2019高中數(shù)學 第二章 平面向量單元質(zhì)量評估（含解析）新人教A版必修4.doc

平面向量(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.如圖e1,e2為互相垂直的單位向量,向量a+b+c可表示為 (B)A.2e1+3e2B.3e1+2e2C.3e1-2e2D.-3e1-3e22.已知向量a=(1,x2),b=(x,8),若ab,則實數(shù)x的值為 (A)A.2B.-2C.2D.03.已知非零向量m,n的夾角為,且n(-2m+n),則= (B)A.2B.1C.D.4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),則下列結(jié)論正確的是 (D)A.ab=2B.abC.|a|=|b|D.b(a+b)5.已知向量a=(,1),b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,則實數(shù)的值為 (C)A.1B.2C.-1D.-2 6.已知A,B,C是銳角ABC的三個內(nèi)角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),則p與q的夾角是 (A)A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.不確定7.在AOB中,G為AB邊上一點,OG是AOB的平分線,且=+m(mR),則= (C)A. B.1C.D.28.若非零向量a,b的夾角為銳角,且=cos ,則稱a被b“同余”.已知b被a“同余”,則向量a-b在向量a上的投影是 (A)9.已知正方形ABCD的邊長為2,對角線相交于點O,P是線段BC上一點,則的最小值為 (C)A.-2B.- C.- D.210.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c滿足(c+a)b,c(a+b),則c等于(D)A.B.C.D.11.已知O為ABC內(nèi)一點,滿足4=+2,則AOB與AOC的面積之比為 (D)A.11 B.12C.13D.2112.已知O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三點,動點P滿足=+,0,+),則點P的軌跡經(jīng)過ABC的 (A)A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.已知平面向量a與b的夾角等于,如果|a|=4,|b|=,那么|2a-b|=.14.已知a=(2sin 13,2sin 77),|a-b|=1,a與a-b的夾角為,則ab=3.15.若向量a,b夾角為,且|a|=2,|b|=1,則a與a+2b的夾角為.16.已知|=1,|=m,AOB=,點C在AOB內(nèi)且=0.若=2+(0),則m=三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)設(shè)=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)當m=8時,將用和表示.(2)若A,B,C三點能構(gòu)成三角形,求實數(shù)m應滿足的條件.解:(1)當m=8時,=(8,3).設(shè)=x+y,則(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x).所以解得即=+.(2)因為A,B,C三點能構(gòu)成三角形,所以,不共線.又=(1,1),=(m-2,4),所以14-1(m-2)0,解得m6.18.(本小題滿分12分)已知|a|=3,b=(1,).(1)若a,b共線且方向相同,求a的坐標.(2)若a與b不共線,k為何值時,a+kb與a-kb互相垂直?解:(1)設(shè)a=(x,y),因為|a|=3,b=(1,),且a與b共線,所以解得或又因為a,b方向相同,所以a的坐標為(,).(2)因為a+kb與a-kb互相垂直,所以(a+kb)(a-kb)=a2-k2b2=|a|2-k2|b|2=0.由已知|a|=3,b=(1,),所以|b|=.所以9-3k2=0,解得k=.所以當k=時,a+kb與a-kb互相垂直.19.(本小題滿分12分)在邊長為3的正三角形ABC中,設(shè)=2,=2.(1)用向量,表示向量,并求的模.(2)求的值.(3)求與的夾角的大小.解:(1)因為=2,=2,所以=+=+(-)=+.又=|cos A=33=.故|=.(2)=-+,所以=-+=-32-+32=-.(3)|=,所以cos <,>=-,所以與的夾角為120.20.(本小題滿分12分)已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P.求證:(1)BECF.(2)AP=AB.解:(1)如圖,建立直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1).因為=-1(-2)+2(-1)=0,所以,即BECF.(2)設(shè)P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).因為,所以-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由,得y=-2x+4,兩式聯(lián)立得:x=,y=,即P.所以=+=4=,所以|=|,即AP=AB.21.(本小題滿分12分)已知向量a=(1,2),b=(cos ,sin ).設(shè)m=a+tb(tR).(1)若=,求當|m|取最小值時實數(shù)t的值.(2)若ab,問:是否存在實數(shù)t,使得向量a-b和向量m的夾角為,若存在,請求出t;若不存在,請說明理由.解:(1)因為=,所以b=.所以m=a+tb=.所以|m|=,所以當t=-時,|m|取到最小值,最小值為.(2)存在滿足題意的實數(shù)t.當向量a-b和向量m的夾角為時,則有cos =.又ab,所以(a-b)(a+tb)=a2+(t-1)ab-tb2=5-t,|a-b|=,|a+tb|=.則有=,且t<5,整理得t2+5t-5=0,解得t=.所以存在t=滿足條件.22.(本小題滿分12分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,AB=2.(1)若ABC為等邊三角形,且ADBC,E是CD的中點,求.(2)若AC=AB,cos CAB=,=,求|.解:(1)因為ABC為等邊三角形,且ADBC,所以DAB=120.又AD=2AB,所以AD=2BC.因為E是CD的中點,所以=(+)=(+)=(+)=+.又=-,所以=(-)=-=16-4-42=11.(2)因為AB=AC,AB=2,所以AC=2.因為=,所以(-)=.所以-=.又=|cos CAB=4=,所以=+=.所以|2=|-|2=+-2=4+16-2=.即|=.