2019高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量單元質(zhì)量評估（含解析）新人教A版必修4.doc

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平面向量 (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.如圖e1,e2為互相垂直的單位向量,向量a+b+c可表示為 (　B　) A.2e1+3e2　 B.3e1+2e2 C.3e1-2e2　 D.-3e1-3e2 2.已知向量a=(1,x2),b=(x,8),若a∥b,則實(shí)數(shù)x的值為 (　A　) A.2　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.0 3.已知非零向量m,n的夾角為,且n⊥(-2m+n),則= (　B　) A.2 B.1 C. D. 4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),則下列結(jié)論正確的是 (　D　) A.ab=2 B.a∥b C.|a|=|b| D.b⊥(a+b) 5.已知向量a=(λ,1),b=(λ+2,1),若|a+b|=|a-b|,則實(shí)數(shù)λ的值為 (　C　) A.1 B.2 C.-1　　 D.-2 6.已知A,B,C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),則p與q的夾角是 (　A　) A.銳角 　 B.鈍角 C.直角 　 D.不確定 7.在△AOB中,G為AB邊上一點(diǎn),OG是∠AOB的平分線,且=+m(m∈R),則= (　C　) A.　 B.1 C.　 D.2 8.若非零向量a,b的夾角為銳角θ,且=cos θ,則稱a被b“同余”.已知b被a“同余”,則向量a-b在向量a上的投影是 (　A　) 9.已知正方形ABCD的邊長為2,對角線相交于點(diǎn)O,P是線段BC上一點(diǎn),則的最小值為 (　C　) A.-2　 B.-　 C.-　 D.2 10.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c滿足(c+a)∥b,c⊥(a+b),則c等于 (　D　) A. B. C. D. 11.已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足4=+2,則△AOB與△AOC的面積之比為 (　D　) A.1∶1 　 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶1 12.已知O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ,λ∈[0,+∞),則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的 (　A　) A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上) 13.已知平面向量a與b的夾角等于,如果|a|=4,|b|=,那么|2a-b|=. 14.已知a=(2sin 13,2sin 77),|a-b|=1,a與a-b的夾角為,則ab= 　3　. 15.若向量a,b夾角為,且|a|=2,|b|=1,則a與a+2b的夾角為. 16.已知||=1,||=m,∠AOB=π,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)且=0.若=2λ+λ(λ≠0),則m= 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分10分)設(shè)=(2,-1),=(3,0),=(m,3). (1)當(dāng)m=8時(shí),將用和表示. (2)若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件. 解:(1)當(dāng)m=8時(shí),=(8,3). 設(shè)=x+y, 則(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x). 所以解得 即=+. (2)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形, 所以,不共線.又=(1,1),=(m-2,4), 所以14-1(m-2)≠0,解得m≠6. 18.(本小題滿分12分)已知|a|=3,b=(1,). (1)若a,b共線且方向相同,求a的坐標(biāo). (2)若a與b不共線,k為何值時(shí),a+kb與a-kb互相垂直? 解:(1)設(shè)a=(x,y), 因?yàn)閨a|=3,b=(1,),且a與b共線, 所以解得或 又因?yàn)閍,b方向相同,所以a的坐標(biāo)為(,). (2)因?yàn)閍+kb與a-kb互相垂直, 所以(a+kb)(a-kb)=a2-k2b2=|a|2-k2|b|2=0. 由已知|a|=3,b=(1,),所以|b|=. 所以9-3k2=0,解得k=. 所以當(dāng)k=時(shí),a+kb與a-kb互相垂直. 19.(本小題滿分12分)在邊長為3的正三角形ABC中,設(shè)=2,=2. (1)用向量,表示向量,并求的模. (2)求的值. (3)求與的夾角的大小. 解:(1)因?yàn)?2,=2, 所以=+=+(-)=+. 又=||||cos A=33=. 故||== ==. (2)=-+, 所以= =--+=-32-+32=-. (3)||= = ==, 所以cos <,>===-, 所以與的夾角為120. 20.(本小題滿分12分)已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點(diǎn),BE,CF交于點(diǎn)P. 求證:(1)BE⊥CF. (2)AP=AB. 解:(1)如圖,建立直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn), 不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0), C(2,2),E(1,2),F(0,1). =-=(1,2)-(2,0) =(-1,2), =-=(0,1)-(2,2) =(-2,-1). 因?yàn)?-1(-2)+2(-1)=0, 所以⊥,即BE⊥CF. (2)設(shè)P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1). 因?yàn)椤?所以-x=-2(y-1), 即x=2y-2. 同理由∥,得y=-2x+4, 兩式聯(lián)立得:x=,y=,即P. 所以=+=4=, 所以||=||,即AP=AB. 21.(本小題滿分12分)已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α).設(shè)m=a+tb(t∈R). (1)若α=,求當(dāng)|m|取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值. (2)若a⊥b,問:是否存在實(shí)數(shù)t,使得向量a-b和向量m的夾角為,若存在,請求出t;若不存在,請說明理由. 解:(1)因?yàn)棣?,所以b=. 所以m=a+tb=. 所以|m|===, 所以當(dāng)t=-時(shí),|m|取到最小值,最小值為. (2)存在滿足題意的實(shí)數(shù)t. 當(dāng)向量a-b和向量m的夾角為時(shí), 則有cos =.又a⊥b, 所以(a-b)(a+tb)=a2+(t-1)ab-tb2=5-t, |a-b|===, |a+tb|===.則有=,且t<5, 整理得t2+5t-5=0,解得t=. 所以存在t=滿足條件. 22.(本小題滿分12分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,AB=2. (1)若△ABC為等邊三角形,且AD∥BC,E是CD的中點(diǎn),求. (2)若AC=AB,cos ∠CAB=,=,求||. 解:(1)因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,且AD∥BC, 所以∠DAB=120. 又AD=2AB,所以AD=2BC. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn), 所以=(+)=(++) =(++)=+. 又=-, 所以=(-)=-- =16-4-42=11. (2)因?yàn)锳B=AC,AB=2,所以AC=2. 因?yàn)?,所以(-)=. 所以-=. 又=||||cos ∠CAB=4=, 所以=+=. 所以||2=|-|2=+-2 =4+16-2=.即||=.