠xOy＝90，∠x′O′y′＝45，因此由直觀圖還原成原圖形為C. 4．有一個長為5 cm，寬為4 cm的矩形，則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為________cm2. 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關(guān)的計算 答案　5 解析　該矩形直觀圖的面積為54＝5. 5．畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 解　(1)過點C作CE⊥x軸，垂足為點E，如圖(1)所示，畫出對應的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45，如圖(2)所示． (2)如圖(2)所示，在x′軸上取點B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點D′，使得O′D′＝OD；過點E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝EC. (3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示， 四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖． 1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點．確定點的位置，可采用直角坐標系．建立恰當?shù)淖鴺讼凳茄杆僮鞒鲋庇^圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對稱性，并讓頂點盡量多地落在坐標軸上或與坐標軸平行的直線上． 2．用斜二測畫法畫圖時要緊緊把握住“一斜”、“二測”兩點： (1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox，Oy軸，在直觀圖中畫成O′x′，O′y′軸，使∠x′O′y′＝45或135. (2)二測：在直觀圖中平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱折半”. 一、選擇題 1．根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz軸畫成對應的O′x′，O′y′，O′z′，則∠x′O′y′與∠x′O′z′的度數(shù)分別為(　　) A．90，90 B．45，90 C．135，90 D．45或135，90 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　D 解析　根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，∠x′O′y′的度數(shù)應為45或135，∠x′O′z′指的是畫立體圖形時的橫軸與縱軸的夾角，所以度數(shù)為90. 2．水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一個(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 答案　A 解析　由圖形，知在原△ABC中，AO⊥BC. ∵A′O′＝， ∴AO＝. ∵B′O′＝C′O′＝1， ∴BC＝2，AB＝AC＝2， ∴△ABC為等邊三角形．故選A. 3．下列說法中正確的個數(shù)是(　　) ①相等的角在直觀圖中對應的角仍然相等； ②相等的線段在直觀圖中對應的線段仍然相等； ③互相垂直的線段在直觀圖中對應的線段仍然垂直； ④線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點． A．1 B．2 C．3 D．4 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　A 解析　如圖，由正方形的直觀圖是平行四邊形可知①②③錯誤，易知④正確，故選A. 4．下面每個選項的2個邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是(　　) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　C 解析　可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論． 5．已知一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20 m,5 m,10 m，四棱錐的高為8 m．如果按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為(　　) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm C．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm D．4 cm,0.5 cm,1cm,0.8 cm 考點　空間幾何體的直觀圖 題點　柱、錐、臺的直觀圖 答案　B 解析　由比例尺可知，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再結(jié)合直觀圖，圖形的尺寸應為4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 6．已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積為(　　) A．16 B．64 C．16或64 D．無法確定 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關(guān)的計算 答案　C 解析　等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64. 7．如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的形狀是(　　) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 答案　A 解析　直觀圖中正方形的對角線長為，故在平面圖形中平行四邊形的高為2，只有A項滿足條件，故A正確． 8．如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，B′在x′軸上，A′O′與x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 答案　D 解析　設△AOB的邊OB上的高為h，因為S原圖形＝2S直觀圖，所以OBh＝22O′B′. 又OB＝O′B′，所以h＝4. 二、填空題 9．在斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應點是M′，則點M′的坐標為________． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　(4,2) 解析　由直觀圖畫法“橫不變，縱折半”可得點M′的坐標為(4,2)． 10．在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2 cm，則在坐標系xOy中原四邊形OABC為______(填形狀)，面積為________ cm2. 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關(guān)的計算 答案　矩形　8 解析　由題意結(jié)合斜二測畫法，可得四邊形OABC為矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm， ∴四邊形OABC的面積為S＝24＝8(cm2)． 11．如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，則直觀圖中梯形的高為________． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關(guān)的計算 答案　 解析　作CD，BE⊥OA于點D，E， 則OD＝EA＝＝2，∴CD＝OD＝2， ∴在直觀圖中梯形的高為2＝. 12．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′軸，則△ABC中AB邊上的中線的長度為________． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關(guān)的計算 答案　 解析　由斜二測畫法規(guī)則知AC⊥BC，即△ABC為直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB邊上的中線長度為. 三、解答題 13．如圖所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC邊上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直觀圖的面積． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關(guān)的計算 解　方法一　畫x′軸，y′軸，兩軸交于O′，使∠x′O′y′＝45，作△ABC的直觀圖如圖所示， 則A′C′＝AC＝12 cm，B′D′＝BD＝6 cm， 故△A′B′C′的高為B′D′＝3 cm， 所以S△A′B′C′＝123＝18(cm2)． 即水平放置的直觀圖的面積為18 cm2. 方法二　△ABC的面積為ACBD＝1212＝72(cm2)． 由平面圖形的面積與直觀圖的面積間的關(guān)系，可得△ABC水平放置的直觀圖的面積是72＝18(cm2)． 四、探究與拓展 14．如圖，A′B′C′D′是邊長為1的正方形，又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形，并求出原圖形的面積． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關(guān)的計算 解　由已知，A′B′C′D′是邊長為1的正方形，又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，可得該四邊形的原圖形，如圖所示，這是一個底邊長為2，高為的平行四邊形，故原圖形的面積為2. 15．由下列幾何體的三視圖畫出直觀圖． 考點　空間幾何體的直觀圖 題點　柱、錐、臺的直觀圖 解　由幾何體的三視圖，知這個幾何體是一個三棱柱． (1)畫軸．如圖，畫出x軸，y軸，z 軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45，∠xOz＝90. (2)畫底面．作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖△ABC. (3)畫側(cè)棱．過A，B，C各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段AA′，BB′，CC′. (4)成圖．順次連接A′，B′，C′，并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得到的圖形就是幾何體的直觀圖．